基于信息化思維的幾何直觀教學策略探尋

戴厚祥 朱濤

【摘 要】空間形式最主要的表現就是“圖形”，幾何直觀在數據的支撐下并不是虛無的，而是具體的。但實際教學中的種種誤區使得真正的幾何直觀素養沒有發展。本文利用項目化學習，同時基于信息化思維方式，解開小學數學教學中對幾何直觀的誤解，突破幾何直觀學習中的重難點，全面有效地提升學生的數學核心素養與信息化思維能力。

【關鍵詞】項目化學習;信息化思維;幾何直觀;教學策略

【中圖分類號】G434 【文獻標識碼】A

【論文編號】1671-7384（2021）04-069-05

現象掃描：幾何直觀教學中的思維誤區

生活中處處體現著幾何直觀的價值。當人們在打開“滴滴出行”自動設置最短路線時，這是幾何直觀;當你想給書房里添置書柜時，打開蘋果手機里的“測距儀”，測量書柜的長、寬、高，繪制立柜圖時，這也是幾何直觀;當茫茫大海中，失事的船員只需要發射坐標，海員利用GPS確定位置實施營救時，這同樣也是幾何直觀。幾何直觀不但可以把復雜的社會問題變得簡明、形象，為解決問題提供思路，還能準確直觀地描述事物或者現象的內在規律。可實情恰恰相反，很多時候，學生即使已經學過，也不理解，更不會用。筆者以為，主要源于幾何直觀教學中的幾大誤區。

1.幾何直觀價值認知的片面化

日常教學中，教師將幾何直觀定位為“解題工具”。學生往往陷入畫示意圖、線段圖等解題泥淖中，而無法體會幾何直觀的真正價值。同時，在涉及幾何直觀的課堂教學中，幾何直觀不受重視甚至被忽略，沒有意識到幾何直觀更深遠的價值。學會用圖形思考、想象問題是研究數學的基本能力，但是幾何直觀不能局限于為了解決某個具體的數學題服務，應該著眼于理解數學。從對直觀的解讀中可知，隨著學生的學習深入，某些研究對象是“看不見，摸不著”的，極度抽象。例如，人類很難想象“四維空間”，但是借助對“一維、二維、三維空間”的思考，就能夠想象出“高維空間”的雛形，這才是幾何直觀真正價值的體現。

2.幾何直觀培養的單一化

筆者曾在某數學雜志上看到一篇相關論文，教師花費了大量篇幅介紹利用實物操作刺激感官的方式，借助豐富的實踐材料來幫助學生理解長方體與長方形之間的關系，卻沒有涉及任何需要學生測量的地方。顯然，大部分教師認為幾何直觀素養指向“形象思維”，而與“形象思維”相對的就是“抽象思維”。因此，教師往往在教學中引入大量的實物，讓學生通過看、摸、拆、拼等操作感知，認為這是認識圖形的好方法。誠然，這是認識圖形的一種方式，但是基于幾何直觀下的“形象思維”并不只是簡單地從抽象的概念到相應的顯示模型，更應是一種抽象思考之后的“重構”。若能從長方形的長、寬和長方體的長、寬、高入手，更能體現幾何直觀本質。

厘清信息化思維與幾何直觀學習的價值與聯系

1.幾何直觀的價值

（1）從定義看價值

從字義上有兩處理解：一是幾何，圖形是數學研究的基本的、主要的研究對象;二是直觀，直觀的理解首先是最淺層次的“看得見、摸得著”，再到“看得見、摸不著”，最后是“看不見、摸不著”但是“想得到”。

（2）從課標看價值

《小學數學課程標準（2011年版）》指出：“幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用[1]。”幾何直觀與數學的內容聯系緊密。許多數學內容、概念，如度量、坐標、函數圖像、解析幾何、極坐標、向量等，既具“數的特性”，也有“形的特征”，顯然，只有從這兩個方面認識它們，才能有更加清晰的認識，更容易掌握它們的本質意義。

2.信息化思維的價值

（1）從特點看價值

信息化思維并不是指學生會使用某一電腦軟件或掌握哪一門技術，而是指學生在解決問題中能夠想到用信息技術的手段去思考、去決策的能力或思維方式。軟件的知識是學不完的，如果眼光局限于知識性內容的學習，結果也只能是只見樹木，不見森林。

