數列中最值問題的求解方法

江蘇省吳江中等專業學校 李士榮

求解數列最值問題首先要考慮的是能否確定數列的通項公式，一旦通項公式確定，問題就簡單多了。如果在求解的過程中發現數列的通項公式無法求解，那么此時能夠使用的“傷害最高”的武器就是構造法，構造一個與題干中所給的數列形式相近的新函數，從新函數入手進行分析，從而確定最值。

一、小試牛刀，求數列最大項或最小項的最值

數列問題往往不單獨考查，會與函數等知識點綜合起來，欲求原數列最值，通常可以先結合數列的單調性，當anan+1時，{an}是遞減數列。在眾多數列最值問題求解時，數列單調性往往是一種重要的手段，尤其是在解決選擇題、填空題時具備顯著的優勢。

二、情景應用，求滿足數列的特定條件的最值

確定數列的最值問題是對數列本身的形式進行分析，一般情況下用函數法，即根據數列的形式構造新函數，并對新函數的最值進行分析，從而確定原數列的最值。

三、場景遷移，求數列滿足條件的參數的最值

對于該類問題，首先需要觀察數列特征，對于某些看似形式復雜的數列而言，可以運用裂項的方式進行“消除”，這其實是整理數列形式的過程，也是必不可少的一個環節。當然，并不是所有的數列都可以通過化簡的方式進行整理，此時就可以考慮函數法進行求解。根據數列形式設出函數關系式，并對函數關系式進行分析，從而確定最值，不過在該過程中，函數的自變量存在范圍限制。

對于這種分式型的數列問題，首先要考慮的就是形式的轉化，因為將原數列轉變為單式型的數列問題或者是整式型的數列問題更利于思考。

四、拓展提升，求數列雙變量參數最值

該類問題是數列中的常見問題之一。要求確定某個最值，根據最值確定已知數列的有關參數。針對該類問題，首先要做的是挖掘隱含條件，然后對最值的形式進行轉化，再進一步分析，在確定了最值后，一般情況下數列的形式也就確定了，由此可以再確定需要求參數值。

上述例題看上去是一道數列求取參數的問題，但實際上是確定a3+a4+a5最值的問題。結合題干中的信息可得z=3a1+9d，但是對于該類雙變量問題，直接思考的難度過高，可以結合題干信息對數列形式進行轉化，這一轉化過程是學生在面對該類問題時必須要具備的能力。

綜上，數列的最值問題并不是什么“疑難雜癥”，只要“對癥下藥”也是可以快速解決的，其解法總結起來就是，能確定數列通項公式的先確定其通項公式，如果無法確定數列的通項公式，可以考慮運用構造法構建新函數，從而對函數形式進行分析，最終確定其最值。