例析高中物理變力做功的問題，提升學生物理核心素養

黎進

【內容摘要】高中階段對機械能的學習，其中功能關系是整個知識網絡的基石。求力做功的方法，在粵教版教材中只有最基本的恒力做功W=Flcosθ。在科技日新月異的進步下，高中物理的學科素養要求也會不斷提高，因此高中求做功問題，不會停留在只有恒力做功問題。本文歸納六種變力做功的解決方法并闡釋了解決六種變力做功問題的物理核心素養。

【關鍵詞】高中物理 做功 方法 核心素養

一、利用動能定理求解變力做功問題

高中物理中的動能定理也是機械能知識網絡的一部分，對求解各種問題有很廣泛的應用。使用動能定理求變力做功，是功能關系的基本應用，只是常見的問題是使用合力做功求動能變化，因此使用動能定理求解變力做功，要求學生有一定的逆向思維。可以使用動能定理求解變力做功問題有以下特點：過程復雜，但有明確的初末狀態。

例題1：如圖1所示，某質點沿直線運動的v-t圖像為余弦曲線，從圖中可以判斷（ ）

A.在0～t1時間內，合力逐漸減小

B.在0～t1時間內，合力做負功

C.在t1～t2時間內，合力的功率增大

D.在t2～t3時間內，合力做的總功為零

說明： B選項：在0～t1時間內，速度越來越小，由動能定理可知合外力做負功，所以B正確;D選項：在t2～t3時間內，動能變化不為0，由動能定理可知，合力做的總功不為零，所以D錯誤。（注：此題答案為B）

總結：應用動能定理，只需思考過程中的力是否做功，及初、末狀態的動能，不需考慮力變化的問題，簡化問題，容易操作。熟練掌握此方法，對學生解決物理問題化繁為簡的學科素養提高起到促進作用。

二、利用平均值求解變力做功問題

平均值是數理化學科中經常出現的名詞，學生對求平均值的方法并不陌生。但使用平均值求解變化問題，則對學生的邏輯思維能力有一定的要求。在求解變力做功的問題中，有些特例可以使用F=F1+F22求力的平均值，變力做的功等效于平均值力做的功即：W=Fx。在物理問題中引入平均值求解問題，一般不會在求平均值的方法有太大的要求，因此此類變力做功問題的特點為：變力的方向不變，大小均勻變化，達到使用F=F1+F22求平均值的要求。

例題2：某彈簧的彈力（F）—伸長量（x）的關系圖像如圖2所示，彈簧由被拉長4cm到恢復原長的過程中，彈力做功為（ ）

A.0.4JB.-0.4JC.0.8JD.-0.8J

說明：由圖2可知拉長4cm時彈力為F1=20N，恢復原長時，彈力F2=0。又因為彈簧的彈力是隨位移（即形變量x）均勻變化的，因此彈力做的功可以使用平均值計算，故彈力做的功大小為W=Fx=F1+F22x=0+202×0.04J=0.4J

（此題答案為A）

總結：平均值求解變力做功問題與勻變速直線運動等“勻變規律”有相似之處，對這兩個知識點的聯動可使學生舉一反三的解題思維得到提升。

三、利用路徑求解變力做功問題

功的定義：力和力的方向上位移的乘積。但有些變力做功問題則可以使用路徑代替位移。這種方法使用到數學學科中的微元法，因此對學生的數學思維有一定的要求。在物理問題中使用微元法，只需對微元進行理解，并不需要用到微元法的數學計算。如在外力加速下的圓周運動，質點所受力F大小恒定，但方向隨路徑變化。可將路徑分成多段極短的圓弧，由于每段圓弧都極小，因此可以看作一段極短的直線即位移，由于力的速度隨路徑變化，因此在每一段極小段位移上的力也可以看作成與位移方向相同。而路徑的長度則是每一小段位移的代數和。因此，此變力做的功可等效于力與路徑長度的乘積。此類變力做功問題的特點：力大小恒定，方向隨路徑變化。

例題3：用大小不變、方向始終與物體運動方向一致的力F，將質量為m的小物體沿半徑為R的固定圓弧軌道從A點推到B點，圓弧對應的圓心角為60°，如圖3所示，則在此過程（ ）

