淺談數(shù)學(xué)史在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的作用與應(yīng)用

劉莉莉

一門科學(xué)的歷史是那門科學(xué)中最寶貴的部分，科學(xué)只能給我們知識(shí)，而歷史卻能給我們智慧。數(shù)學(xué)史是研究數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生發(fā)展及其規(guī)律的學(xué)科，簡(jiǎn)單地說(shuō)就是研究數(shù)學(xué)的歷史。它不僅追溯數(shù)學(xué)內(nèi)容、思想和方法的演變、發(fā)展過程，而且還探索影響這種過程的各種因素。因此，數(shù)學(xué)史研究對(duì)象不僅包括具體的數(shù)學(xué)內(nèi)容，而且涉及歷史學(xué)、哲學(xué)、文化學(xué)、宗教等社會(huì)科學(xué)與人文科學(xué)內(nèi)容，是一門交叉性學(xué)科。數(shù)學(xué)教材是經(jīng)過千錘百煉，是在科學(xué)性與教育要求相結(jié)合的原則指導(dǎo)下經(jīng)過反復(fù)編寫的，是將歷史上的數(shù)學(xué)材料按照一定的邏輯結(jié)構(gòu)和學(xué)習(xí)要求加以取舍編纂的知識(shí)體系，這樣就必然舍棄許多數(shù)學(xué)概念和方法形成的實(shí)際背景、知識(shí)背景、演化歷程以及導(dǎo)致其演化的各種因素，因此僅憑數(shù)學(xué)教材的學(xué)習(xí)，難以獲得數(shù)學(xué)的原貌和全景，同時(shí)忽視了那些被歷史淘汰掉的但對(duì)現(xiàn)實(shí)科學(xué)或許有用的數(shù)學(xué)材料與方法，而彌補(bǔ)這方面不足的最好途徑就是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史。同時(shí)，教材也容易使學(xué)生產(chǎn)生誤解，以為數(shù)學(xué)家獲得知識(shí)很輕松，這嚴(yán)重阻礙了學(xué)生創(chuàng)造力的發(fā)展。因此，在數(shù)學(xué)的教與學(xué)中存在著這種矛盾：教育者為了讓學(xué)生能夠更快更好的掌握數(shù)學(xué)知識(shí)，將知識(shí)系統(tǒng)化，然而，系統(tǒng)化的知識(shí)卻無(wú)法讓學(xué)生理解到知識(shí)大都是經(jīng)過疑問、猜想、論證、檢驗(yàn)、完善等，一步一步成熟起來(lái)的，這就極大地影響了學(xué)生準(zhǔn)確理解數(shù)學(xué)思維方式的形成，這也正是數(shù)學(xué)史應(yīng)用的價(jià)值和意義。

