論出射光線與入射光線平行的充要條件
——對(duì)2020年7月浙江省物理高考第13題的嚴(yán)格論證

閆二斌 景銀安 楊 洋 王偉民 郝晨凱

（1.宜川縣中學(xué)，陜西 延安 716200；2.太和縣宮集鎮(zhèn)中心學(xué)校，安徽 卓陽 236652；3.阿房路三校，陜西 西安 710016）

例題.（單選）如圖1所示，圓心為O、半徑為R的半圓形玻璃磚置于水平桌面上，光線從P點(diǎn)垂直界面入射后，恰好在玻璃磚的圓形表面發(fā)生全反射；當(dāng)入射角θ=60°時(shí)，光線從玻璃磚圓形表面出射后恰好與入射光線平行.已知真空中的光速為c，則

圖1

1 試題剖析

此題考查全反射、折射定律、平行玻璃磚、折射率、光在介質(zhì)中的傳播速度、臨界角等知識(shí)，以及數(shù)學(xué)能力和綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，難度較大.

解答此題時(shí)，首先不難畫出垂直入射時(shí)的光路圖，如圖2所示.設(shè)玻璃磚的折射率為n，在圓形界面恰好發(fā)生全反射時(shí)的入射角為C，則根據(jù)折射定律有

圖2

而入射角θ=60°時(shí)的光路圖不好畫，因?yàn)殡y以找到光在玻璃磚中的出射點(diǎn).這也是此題最難突破的地方.但是如果根據(jù)已知“出射光線與入射光線平行”并且想到“光入射平行玻璃磚時(shí)，出射光線與入射光線平行”，再加上圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，則容易判斷出此時(shí)的出射點(diǎn)就是半圓玻璃磚的頂點(diǎn)，因?yàn)榘雸A頂點(diǎn)處的切線與OP平行，相當(dāng)于“平行玻璃磚”.此時(shí)的光路圖如圖3所示.設(shè)在P點(diǎn)折射時(shí)的折射角為θ2，則易知在頂點(diǎn)折射時(shí)的入射角也為θ2，則有

圖3

回看上述解答過程，部分心細(xì)的學(xué)生可能會(huì)在好奇心的驅(qū)使下心存疑慮：如果第2次光不是從玻璃磚的頂點(diǎn)射出，則出射光線有沒有可能也會(huì)平行于入射光線？如何來論證這個(gè)問題？此時(shí)有兩種情況，出射點(diǎn)偏左如圖4所示和出射點(diǎn)偏右如圖5所示.對(duì)于圖4中的情形，根據(jù)圓周角和三角形外角的知識(shí)（如圖6所示），易知θ3＜θ2，則此時(shí)出射光會(huì)更加靠近法線，但是相比于從頂點(diǎn)出射，法線向左偏轉(zhuǎn)了，所以不能排除出射光與入射光平行的情況.同理，對(duì)于圖5中的情形，也不能排除出射光與入射光平行的情況.這些困難是由于光進(jìn)入玻璃磚第二次折射時(shí)的入射角、法線、折射角都在變化，而且圓中的幾何比較復(fù)雜造成的.如果能夠從中提煉出“光射入非平行玻璃磚時(shí)，出射光線與入射光線一定不平行”或者說“當(dāng)且僅當(dāng)，光射入平行玻璃磚時(shí)，出射光線才平行于入射光線”的論斷，然后再證明這個(gè)論斷，問題就會(huì)變得明朗起來.

圖4

圖5

圖6

圖7

2 充要性論證

根據(jù)上面的分析，我們已經(jīng)將問題的焦點(diǎn)轉(zhuǎn)移到尋求出射光線與入射光線平行的充要條件上來.易知，若光入射平行玻璃磚，則一定有出射光線與入射光線平行（證明略），如圖8所示.而若光入射某玻璃磚，發(fā)現(xiàn)出射光線與入射光線平行，則這個(gè)玻璃磚一定是平行玻璃磚嗎？答案是肯定的，證明如下.

圖8

方法1.采用反證法.如圖9，光入射某玻璃磚（界面不平行），且出射光線與入射光線平行，設(shè)玻璃磚的折射率為n，第一次折射時(shí)的入射角為θ1，折射角為θ2，第2次折射時(shí)的入射角為θ3，折射角為θ4，則根據(jù)折射定律，有

圖9

再過第2次折射點(diǎn)，做第1次折射時(shí)的法線的平行線，設(shè)第1次折射時(shí)的法線與第2次折射時(shí)的法線的夾角為α，如圖10所示.則根據(jù)平行關(guān)系，易知

圖10

將（5）式代入（4）式，有

圖11

方法2.如圖12所示，設(shè)光線第一次折射時(shí)順時(shí)針偏轉(zhuǎn)α1，第2次折射時(shí)逆時(shí)針偏轉(zhuǎn)α2，則易知出射光線平行于入射光線的充要條件是α1=α2.做出法線，設(shè)此時(shí)出射光線平行于入射光線，α1=α2=α，且設(shè)出各角如圖13所示.則由折射定律可得

圖12

圖13

應(yīng)用兩角和公式對(duì)（7）式進(jìn)行化簡(jiǎn)，可得tanθ1=tanθ2，即θ1=θ2，而這便意味著兩次折射的法線平行，即為平行玻璃磚.即命題得證.

方法3.想象實(shí)驗(yàn)法.如圖14，光射入平行玻璃磚，出射光線與入射光線平行，現(xiàn)在假設(shè)通過一種實(shí)驗(yàn)操作將玻璃磚的上界面改變到圖14中虛線的位置，則易知出射光線的方向一定會(huì)改變，因?yàn)榘l(fā)生第2次折射前的光路沒有任何變化，玻璃的折射率沒有變，而玻璃磚的上界面發(fā)生了變化，所以出射光線的方向一定會(huì)發(fā)生變化，而之前其與入射光線平行，變化之后則一定不平行，所以不平行玻璃磚的出射光線與入射光線一定不平行，命題得證.

圖14

綜上所述，根據(jù)所證明的“光入射玻璃磚時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)出射界面與入射界面平行時(shí)，出射光線才平行于入射光線”，不難得知光線必須從圓形玻璃磚的頂點(diǎn)出射，才能滿足題意.