羅素悖論的產(chǎn)生原因及排除方法

王海東

【摘要】羅素悖論的產(chǎn)生原因在于沒有將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象.羅素悖論的排除方法在于將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象，要想將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象，就必須在集合論中引入自我歸屬定理.

【關鍵詞】羅素悖論;屬于關系;自我歸屬定理

一個“幽靈”在集合論中徘徊.這個幽靈就是羅素悖論.

羅素悖論：是指屬于一個集合的元素不屬于自己，或屬于自己的元素不屬于一個集合.二者必居其一.

羅素悖論可以用以下公式表示：

xy（y∈xyy∨y∈yyx）

從這個公式來看，如果羅素悖論成立，那么屬于一個集合的元素不屬于自己，包含這個元素的集合也不屬于自己了.因為，在集合論的邏輯推理過程中，任何一個集合都有可能被定義為另一個集合的元素.這樣一來，集合論就產(chǎn)生了一個集合都不屬于自己的邏輯矛盾.

有人認為，集合論公理系統(tǒng)（ZFC）能夠從集合論中排除羅素悖論.因為，集合論公理系統(tǒng)（ZFC）包括外延公理、配對公理、并集公理、冪集公理、無窮公理、概括公理、替換公理、正則公理、選擇公理等九個公理.

外延公理可以用以下公式表示：

xy（x=yz（z∈xz∈y））

配對公理可以用以下公式表示：

xyz（z=（x，y））

并集公理可以用以下公式表示：

xy（y=∪x=（a|b（b∈x∧a∈b）））

冪集公理可以用以下公式表示：

xy（y=p（x）=（a|ax））

無窮公理可以用以下公式表示：

x（（a（a∈x））∧（y（y∈x→y∪{y}∈x）））

概括公理可以用以下公式表示：

yxz（y∈xy∈z∧p（y））

替換公理可以用以下公式表示：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（u∈x∧φ（u，v））））

正則公理可以用以下公式表示：

x（x≠φ→y（y∈x∧x∩y=φ））

選擇公理可以用以下公式表示：

x（φxf：x→∪x=a（a∈x（f（a）∈a））

在這九個公理中，概括公理就是針對羅素悖論提出的一個公理.因為概括公理規(guī)定了集合概念的概括方法，所以概括公理限制了任意規(guī)定集合概念的現(xiàn)象.因為概括公理限制了任意規(guī)定集合概念的現(xiàn)象，所以概括公理消除了形成羅素悖論的可能性.又因為概括公理消除了形成羅素悖論的可能性，所以概括公理就把羅素悖論從集合論中排除出去了.

但是，實際情況并非如此.即使有了概括公理，我們仍然消除不了形成羅素悖論的可能性.不管我們怎樣在集合論中揮舞概括公理的“保護傘”，羅素悖論的陰影仍然神出鬼沒、無處不在.因為，我們可以從概括公理中推出以下公式：

yxz（y∈xy∈z∧p（x）z∈p（y）y∈p（y）yy）

從這個公式來看，概括公理只是把羅素悖論從一個集合推向了另一個集合.如果這樣推下去，羅素悖論將會出現(xiàn)在所有集合之中.

由此可見，概括公理不僅沒有把羅素悖論從集合論中排除出去，還把羅素悖論從集合論帶進了集合論公理系統(tǒng)（ZFC）.因為，出現(xiàn)在概括公理之中的羅素悖論，同樣可以出現(xiàn)在其他八個公理之中.