那么數(shù)學(xué)史對(duì)中學(xué)的教學(xué)到底有什么樣的影響呢？

第一：緩解數(shù)學(xué)恐懼，增加數(shù)學(xué)興趣。如果說(shuō)談虎色變，那么對(duì)于很多中小學(xué)學(xué)生來(lái)講，一定是談數(shù)色變。提到數(shù)學(xué)就是自己的薄弱學(xué)科，是學(xué)習(xí)生涯中的噩夢(mèng)。作為一門基礎(chǔ)學(xué)科，其實(shí)沒有那么可怕，也有人戲說(shuō)，學(xué)數(shù)學(xué)沒有什么用，生活中買菜也用不著，確實(shí)，不學(xué)數(shù)學(xué)，我們也可以去買菜，但是學(xué)了數(shù)學(xué)，我們買菜的地方可能就會(huì)發(fā)生改變。人體中的數(shù)學(xué)，如在面部：從發(fā)際到下頦與眼外眥到下頦、從口裂到下頦與從鼻翼到下頦、面寬度與兩眼外眥間距、眼外眥到口裂與口裂和鼻底寬之間等，均是完美的黃金比率;人體軀干部也具有這種關(guān)系，如頭頂?shù)蕉悄殻悄毜侥_底，頭頂至喉結(jié)節(jié)，喉結(jié)節(jié)至肚臍等距離間的比例，同樣符合黃金分割。黃金比率的符合，證明了人體是大自然完美與和諧的產(chǎn)物。而這個(gè)比值的發(fā)現(xiàn)是古希臘哲學(xué)、數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯，由于偶然機(jī)遇，在試折木棒時(shí)，按不同的比例多次比較，發(fā)現(xiàn)短段與長(zhǎng)段之比為1：1.618=0.618時(shí)最美，從而第一次將“數(shù)”與“美”聯(lián)系起來(lái)，后來(lái)古希臘美學(xué)家柏拉圖將此比例稱為黃金分割。聽到這個(gè)數(shù)字的起源學(xué)生們可能就會(huì)對(duì)所學(xué)內(nèi)容產(chǎn)生興趣，增加審美意識(shí)，同時(shí)感覺到數(shù)字就在身邊，也減少內(nèi)心的恐懼，而且數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯發(fā)現(xiàn)這個(gè)數(shù)字過程，他們聽后一定對(duì)數(shù)學(xué)減少恐慌，原來(lái)有數(shù)學(xué)結(jié)論是在無(wú)意中發(fā)現(xiàn)的。還有很多關(guān)于數(shù)學(xué)概念的歇后語(yǔ)，如果在教學(xué)中應(yīng)用上，不僅可以減少恐懼，增加興趣，還可以幫助學(xué)生對(duì)該概念的理解，我們舉幾個(gè)簡(jiǎn)單的例子：小小的房子——區(qū)間;并駕齊驅(qū)——平行;大同小異——相似;一模一樣——全等......

第二：建立榜樣，給自己加油打氣。陶哲軒14歲讀大學(xué)，17歲赴美師從沃爾夫獎(jiǎng)獲得者埃利亞斯·施泰因，21歲獲得博士學(xué)位，2006年31歲獲得菲爾茲獎(jiǎng)，他的成就橫跨多個(gè)數(shù)學(xué)領(lǐng)域。華羅庚年幼時(shí)中途輟學(xué)，做了雜貨店的記賬員。但他并沒有放棄自己的數(shù)學(xué)研究的愛好。然而禍不單行，正在他發(fā)奮自學(xué)時(shí)，他染上了可怕的傷寒癥，醫(yī)生判定為無(wú)藥可救。然而，他卻奇跡般地活了下來(lái)，遺憾的是腿腳不便，變成了殘疾。憑著堅(jiān)持不懈的努力，勤奮自學(xué)，于1930年，以《蘇家駒之代數(shù)五次方程式不能成立的理由》的論文，在中國(guó)數(shù)學(xué)界得到刮目相看。他親自組織和推廣的“優(yōu)選法”、“統(tǒng)籌法”，使之在社會(huì)主義現(xiàn)代化建設(shè)中顯示出了巨大的威力。國(guó)外也有很多值得學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)家，比如：牛頓22歲發(fā)現(xiàn)二項(xiàng)式定理，23歲創(chuàng)立微積分學(xué)。高斯3歲時(shí)便能夠糾正他父親的借債賬目，9歲用很短的時(shí)間計(jì)算出了小學(xué)老師布置的任務(wù)，19歲解決正多邊形作圖的判定問題，20歲證明代數(shù)基本定理，24歲出版影響整個(gè)19世紀(jì)數(shù)論發(fā)展、至今仍相當(dāng)重要的《算術(shù)研究》。

杰出數(shù)學(xué)家的故事對(duì)于許多學(xué)生來(lái)說(shuō)，有著巨大的激勵(lì)作用。一是，有些數(shù)學(xué)家在成長(zhǎng)過程中遭遇過挫折，他們?cè)诳嘀星筮M(jìn)的精神可以鼓舞學(xué)生，使得學(xué)生不輕易放棄，培養(yǎng)學(xué)生堅(jiān)毅的品質(zhì)。二是，也有著名數(shù)學(xué)家都犯過今天看來(lái)相當(dāng)可笑的錯(cuò)誤，知道大數(shù)學(xué)家是如何遭遇挫折和犯錯(cuò)誤，不僅可以讓學(xué)生在數(shù)學(xué)方法上從反面獲得全新的體會(huì)，而且可以讓學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)過程中遇到的困難、樹立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信。