又由于信息技術的非數學學科特點較多，我們這里研究的是與小學數學相關性的特點。小學階段，學生處于“具體運算階段”，而計算機處理數據、圖像等信息更加準確、快捷;此外，信息技術本身具有的就是信息性，體現在日常生活中人們對信息的收集與獲取、對信息的存儲與傳播等。因此，良好的信息技術能力能夠提高學生的社會適應能力。

（2）從課標看價值

《中小學信息技術課程指導綱要（試行）》中指出：“中小學信息課程的任務是：培養學生對信息技術的興趣和意識，讓學生了解或掌握信息技術基本知識和技能，使學生具有獲取信息、傳輸信息、處理信息、應用信息技術手段的能力，形成良好的文化素養，為他們適應信息社會的學習、工作和生活打下必要的基礎[2]。”由此看來，學生掌握必要的信息技術也是時代發展的需要。

3.信息化思維與幾何直觀學習的聯系

（1）信息技術是探究幾何直觀良好的輔助性工具

信息技術經常被用于解決某一“難以直觀化難題”的工具，是幾何直觀的重要操作手段，以“繪制平面圖”為例，學生手繪也可以，請問信息技術的優勢在哪里？首先是精準的尺寸標注：能夠等比例標注出實際的建筑大小，避免因人為繪圖帶來的誤差。準確的數據背后，滲透了嚴謹的學習態度——“以事實為依據”。信息技術能夠讓圖形“動”起來，再現“動”的過程和結果，如對稱、旋轉、翻折等，是培養幾何直觀的妙招。

（2）信息化思維是改變學習方式的關鍵

學生在操作計算機時，能夠化被動學習為主動學習。如學生想要實現某一效果，不知道該按哪個鍵？……教師可以啟發學生能夠避開這個操作嗎？而不是直接把結果告知學生。再如，學生在用計算機繪制校園花壇時，圖形過于復雜，教師也是應建議學生換個角度思考，而不是直接出示結果圖。學生解決了圖形的問題，從而完成項目中的小目標，不僅推動了項目的前進，更能夠激發“我要學”的求知欲。

策略建構

1.情境任務驅動幾何直觀化策略

（1）創設情境，激發畫圖動機

基于信息化思維的幾何直觀，是一種理性、科學的思維模式。但我們并不會在教學過程中直接給予學生相應的信息技術支持，要求大家據此繪圖。這看似直接切入，節省了時間，實則將學生和信息化思維割裂開來。小學生信息能力的發展前提是需要具體問題的支持。因此首要途徑應該是創設具體情境，這不但能激發他們主動收集信息的積極性，還能告訴他們，為什么我們要用信息手段來解決問題，切實為學生提供了具體經驗的支持。

在“繪制平面圖”一課中，筆者提供了如下情境：播放《哈利波特與混血王子》片段后，提問：“哈利通過什么發現了斯內普教授的蹤跡？”哈利在斯內普轉彎的前一秒用隱形斗篷躲了過去，說明這幅地圖怎么樣？（學生答繪制準確，圖與現實沒有差別）如果讓你來主持繪制某一地點的平面圖，你會怎樣做來確保任務的成功？（學生答要保證這個平面圖和現實實際情況是一樣的，沒有差錯）

雖然學生沒有明確提出“信息”這個詞，但已經意識到要解決情境中的問題，需要借助一個準確的平面構圖平臺，而準確的平面圖需要信息技術的支持，學生所提到的“建筑的具體大小、測量的結果”其實就是數據。“具體的資料”實際上就是“獲取信息”的需要。在筆者設立情境后，發現學生接下來面對制作平面圖之前收集信息的熱情和專注度明顯有所提升。反之不創設情境，學生不會意識到信息獲取的作用。因此，即使課堂時間有限，我們也不能操之過急，只有讓學生產生“獲取信息”的需求，在接下來的環節中學生才能保持較高的積極性。

（2）真實任務，驅動幾何直觀的數據收集

在引入了情境之后，學生獲取的動機已經調動起來。但這時候學生還不清楚具體的問題是什么？獲取信息是為誰服務的？為了達到這個目標我們需要獲取什么信息？不同類型的信息獲取方式是否一樣？給出“真實任務”能夠幫助解決學生的困惑。