我們可以從外延公理中推出以下公式：

xy（x=yz（z∈xz∈y）zz）

我們可以從配對公理中推出以下公式：

xyz（z=（x，y）（x∈z，y∈z）（xx，yy））

我們可以從并集公理中推出以下公式：

xy（y=∪x=（a|b（（b∈xbb）∧（a∈baa））））

我們可以從冪集公理中推出以下公式：

xy（y=p（x）=（a|axa∈xaa））

我們可以從無窮公理中推出以下公式：

x（（a（a∈xaa））∧（y（（y∈xyy）→（y∪{y}∈x））））

我們可以從替換公理中推出以下公式：

uvw（φ（u，v）∧φ（u，w）→v=w）→xy（y=（v|u（（u∈xuu）∧φ（u，v））））

我們可以從正則公理中推出以下公式：

x（x≠φ→y（（y∈xyy）∧x∩y=φ））

我們可以從選擇公理中推出以下公式：

x（φxf：x→∪x=a（a∈x（f（a）∈a）aa））

從這些公式來看，集合論公理系統(tǒng)（ZFC）如同一個包含羅素悖論的公理系統(tǒng).這個包含羅素悖論的公理系統(tǒng)肯定不是一個合理的公理系統(tǒng)，所以集合論公理系統(tǒng)（ZFC）的合理性將會受到嚴重質疑.

那么，怎樣才能從集合論中排除羅素悖論呢？顯然，要想從集合論中排除羅素悖論，就必須找到羅素悖論的產(chǎn)生原因.只有找到羅素悖論的產(chǎn)生原因，才能找到羅素悖論的排除方法.只有找到羅素悖論的排除方法，才能從集合論中排除羅素悖論.

那么，怎樣才能找到羅素悖論的產(chǎn)生原因呢？顯然，要想找到羅素悖論的產(chǎn)生原因，就必須從集合論的一個二元關系說起.這個二元關系就是在規(guī)定集合概念的數(shù)學公式中必須闡明的屬于關系.屬于關系就是某個數(shù)學對象屬于另一個數(shù)學對象的二元關系.

從屬于關系來看，當某個數(shù)學對象屬于另一個數(shù)學對象的時候，這個數(shù)學對象就被包含在另一個數(shù)學對象之中了.因此，屬于關系可以被理解為包含關系.包含關系就是某個數(shù)學對象包含另一個數(shù)學對象的二元關系.但是，屬于關系不僅可以被理解為包含關系，而且還可以被理解為等于關系.等于關系就是某個數(shù)學對象等于另一個數(shù)學對象的二元關系.包含關系可以推廣到等于關系.當某個數(shù)學對象等于另一個數(shù)學對象的時候，這個數(shù)學對象就如同被包含在另一個數(shù)學對象之中了.這種推廣到等于關系的包含關系稱為包含等于關系.包含等于關系就是某個數(shù)學對象包含等于另一個數(shù)學對象的二元關系.

由于屬于關系有兩種理解方法，所以羅素悖論也有兩種評價標準.如果我們把屬于關系理解為包含關系，羅素悖論就是一個可以成立的悖論.如果我們把屬于關系理解為等于關系，羅素悖論就是一個不能成立的悖論.

由此可見，羅素悖論隱含著一個理論假設：某個數(shù)學對象既可以屬于另一個數(shù)學對象，也可以屬于某些包含另一個數(shù)學對象的數(shù)學對象，但是不能屬于任何一個不包含另一個數(shù)學對象的數(shù)學對象.這個理論假設稱為羅素假設.羅素假設就是羅素悖論的理論依據(jù).羅素悖論就是根據(jù)羅素假設提出的.

那么，羅素假設是否可以成立呢？顯然，如果羅素假設可以成立，我們不僅可以從中推出羅素悖論，而且可以從中推出羅素悖論的悖論.

羅素悖論的悖論可以用以下公式表示：

xyz（y∈xyyy∈zz∈xzzz∈yy∈x…）

從這個公式來看，如果屬于一個集合的元素不屬于自己，這個元素就屬于另一個元素了.如果這個元素屬于另一個元素，屬于一個集合的元素就不是這個元素了.按照這個推論不斷推導下去，我們會陷入一個永無止境的循環(huán)推理過程.在這個永無止境的循環(huán)推理過程中，每一個羅素悖論都會遭到下一個羅素悖論的否定.

由此可見，羅素假設是不能成立的，所以羅素悖論也是不能成立的.

