論出射光線與入射光線平行的充要條件
——對2020年7月浙江省物理高考第13題的嚴格論證

閆二斌 景銀安 楊 洋 王偉民 郝晨凱

（1.宜川縣中學，陜西 延安 716200；2.太和縣宮集鎮中心學校，安徽 卓陽 236652；3.阿房路三校，陜西 西安 710016）

例題.（單選）如圖1所示，圓心為O、半徑為R的半圓形玻璃磚置于水平桌面上，光線從P點垂直界面入射后，恰好在玻璃磚的圓形表面發生全反射；當入射角θ=60°時，光線從玻璃磚圓形表面出射后恰好與入射光線平行.已知真空中的光速為c，則

圖1

1 試題剖析

此題考查全反射、折射定律、平行玻璃磚、折射率、光在介質中的傳播速度、臨界角等知識，以及數學能力和綜合運用知識的能力，難度較大.

解答此題時，首先不難畫出垂直入射時的光路圖，如圖2所示.設玻璃磚的折射率為n，在圓形界面恰好發生全反射時的入射角為C，則根據折射定律有

圖2

而入射角θ=60°時的光路圖不好畫，因為難以找到光在玻璃磚中的出射點.這也是此題最難突破的地方.但是如果根據已知“出射光線與入射光線平行”并且想到“光入射平行玻璃磚時，出射光線與入射光線平行”，再加上圓的簡單幾何性質，則容易判斷出此時的出射點就是半圓玻璃磚的頂點，因為半圓頂點處的切線與OP平行，相當于“平行玻璃磚”.此時的光路圖如圖3所示.設在P點折射時的折射角為θ2，則易知在頂點折射時的入射角也為θ2，則有

圖3

回看上述解答過程，部分心細的學生可能會在好奇心的驅使下心存疑慮：如果第2次光不是從玻璃磚的頂點射出，則出射光線有沒有可能也會平行于入射光線？如何來論證這個問題？此時有兩種情況，出射點偏左如圖4所示和出射點偏右如圖5所示.對于圖4中的情形，根據圓周角和三角形外角的知識（如圖6所示），易知θ3＜θ2，則此時出射光會更加靠近法線，但是相比于從頂點出射，法線向左偏轉了，所以不能排除出射光與入射光平行的情況.同理，對于圖5中的情形，也不能排除出射光與入射光平行的情況.這些困難是由于光進入玻璃磚第二次折射時的入射角、法線、折射角都在變化，而且圓中的幾何比較復雜造成的.如果能夠從中提煉出“光射入非平行玻璃磚時，出射光線與入射光線一定不平行”或者說“當且僅當，光射入平行玻璃磚時，出射光線才平行于入射光線”的論斷，然后再證明這個論斷，問題就會變得明朗起來.

圖4

圖5

圖6

圖7

2 充要性論證

根據上面的分析，我們已經將問題的焦點轉移到尋求出射光線與入射光線平行的充要條件上來.易知，若光入射平行玻璃磚，則一定有出射光線與入射光線平行（證明略），如圖8所示.而若光入射某玻璃磚，發現出射光線與入射光線平行，則這個玻璃磚一定是平行玻璃磚嗎？答案是肯定的，證明如下.

圖8

方法1.采用反證法.如圖9，光入射某玻璃磚（界面不平行），且出射光線與入射光線平行，設玻璃磚的折射率為n，第一次折射時的入射角為θ1，折射角為θ2，第2次折射時的入射角為θ3，折射角為θ4，則根據折射定律，有

圖9

再過第2次折射點，做第1次折射時的法線的平行線，設第1次折射時的法線與第2次折射時的法線的夾角為α，如圖10所示.則根據平行關系，易知

圖10

將（5）式代入（4）式，有

圖11

方法2.如圖12所示，設光線第一次折射時順時針偏轉α1，第2次折射時逆時針偏轉α2，則易知出射光線平行于入射光線的充要條件是α1=α2.做出法線，設此時出射光線平行于入射光線，α1=α2=α，且設出各角如圖13所示.則由折射定律可得

圖12

圖13

應用兩角和公式對（7）式進行化簡，可得tanθ1=tanθ2，即θ1=θ2，而這便意味著兩次折射的法線平行，即為平行玻璃磚.即命題得證.

方法3.想象實驗法.如圖14，光射入平行玻璃磚，出射光線與入射光線平行，現在假設通過一種實驗操作將玻璃磚的上界面改變到圖14中虛線的位置，則易知出射光線的方向一定會改變，因為發生第2次折射前的光路沒有任何變化，玻璃的折射率沒有變，而玻璃磚的上界面發生了變化，所以出射光線的方向一定會發生變化，而之前其與入射光線平行，變化之后則一定不平行，所以不平行玻璃磚的出射光線與入射光線一定不平行，命題得證.

圖14

綜上所述，根據所證明的“光入射玻璃磚時，當且僅當出射界面與入射界面平行時，出射光線才平行于入射光線”，不難得知光線必須從圓形玻璃磚的頂點出射，才能滿足題意.