真實任務是延續之前情境而來的任務，和教師所創設情境有緊密關聯。以筆者在“繪制平面圖”一課中的嘗試為例，筆者先以“美麗校園”為背景創設情境后，以“繪制母校平面圖幫助施工”切入，讓學生明確“小組合作繪制將軍山小學平面圖”的任務。此時，學生會給出非常多的答案，如建筑物、俯視圖、道路名稱、比例尺的選擇、位置關系、繪圖工具、測量工具等。這里面有些信息收集起來容易，有些很困難;有些能夠通過互聯網獲取，有些不好獲取。但沒關系，教師應該鼓勵學生盡可能全面地去思考、補充，全面客觀地收集信息是信息化思維的重要環節。

2.信息化思維指導幾何直觀思維參與的策略

有足夠全面客觀的信息為繪制平面圖提供了必要條件，可是如何分析處理大量信息？如何將有效信息應用到平面圖繪制當中？如果教師能引導學生用信息化思維進行信息篩選和信息處理，它就能在學生對如何用信息化思維思考幾何直觀問題感到困難時提供腳手架，突破幾何直觀教學中的重點和難點。

（1）聯系實際，推進學生利用信息化思維處理信息的能力

在繪制平面圖的過程中，是否所有收集到的信息都能用得上？答案是否定的。根據課標對小學階段平面圖的要求，教參并沒有對平面圖的精確程度加以要求。對于小學生來說，完全還原對象是極為困難的。因此在真正用信息技術繪圖之前，教師還需要引導學生思考并篩選出實際繪圖中的關鍵信息，這樣的信息可以是數據，也可以是圖形等，這種對信息的分析和篩選過程是信息化思維的重要環節，即信息處理能力。

在教師引導下，學生經過思考、討論，對大量信息進行了篩選，一部分學生將對任務沒有幫助的信息篩選清除，另一部分學生則將繪圖中無法實現的信息刪除。最后大家分析得到了比較統一的意見，得出本次平面圖中最關鍵且能夠實現的信息。

（2）數學思想方法，發展復雜信息化思維處理信息的水平

當學生篩選出了和繪圖有直接關聯的信息后，是否就可以開始繪圖了呢？顯然是不能的。學生所篩選的信息是作品對象的必要信息，而平面圖沒有必要還原其實際大小。所以，學生下一步要考慮的是如何對這些信息進行處理，將其轉換成用以準確還原平面圖的信息。這一步學生需要利用到已有的數學中的“比例”“比例尺”的知識，是六年級下冊第四單元的內容。筆者仍以“繪制平面圖”為例。

師：如何準確地將教學樓還原到我們的平面圖中去？需要先考慮什么因素？

生：要先確定平面圖的比例尺。

生：根據測量的數據，我們把比例尺定為1∶2000。

師：復習一下，1∶2000這個比例尺表示的含義是什么？

生：圖上距離1厘米，實際距離2000厘米，也就是20米。

師：計算一下，某同學測量學校一條邊的實際長約是120米，在平面圖上，應畫幾厘米？結果寫在數學記錄本上，我給2分鐘時間。

學生計算。

生：把圖上距離看成х，列出比例方程，х：12000=1：2000，解得，х=6，那么應該在圖上畫6厘米長的線段。

師：所以這位同學要畫的平面圖的大小是？

生：一條邊的長是6厘米。

師：如果想畫的大一點怎么辦？

生：可以以6厘米為“單位1”，分別乘想要擴大的倍數就可以了。

可以看出，學生利用數學知識可以很快地確定繪制平面圖的比例尺，圖1中所表示圖案的大小，為后面的幾何直觀思維打好數據的基礎。學生有了“數”的基礎，接下來將面臨“形”的難題。從教師所給的將軍山小學平面圖中看，教學樓的形狀是不規則的，呈倒轉的字母“L”型。怎么處理這樣的問題呢？