第三：增強(qiáng)民族自信心，培養(yǎng)愛國(guó)主義情懷。作為四大文明古國(guó)之一，中國(guó)有著悠久的歷史和燦爛的文化，為世界文明作出了不朽的貢獻(xiàn)。在世界數(shù)學(xué)史上，中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展和成就占有非常重要的地位。比如：十進(jìn)位制記數(shù)法是我國(guó)古代勞動(dòng)人民一項(xiàng)非常出色的創(chuàng)造。它比世界上其他一些文明發(fā)生較早的地區(qū)，如古巴比倫、古埃及和古希臘所用的計(jì)算方法要優(yōu)越得很多，而且現(xiàn)在被世界普遍使用;圓周率的計(jì)算，祖沖之的杰出成就比西方早一千多年;另外，祖沖之還與他的兒子祖暅用巧妙的方法解決了球體體積的計(jì)算，這一新的發(fā)現(xiàn)也比西方早一千多年;楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn)，在歐洲，帕斯卡發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，所以這個(gè)表后來(lái)又叫做帕斯卡三角，但是帕斯卡的發(fā)現(xiàn)比楊輝要遲393年。 丘成桐是公認(rèn)的當(dāng)代最具影響力的數(shù)學(xué)家之一。他的工作深刻變革并極大擴(kuò)展了偏微分方程在微分幾何中的作用，影響遍及拓?fù)鋵W(xué)、代數(shù)幾何、表示理論、廣義相對(duì)論等眾多數(shù)學(xué)和物理領(lǐng)域。1981年，32歲的他獲得了美國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)的維布倫獎(jiǎng)，這是世界微分幾何界的最高獎(jiǎng)項(xiàng)之一;1983年，他被授予菲爾茲獎(jiǎng)?wù)拢@是世界數(shù)學(xué)界的最高榮譽(yù);1994年，他又榮獲了克勞福獎(jiǎng)。 丘成桐已囊括菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫獎(jiǎng)、克萊福特獎(jiǎng)這三個(gè)世界頂級(jí)大獎(jiǎng)，歷史上僅有兩位數(shù)學(xué)家囊括這三大獎(jiǎng)項(xiàng)，另一位是比利時(shí)數(shù)學(xué)家德利涅。丘成桐得獎(jiǎng)還為沃爾夫獎(jiǎng)創(chuàng)造了另一佳話：他是繼自己的導(dǎo)師陳省身之后，第二位獲得沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)的華人。中國(guó)人工智能之父吳文俊在數(shù)學(xué)上作出許多重大貢獻(xiàn)。拓?fù)鋵W(xué)方面，在示性類、示嵌類等領(lǐng)域獲得一系列成果，還得到許多著名公式，指出了這些理論和方法的廣泛應(yīng)用。他還在拓?fù)洳蛔兞俊⒋鷶?shù)流形等問題上有創(chuàng)造性工作。1956年吳文俊因在拓?fù)鋵W(xué)中的示性類和示嵌類方面的卓越成就獲中國(guó)自然科學(xué)獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)。2010年5月4日，國(guó)際小行星中心先后發(fā)布公報(bào)通知國(guó)際社會(huì)，將國(guó)際永久編號(hào)第7683號(hào)小行星命名為“吳文俊星”。數(shù)學(xué)史和數(shù)學(xué)家的故事在教學(xué)中如果可以有機(jī)的滲透進(jìn)去，無(wú)疑會(huì)觸動(dòng)民族自信心，自尊心，培養(yǎng)愛國(guó)情懷。

既然數(shù)學(xué)史對(duì)教學(xué)有這么重要的影響，那教學(xué)中我們具體可以如何使之發(fā)揮其作用呢？下面我們以具體案例談一下數(shù)學(xué)史如何應(yīng)用在教學(xué)中。

一、概念課堂自然引入，枯燥概念添生機(jī)。

圓是一個(gè)古老的課題，與生活和生產(chǎn)息息相關(guān)，課堂上講授概念其實(shí)是很無(wú)聊的課，一節(jié)課下來(lái)感覺就是在炒冷飯，沒有生機(jī)，死氣沉沉。如果把圓的歷史加入課堂，一定會(huì)收獲另外一個(gè)課堂。比如，課堂情景導(dǎo)入時(shí)，圓的最早概念是古代人從太陽(yáng)，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的，那么是什么人作出第一個(gè)圓的呢？提出問題，讓學(xué)生腦袋運(yùn)作起來(lái)。

