數列中單調性和最值問題的探討

陳慶芳

【摘要】函數和數列是一個有機的統一體，研究數列時離不開函數知識.數列作為特殊的函數，有關數列的問題常常成為高考中的壓軸題.我們研究過函數的許多重要性質、如單調性、奇偶性，周期性等，事實上，函數中的許多重要性質在數列中也有廣泛的用途，只不過我們在研究數列中的單調性和最值問題時，由于受數列自身定義域的限制，研究的方式將會發生一些偏差.本文筆者就從數列中單調性和極值問題的探討出發，談一下自己的幾點見解.

【關鍵詞】數列;單調性;最值;探討;恒成立

【基金項目】本文系廣東省肇慶市基礎教育科研“十三五”規劃項目2019年度課題“高中數學核心素養下深度教學策略研究”（編號：2019ZQJYKYKT147）研究成果.

數列作為特殊的函數，中間穿插函數的特殊性質后，成為學生數列解題中的重點，也成為高考數列問題中的難點.我們研究數列時要和函數，甚至還要和不等式緊密結合起來，但是數列和函數有聯系，也有區別.在沒有特別說明的情況下，函數的定義域為使得表達式有意義的自變量x的取值集合;而數列的定義域則是正整數集或它的有限子集.由于受定義域的影響，我們在函數和數列中處理單調性和最值問題的方式會有所不同.抓住函數和數列的聯系，區別函數與數列的不同之處對于處理數列中的重要性質有著至關重要的作用.

本文筆者就從數列中的重要性質入手，研究數列的單調性、最值，包括恒成立問題，并給出自己的見解.

一、數列中簡單不等式的求解

已知等差數列{a n}中，a 2=4，a 4+a 7=15.

（1）求數列{a n}的通項公式;

（2）設b n=2a n-2+n，數列{b n}的前n項和為T n，求使T n>2016成立的n的最小值.

分析 讀完本道數列習題，大家會發現本題難度不大.第一問數列{a n}的通項公式的求解比較容易，第二問中T n的求解用的是分組求和法，難度也不大，求出T n后，我們化簡得到2n+1+n（n+1）[]2>2018.在這個不等式中n的取值是一切正整數，要求的是滿足這個不等式的最小正整數n.

下面請大家一起來關注一下不等式：2n+1+n（n+1）[]2>2018，這個不等式不是我們學習過的常規不等式，所以我們不能用常規方法來求解，并且我們也不好猜測方程2n+1+n（n+1）[]2=2018的根.那么這個不等式應該怎么來求解呢？

下面先請大家來看一個函數：y=2x+1+x（x+1）[]2，我們發現這個函數在（0，+∞）上單調遞增，單調遞增的意思就是y要隨著x的增大而增大.于是，大家解題就有了思路.

我們來構造一個新的數列：f（n）=2n+1+n（n+1）[]2.從上面的分析過程我們可以提煉出這樣一條結論：數列f（n）=2n+1+n（n+1）[]2（n∈N*）是一個遞增數列.所以我們只要求出第一個使得不等式2n+1+n（n+1）[]2>2018成立的正整數n就行了.

點評 上述例題的講解已經結束，大家可以總結出非常規不等式，尤其是跟正整數n有關的不等式的求解技巧，如例題，我們可以判斷并證明不等式左邊那個式子的單調性，從而為我們不等式的求解提供便利的條件.

二、挖掘數列的單調性并求出數列中的最大（小）項

大家在數列中會遇到這樣的一類題型，譬如說，我們求出了一個數列的通項公式是關于n的二次型的，然后我們要去求這個數列中的最大項、最小項，這個問題對于一個班級中的絕大多數同學來說應該是很簡單的.可下面問題就來了，如果這個數列的通項公式不是二次型那么簡單的，那么求解數列中的最大項、最小項問題對好多同學來說就顯得很頭疼，而且無從下手了.那該怎么辦呢？

為了解決上述這個疑難問題，筆者設計例題如下.

已知等差數列{a n}的前n項和為S n，且a 1+a 5=17，S 8=56.

（1）求該等差數列的公差d;

（2）設數列{b n}滿足b n=3na n，則當n為何值時，b n最大？請說明理由.

分析 由題意，最終可以得到：b n=3n-n+23[]2.那么原問題就轉化為求b n=3n-n+23[]2的最大值.

師：同學們一起看一下上述{b n}的通項公式，大家可以發現該通項公式形式比較復雜，無法轉化為我們熟悉的式子，就算是把其中的變量n變成變量x用函數的觀點去處理該問題，并以導數作為工具，這個問題似乎也不太好解決.那么大家有什么好方法嗎？

師：既然大家一時想不到什么有用的方法，那么我們不妨來回憶一下選修2-3上面的二項式定理.大家還記得其中求系數最大項和系數最小項問題嗎？要求系數最大項，就是利用這一項的系數比前一項的系數大，也比后一項的系數大;要求系數最小項，同理可得.

學生甲：老師，我知道了，我們可以假設b n最大，則有如下的不等關系：b n≥b n+1，

b n≥b n-1，代入后可得如下形式：3n-n+23[]2≥3n+1-n+21[]2，

3n-n+23[]2≥3n-1-n+25[]2，

最后該形式化簡后可得不等式10≤n≤11.所以b 10和b 11同時達到最大.