但是，問題并沒有到此結束.因為，羅素假設不能成立并非意味著羅素假設絕對不能成立.羅素假設在一定條件下是可以成立的.這個假設是否成立是由某個數(shù)學對象的自身存在決定的.如果羅素假設不涉及某個數(shù)學對象的自身存在，羅素假設就是一個可以成立的假設.羅素假設如果涉及某個數(shù)學對象的自身存在，就是一個不能成立的假設.

那么，這個成立條件又是怎樣形成的呢？顯然，要想回答這個問題，就必須從屬于關系說到等價關系.等價關系也是集合論中的一個二元關系.這個二元關系具有自反性、對稱性和傳遞性三個基本特征.

自反性可以用以下公式表示：

a=a

對稱性可以用以下公式表示：

a=b，b=a

傳遞性可以用以下公式表示：

a=bb=ca=c

如果上述三個公式都可以成立，等價關系可以用以下公式表示：a～b

由此可見，等價關系是從等于關系中推導出來的.只要把屬于關系理解為等于關系，我們就可以將自反性、對稱性和傳遞性納入屬于關系.只要將自反性、對稱性和傳遞性納入屬于關系，我們就可以使屬于關系成為一種等價關系.

屬于關系的自反性可以用以下公式表示：

a∈a

屬于關系的對稱性可以用以下公式表示：

a∈b，b∈a

屬于關系的傳遞性可以用以下公式表示：

a∈bb∈ca∈c

這樣一來，我們就發(fā)現(xiàn)了一個十分重要的數(shù)學定理：在屬于關系成為一種等價關系的條件下，某個數(shù)學對象在屬于另一個數(shù)學對象的同時，不僅可以屬于某些包含另一個數(shù)學對象的數(shù)學對象，而且可以屬于一個不包含另一個數(shù)學對象的數(shù)學對象.這個不包含另一個數(shù)學對象的數(shù)學對象就是這個數(shù)學對象的自身存在.這個數(shù)學定理就是自我歸屬定理.

我們可以用以下公式證明自我歸屬定理：

已知

p∈q，

又知

p=pp（p∈pp=p）;

q=qq（q∈qq=q）

因此

pp（p∈pp=p）∈qq（q∈qq=q）.

證畢.

從這個證明過程來看，某個數(shù)學對象在屬于另一個數(shù)學對象之前就已經(jīng)屬于自身存在了.某個數(shù)學對象只有在屬于自身存在的條件下才能屬于另一個數(shù)學對象.這種數(shù)學現(xiàn)象如同發(fā)生在我們身邊的一種社會現(xiàn)象.在這種社會現(xiàn)象中，我們每一個人只有在屬于自己的條件下才能屬于一個社會組織，才能使自己成為一個社會組織的合法成員.除非這個社會組織是一個奴隸制的社會組織.因為，在一個奴隸制的社會組織中，奴隸主屬于自己而奴隸不屬于自己.這種不屬于自己的人只能被視為奴隸主的一種財產(chǎn)，而不能被視為這個社會組織的合法成員.

由此可見，如果將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象，任何兩個數(shù)學對象之間的屬于關系都不會產(chǎn)生羅素悖論.如果不將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象，任何兩個數(shù)學對象之間的屬于關系都會產(chǎn)生羅素悖論.

綜上所述，羅素悖論的產(chǎn)生原因在于沒有將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象，羅素悖論的排除方法在于將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象.要想將每個數(shù)學對象都視為屬于自身存在的數(shù)學對象，就必須在集合論中引入自我歸屬定理.

【參考文獻】

[1]王元，文蘭，陳木法.數(shù)學大辭典[M].北京：科學出版社，2017.

[2]馮琦著.集合論導引[M].北京：科學出版社，2019.

[3]石純一.數(shù)理邏輯與集合論[M].北京：清華大學出版社，2000.

[4]汪芳庭.數(shù)理邏輯.[M]北京：中國科技大學出版社，2010.