A.力F對物體做的功為FRsin60°

B.力F對物體做的功為πRF3

C.力F對物體做的功為mgR2

D.力F是變力，無法計算做功大小

說明：物體從A點推到B點過程，把圓弧分割為無限小的n段，每段長度上力與位移近似看作直線運動，則整個過程的位移就是弧長，力對物體做的功為

WF=FS=F·60°360°·2πR=πRF3

（注：此題答案為B）

總結：與上一問題形成對比，當力的大小恒定，而方向隨路徑變化。有利于學生歸納和加深記憶。同時“微元法”關聯了高中數學的學科知識，對培養學生的數理思維有很大的幫助。

四、利用等效替代法求解變力做功問題

有些變力做功問題，變力方向及大小都變化，且變化規律復雜，也沒有使用動能定理的條件。此時應該考慮改變研究對象，聯合生活實際思考“誰做功”和“對誰做功”的問題。此類變力做功問題往往與繩子兩端及定滑輪有關。

例題4：人在A點拉著繩通過一個定滑輪勻速吊起質量m=50kg的物體，如圖4所示，開始時繩與水平方向成60°角，當人拉著繩由A點沿水平方向運動s=2m而到達B點時，繩與水平方向成30°角，求人對繩的拉力做了多少功？（不計摩擦，g取10m/s2）

說明：人對繩的拉力所做的功與繩對物體的拉力所做的功相等，設人手到定滑輪的豎直距離為h，物體上升的高度等于滑輪右側繩子增加的長度，即△h=hsin30°-hsin60°又s=htan30°-htan60°所以人對繩的拉力做的功W=mg△h=mg·（3-1）s≈732J

總結：轉變研究對象，靈活的解題思路。掌握此方法，對學生思維的靈活性起到促進的作用。此類問題還關聯了能量守恒規律，對提高學生的綜合物理素養有一定的幫助。同時啟發學生，形成“輸入”等于“輸出”的物理概念，對后面知識點如變壓器、遠距離輸電等知識點起到鋪墊的作用。

五、利用圖像法求解變力做功問題

在運動學中對利用v-t圖像的求解位移時，利用位移公式S=Vt結合數學微積分的思路得知圖像與x軸圍成的面積等于位移。

與其規律相同的，在利用F-S圖像求解做功時，做功公式W=FS，因此可推導出圖像與x軸圍成的面積等于功，如下圖5-6所示。

例題5：一物體所受的力F隨位移x變化的圖像如圖7所示，求在這一過程中，力F對物體做的功為（ ）

A.3 JB.6 JC.7 JD.8 J

說明：力F對物體做的功等于圖線與橫軸x所包圍面積的代數和。

0-4s這段時間內力F對物體做的功為W1=12×（3+4）×2J=7J;

4-5s這段時間內力F對物體做的功為W2=-12×（5-4）×2J=-1J。

全過程中，力F對物體做的功為W=7 J-1 J=6 J（此題答案為B）

總結：物理結合函數圖像是科學素養的一種體現，因此對函數圖像的理解及規律應用是必備的知識工具，是現代物理教學的一種趨勢。因此不能把函數及函數圖像的理解全推給數學學科，在物理上也要多角度分析函數圖像。對學生學習后面的知識點如電勢及電勢能、交變電流等有一定的幫助。

六、利用功率求解變力做功問題

高中物理中變力做功還可以利用W=Pt求解，但是必須滿足變力功率不變的條件，此類變力做功問題多涉及汽車恒定功率啟動的模型。

例題6：一輛汽車在平直的公路上由靜止開始啟動，在啟動過程中，汽車牽引力的功率及其瞬時速度隨時間的變化情況分別如圖8甲、乙所示，已知汽車所受阻力恒為重力的15，重力加速度g取10m/s2。下列說法正確的是（ ）

A.該汽車的質量為3×103kg

B.v0=6m/s

C.在前5s內，汽車克服阻力做功為2.5×104J

D.在5～15s內，汽車的位移大小約為67.19m

說明：D選項5～15s內，汽車牽引力做的功可以寫成W=Pt，結合動能定理得Pt-15mgs=12mv02-12mv2 解得s≈67.19m，故D正確。（注：此題答案為CD）

總結：功率這一物理量在高中物理中也有相對較重的地位：一是對做功效率的理解，二是公式的推導得出W=Fv規律。利用功率求變力做功，是對學生知識全面性的考核。

結語

高中物理學習不僅要考慮恒力做功，在高考中變力做功也是熱點和難點。但是變力做功沒有固定的參照計算公式，為了幫助學生解決變力做功的方法，同時也提高學科素養，本文結合實際例題，點撥分析了變力做功問題及歸納解決方法。

【參考文獻】

[1]楊福.變力做功的求解方法歸類[J].理科考試研究：高中版，2007（8）：27-30.

[2]閆春更，周青，王婷婷.教科書難度評價的模型建立與方法改進[J].上海教育科研，2015（9）.

（作者單位：廣東信宜礪儒中學）