導(dǎo)入圓的故事：18000年前的山頂洞人用一種尖狀的石器來(lái)鉆孔，一面鉆不透，再?gòu)牧硪幻驺@。石器的尖是圓心，它的寬度的一半就是半徑，這樣以同一個(gè)半徑和圓心一圈圈地轉(zhuǎn)就可以鉆出一個(gè)圓的孔。到了陶器時(shí)代，許多陶器都是圓的。圓的陶器是將泥土放在一個(gè)轉(zhuǎn)盤上制成。6000年前，半坡人就已經(jīng)會(huì)造圓形的房頂了，古代人還發(fā)現(xiàn)圓的木頭滾著走比較省勁，后來(lái)他們?cè)诎徇\(yùn)重物時(shí)，就把幾段圓木墊在重物的下面滾著走，這樣就比扛著走省勁。大約在6000年前，美索不達(dá)米亞人，做出了世界上第一個(gè)輪子：圓的木輪。約在4000年前，人們將圓的木輪固定在木架上，這就成了最初的車子。然而這些都沒有給出圓的概念，會(huì)作圓并且真正了解圓的性質(zhì)，卻是在2000多年前，是由我國(guó)的墨子給出圓的概念的：“一中同長(zhǎng)也。”意思是說(shuō)，圓有一個(gè)圓心，圓心到圓周的長(zhǎng)都相等。這個(gè)定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓下定義要早100年。

通過講這些故事，讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)到，數(shù)學(xué)中定義的得來(lái)并不像課本那樣系統(tǒng)、簡(jiǎn)單，其由來(lái)，也是經(jīng)歷了很多年，很多人不懈的努力才。

二、數(shù)學(xué)史事合理選，教學(xué)具有針對(duì)性。

數(shù)系的擴(kuò)充其實(shí)也是一節(jié)無(wú)聊的概念課，如果把數(shù)學(xué)故事添加里面也會(huì)變得不一樣。無(wú)理數(shù)的出現(xiàn)，數(shù)學(xué)史上第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。古希臘畢氏學(xué)派信封“萬(wàn)物皆為數(shù)”，但是他們中的一個(gè)學(xué)員，西帕索斯卻發(fā)現(xiàn)邊長(zhǎng)為1的正方形的對(duì)角線長(zhǎng)不可以用已有的有理數(shù)來(lái)表示，這一發(fā)現(xiàn)使該學(xué)派領(lǐng)導(dǎo)人惶恐、惱怒，認(rèn)為這將動(dòng)搖他們?cè)趯W(xué)術(shù)界的統(tǒng)治地位。希帕索斯受到百般折磨，最后競(jìng)遭到沉舟身亡的懲處。這個(gè)故事雖然有點(diǎn)恐慌，其實(shí)也在告訴學(xué)生數(shù)系的擴(kuò)充并不是一帆風(fēng)順的，有些看起來(lái)荒誕的東西不一定是不存在的，只不過是跟我們的認(rèn)知界限有關(guān)系，我們看起來(lái)感覺很荒謬，隨著我們認(rèn)知的擴(kuò)充，很多東西就會(huì)慢慢的被人們系統(tǒng)化的認(rèn)識(shí)。所以數(shù)系擴(kuò)充以后也存在平方為負(fù)數(shù)的數(shù)，這樣學(xué)生就會(huì)很自然的接受。虛數(shù)的概念最初由17世紀(jì)笛卡爾提出，從而數(shù)系擴(kuò)充到復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用，然而它在剛提出時(shí)在科學(xué)界引起了很多爭(zhēng)議。復(fù)數(shù)的確很抽象，然而如果沒有它，現(xiàn)代的大部分代數(shù)、數(shù)論和物理學(xué)就不會(huì)存在。而且我們可能永遠(yuǎn)不會(huì)發(fā)展出四元數(shù)、八元數(shù)等。

適當(dāng)?shù)倪x擇數(shù)學(xué)史料，可以增加學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，同時(shí)數(shù)學(xué)家的探索精神對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)也有積極的榜樣作用。