師：在繪制圖形時大家遇到了什么困難？

生：教學樓從上面看是一個不規則的圖形，不好畫。

師：想想可以怎么解決？

生：轉化為規則的圖形。

生：分割成一小塊一小塊，每一塊都是規則的就可以了。

師：請你上來分割一塊給大家看看。

圖1 ?學生用分割法對稍復雜圖形進行轉化

師：像這樣，可以對圖形進行適當處理，把復雜的問題簡單化。請繼續對其他圖形進行操作。

（3）圖示化表達，深化信息描述能力

數形結合是認識幾何直觀的重要數學方法，在信息處理的過程中得以發展。學生在完成對“數”與“形”的重點掌握后，即將面臨“數形結合”的難點，而這也是幾何直觀素養形成所必須要求的一步。

實際教學中，在進行數據信息與圖像信息的圖示化表達時，學生會遇到困難。首先需要考慮的就是圖像的擺放位置。這里的位置在圖中無非就是每一個圖形之間的距離和其所占的位置。圖中包含了通過信息處理得到按比例縮小的建筑物大小與其余物體大小，且位置、形狀基本準確。作為平面圖來說，這是科學的、合理的，有助于接下來在計算機上進行繪圖。

（4）信息化操作，深化信息應用能力

小組根據組內信息技術水平、繪圖軟件使用情況選擇合適的信息工具，對手繪平面圖加以信息化處理，得到較為精確的平面圖，這個過程中教師并不給出繪圖軟件的選擇。并且在實際操作過程中，學生提出某些疑問后，老師不直接告訴其操作按鈕，而是啟發其利用其他手段代替，這樣做的好處是，鍛煉學生在利用信息軟件繪圖時養成獨立思考、獨立解決問題的能力。

圖2左邊圖是學生第一次電腦繪圖后的結果，這樣的結果顯然是不完整的，教師此時要引導學生加以完善。從平面圖的應用意義倒逼學生反思自己的作品缺陷在哪里，提高優化作品意識，發展信息應用能力。

3.信息化思維與幾何直觀思維評價策略

信息化思維在參與平面圖設計與制作的過程中發展幾何直觀的思維。信息化思維不是“注重結果”“唯信息論”的思維，而是強調信息獲取、處理、應用的全過程的思維，這也為我們的評價方式提供參考。教師對整個項目化學習的評價應該是多維度的，從兩個學科加以評價，并且既要關注結果，更要關注形成性評價。

（1）信息化評價量表

評價不應帶有教師的個人導向，例如，若教師提議繪制的平面圖越精美，就額外加分，小組內就會做出相應調整。本節課的最初目標是為了建設母校，所以能夠在平面圖中把綠化、道路等信息標注出來，教師應給予適當加分。考慮到六年級學生的操作水平有限，即使沒有準確復制，也不用倒扣分，教師要兼顧不同層次學生的信息水平。

（2）項目化學習的形成性評價

筆者發現，把小組分工合作納入評價體系之前，課堂生態暴露出一些負面現象：人人爭當組長無人愿意當組員、組內成員之間互相埋怨、分工不夠具體等。教師應充分尊重學生的主體地位，因實際教學中，如果學生的學習以小組為單位，那小組合作能力是數學素養的重要組成部分，因此小組分工合作的情況應該納入評價中。這樣改變之后，小組合作明顯變得和諧、高效多了。

克萊因提出：“數學不是依靠在邏輯上，而是依靠在正確的直觀上”。幾何直觀在小學學習的各個階段都發揮著重要的作用，并對學生的后續學習有著深遠的影響。而目前對于幾何直觀的研究還局限于數學學科，信息化思維在解決數形問題等方面深刻地影響著幾何直觀，是學生培養幾何直觀素養的好途徑，不過往往需要通過項目化學習的方式，而這種學習方式比一般的數學學習要耗時長，復雜性強，綜合要求高，那么是否還存在其他的整合方式呢？為此，筆者將繼續研究下去。

注：本文系江蘇省教育科學規劃辦“十三五”重點自籌課題“小學數學生態結構化教學表現性評價的實踐研究”（課題編號：B-b/2020/02/75）階段性研究成果

參考文獻

中華人民共和國教育部. 義務教育數學課程標準[S]. 北京師范大學出版社，2011.

中華人民共和國教育部. 中小學信息課程指導綱要（試行）[S]. 北京師范大學出版社，2000.

作者單位：江蘇南京市江寧區教學研究室 ? 江蘇南京市將軍山小學