老師：學生甲的做法很正確.那么我們大家再一起來回憶一下單調數列的定義：在數列{a n}中，如果對于任意的n∈N*，a na n+1），則稱數列{a n}為單調遞增數列（或單調遞減數列）.看到這個定義，大家想到什么了嗎？

同學乙：老師，我知道怎么做了.作差啊！我們可以考慮b n+1-b n（n∈N*），即數列{b n}中任意的后一項減去前一項.我們可以來一起操作一下，得到b n+1-b n=2×3n（10-n）.從這里我們就可得知，當n≤9時，b n+1>b n，當n=10時，b 10=b 11;當n≥11時，b n+1<b n.

老師：同學乙的思路很正確，步驟很規范.最后我們就可以得出這樣一條完整的結論：b 1b 12>b 13>…從這里我們就可以很明顯地得到數列{b n}中的最大項有兩項，它們分別為b 10和b 11.

點評 從上述師生的互動交流中，我們可以發現，只要討論與比較一個數列中相鄰兩項的關系就能得出該數列的單調性，從而得到這個數列的最大項和最小項.這種方法通常也是探討數列的單調性與最值的常用方法.在上述的解題過程中，我們介紹了兩種不同的方法，學生甲的做法既是對二項式定理中系數最大最小項問題的復習鞏固，也是已會知識間的聯系與貫通，學生乙的做法就是教會大家研究一個數列實則就是研究這個數列中的相鄰兩項的關系.不同方法的引入與滲透加深了學生對于知識點的靈活應用，還加深了學生對于數列單調性與最值問題的理解與掌握.

三、數列中恒成立問題的求解

當我們判斷并證明出一個數列的單調性時，這時該數列可以和函數中的恒成立問題相結合.筆者根據自己在教學中遇到的問題設計例題如下，供大家參考.

已知數列{a n}是等比數列，S n為其前n項和.

（1）若S 4，S 10，S 7成等差數列，證明a 1，a 7，a 4也成等差數列;

（2）設S 3=3[]2，S 6=21[]16，b n=λa n-n2.若數列{b n}是單調遞減數列，求實數λ的取值范圍.

分析 看完題目，我們可以得知，這道數列題考查的知識點的綜合性還是比較強的，里面既有等差數列，又有等比數列，還有數列的單調性以及數列中的恒成立問題.

下面請大家先一起來看一下第二小問，我們可以先求出數列{a n}的通項公式，得知a n=2·-1[]2n-1，因此b n=λ·2·-1[]2n-1-n2.于是問題就轉化為不等式b n+1

解題的思路有了，可是問題又來了，首先-3-1[]2n-1這個表達式的正負情況我們不清楚，它可正可負，而且n是正整數，這又該怎么辦呢？大家仔細分析一下，我們來關注一下-3-1[]2n-1，當n為偶數時，該式子是正數，待會在處理的時候不等號的方向不要改變;當n是奇數的時候，該式子是負數，待會在處理的時候不等號的方向需要改變.

下面我們把這道例題的恒成立的過程給大家展示一下：

在不等式-3λ-1[]2n-1<2n+1中，

當n為偶數時，不等式可化為λ<2n-1（2n+1）[]3.對于2n-1（2n+1），令c n=2n-1（2n+1）（n∈N*），則c n>0，∴c n+1[]c n=2n（2n+3）[]2n-1（2n+1）=2（2n+3）[]2n+1>1，∴c n+1>c n.∴數列{c n}為單調遞增數列.又λ<2n-1（2n+1）[]3 min，∴λ<（c n） min，∴λ

當n為奇數時，不等式可化為λ>-2n-1（2n+1）[]3.由上述分析可知，數列{c n}為單調遞增數列，因此數列{-c n}是單調遞減數列，（-c n） max=-c 1=-1.∴λ>-1.

綜上得，實數λ的取值范圍為-1，10[]3.

點評 上述的精彩講評已經結束，剛剛一開始就說了，這道例題中考查的知識點比較全面，在后面分參過程中對n的奇偶數的討論決定了不等號方向是否改變，中間對于數列單調性的判斷與證明表現得淋漓盡致.

事實上，關于數列中的項的單調性與最值問題，主要涉及不等式中的離散情況的恒成立問題.其中最常用的是作差比較的方法，用它來研究數列中的相鄰兩項的關系.另外，通過函數圖像法，運用基本不等式法，先猜后證法，求導法，當然這些方法要和函數聯系起來，對于解決數列問題有時能夠收到意想不到的效果.同時，在解題時通過一題多解、數形結合、分類討論的思想處理數列中的單調性問題、最值問題、恒成立問題、范圍問題，能讓學生的思維逐漸活躍起來，讓學生的思維得到充分的鍛煉，使得學生能夠更加愛數學，提高學生在數學方面的各種解題能力，增強學生學習數學的興趣.研究數列的單調性和最值問題，對于培養學生思維的廣闊性、深刻性、靈活性以及嚴謹性都有很好的幫助.因此我們教師在平時的教學過程中要注意培養學生這方面的能力.

【參考文獻】

[1]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版）[M].北京：人民教育出版社，2018.

[2]方均斌.“數學問題解決”研究的中國特色[J].課程·教材·教法，2015（03）：58-62.