歷史名題充分用，教學(xué)研究趣味增。

高二數(shù)學(xué)教學(xué)中涉及到數(shù)列的遞推公式，但是在我們的教材中對(duì)數(shù)列的遞推公式的介紹比較簡(jiǎn)單，若在介紹“數(shù)列的遞推公式”內(nèi)容時(shí)補(bǔ)充一些有名、有趣的數(shù)列，利用聯(lián)想與化歸的數(shù)學(xué)思想，來(lái)解決數(shù)學(xué)問題，使學(xué)生借助遞推思想，提高分析問題解決問題的能力，培養(yǎng)嚴(yán)密的思維習(xí)慣，促進(jìn)個(gè)性品質(zhì)良好發(fā)展。

十三世紀(jì)，意大利數(shù)學(xué)家倫納德提出下面一道有趣的問題：如果每對(duì)大兔每月生一對(duì)小兔，而每對(duì)小兔生長(zhǎng)一個(gè)月就成為大兔，并且所有的兔子全部存活，那么有人養(yǎng)了初生的一對(duì)小兔，一年后 共有多少對(duì)兔子？想：第一個(gè)月初，有1對(duì)兔子;第二個(gè)月初，仍有一對(duì)兔子;第三個(gè)月初，有2對(duì)兔子;第四個(gè)月初，有3對(duì)兔子;第五個(gè)月初，有5對(duì)兔子：第六個(gè)月初，有8對(duì)....把對(duì)數(shù)順序排列起來(lái)，可得到下面的數(shù)列：1，1，2，3，5，8，13，觀察數(shù)列：從第三個(gè)月起，每月兔子的對(duì)數(shù)都等于前兩個(gè)月對(duì)數(shù)的和。根據(jù)這個(gè)規(guī)律，推算出第十三個(gè)月初的兔子對(duì)數(shù)，也就是一年后養(yǎng)兔人有兔子的總對(duì)數(shù)。

這是大名鼎鼎是斐波那契數(shù)列，數(shù)列的遞推式滿足如下關(guān)系式：

數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列作為離散型函數(shù)的解析式，有了它無(wú)疑就抓住了數(shù)列的全貌，為我們計(jì)算數(shù)列的任意項(xiàng)和研究它的整體性質(zhì)提供了一個(gè)關(guān)鍵的抓手.若在講授數(shù)列的新課導(dǎo)入時(shí)也使用數(shù)學(xué)名題，這對(duì)初學(xué)數(shù)列者來(lái)說(shuō)，無(wú)疑感到數(shù)列好玩，并產(chǎn)生濃厚興趣.

傳說(shuō)希臘畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的數(shù)學(xué)家經(jīng)常在沙灘上研究數(shù)學(xué)問題，他們?cè)谏碁┥袭孅c(diǎn)或用小石子來(lái)表示數(shù)。他們研究過1，3，6，10，...由于這些數(shù)可以用如圖所示的三角形點(diǎn)陣表示，他們將其稱為三角形數(shù)，你能依次寫出后面的數(shù)字嗎？

這是古老的三角形數(shù)列，數(shù)列遞推關(guān)系式滿足：

利用累加法可得數(shù)列通項(xiàng)公式：

在教學(xué)中可以依此延伸探究如果數(shù)列滿足：可用累乘法，計(jì)算數(shù)列通項(xiàng)公式。增加課堂探究性，豐富課堂。

數(shù)學(xué)發(fā)展至今，課本內(nèi)容對(duì)于授課者來(lái)說(shuō)就是在炒冷飯，數(shù)學(xué)邏輯性強(qiáng)，很多同學(xué)學(xué)著學(xué)著可能對(duì)這門課失去信心，失去興趣。若老師在課堂上多用數(shù)學(xué)史也許可以緩解學(xué)生的焦慮，增加學(xué)生的興趣和自信。這是數(shù)學(xué)史融入教學(xué)基本的作用。另外，課堂上數(shù)學(xué)史的融入還應(yīng)當(dāng)更深層次的發(fā)揮其價(jià)值，促進(jìn)學(xué)生獲得思維的發(fā)展。冷飯已備好，炒出什么味道，就靠各老師各顯神通。