初中數學概念形成的教學模式

何德軍

【摘要】數學概念是學生進行推理和判斷的依據，也是形成數學定理、法則、公式的基礎.現代數學教育心理學認為，概念形成和概念同化是初中學生獲得概念的主要方式.本文基于概念形成的心理過程，以數軸概念的教學為例，通過一系列報數活動抽象出數軸這一基本概念，然后通過教學活動強化概念，最后應用數軸的概念解決數學問題.

【關鍵詞】初中數學;概念形成;數軸

概念的教學在初中數學教學中占有重要地位.作為思維的基本單位，數學概念能夠反映事物在數量關系和空間形式方面的本質屬性.數學定理、法則、公式的建立及數學方法和數學思想的形成，也都建立在數學概念的基礎之上.扎實有效的概念學習是學生進行數學推理、數學判斷的前提和依據，學生數學能力的發展也取決于他對數學概念的獲得.筆者將結合數學教育心理學中對“數學概念形成教學模式”的研究，以“數軸”（北師大版教材七年級上冊）的教學設計為例，對初中數學概念的教學方法進行探究.

數學教育心理學認為，概念形成的心理過程主要包括以下四個階段：

基于概念形成的心理過程，設計如下教學過程幫助學生獲得“數軸”這一概念：

一、概念引入： “報數”活動

學生對于概念的理解需要一個過程.在概念的教學中，教師要舍得花時間創設情境，使概念的發生與形成能和學生的認知規律協調一致.

在數軸概念的引入中，我組織了“報數”活動，通過學生熟悉的活動引導學生分析事物的本質屬性.

【第一輪】學生起立，教師指定基準點，從基準點開始向右依次報數：

基準點左邊的學生以同樣方式報數.

要求：①所報數字能體現出自己的位置;②與右邊同學相異：

這輪報數活動與體育課上傳統的報數方式有所不同，為了體現出與右邊學生所報數字的不同，左邊學生可以借助表示相反意義的負數進行報數.

【第二輪】教師指定基準點，變換報數方向，即從基準點開始向左依次報數：

在第一輪報數的基礎上，學生能較好地進行報數活動.

【第三輪】教師指定基準點，變換報數間隔，即從基準點開始向右依次報偶數：

基于前兩輪報數活動，學生參與本輪報數活動時毫不猶豫，活動順利進行.

【第四輪】無條件報數：

對于本輪報數活動，教師不制定任何要求，要求學生直接報數.但此時學生困惑不已，本輪報數活動無法完成……

數學概念往往具有較強的抽象性，這就導致學生在理解概念的時候有些被動吃力.傳統的概念教學模式是直接把概念告訴學生，比如數軸是規定了原點、正方向、單位長度的直線，而沒有讓學生在生活中體驗實實在在的數軸，這就割斷了數學和生活的聯系，進而導致學生機械地去記憶概念，舍棄了概念的本質.數學源于生活，北師大版教材由溫度計引入數軸，形象且直觀，但與小學知識有過多重復，因此不能幫助學生深刻體會數軸的“三要素”，只能算形似.而“報數”活動是學生熟悉的活動，其強度適當、富有變化性和新穎性，以此引入數軸有利于學生進行數學思考.

概念的形成需要學生從具體例子出發，歸納一類事物的共同本質屬性.把數學概念的獲得與數學活動結合在一起，為學生創造生活情境，有利于學生將抽象的數學概念形成具象的認知.

二、概念形成：認識數軸

數學概念的獲得是提升數學素養的基礎.為了幫助學生對概念有正確且深刻的理解，教師需要引導學生剖析概念內涵，挖掘概念本質，拓展概念外延.

在數軸的教學過程中，經過三輪有條件報數，在第四輪無條件報數時，學生主動提出困惑：“本次報數活動無法完成.”“沒辦法報數，缺少條件??！” 這些困惑的產生源于學生在學習過程中產生的認知沖突，也正是這種沖突促使學生進行主動思考.教師順勢提出問題：“在第四輪報數活動中缺少哪些條件呢？”引導學生進行回憶和思考.學生經過思考，發現第四輪報數活動中存在的問題主要為沒有告知：①基準點.②報數方向.③報數間隔.而這些恰恰對應著數軸的“三要素”：原點、正方向、單位長度.通過這樣的教學，學生在教師引導下順理成章地抽象出數軸的概念：規定了原點、正方向、單位長度的直線叫作數軸.在活動中引發學生的共鳴，讓學生感受數軸的“三要素”缺一不可，這能更好地體現北師大版教材“螺旋上升”的設計理念，也能讓學生對數軸的認識從感性階段上升到理性階段.把具體事物抽象為數學概念，這是概念形成的關鍵階段.

為了檢測概念形成的效果，筆者設計一組問題，將抽象的概念回歸到具體的數學問題，幫助學生在實際問題中理解數軸“三要素”.

練習1判斷以下數軸的畫法是否正確？并說明理由.

義務教育數學課程標準指出，學生應敢于發表自己的想法、敢于質疑、敢于創新，進而形成嚴謹求實的科學態度.正是在這種不斷思考、不斷探究的過程中，學生對數軸的概念形成了初步認識.

三、概念深化：“復述”數軸

心理學認為，記憶和遺忘是有規律的.獲得數學概念后，需要對其進行及時鞏固，以保證所獲得的概念能夠長時間保存.因此在教學過程中，教師可以要求學生在獲得數學概念后通過朗讀、背誦、辨析等方式對其進行鞏固.在“數軸”這節課的教學過程中，筆者要求學生在初步形成概念后，進行“操作性復述”.這里的復述不是死記硬背，而是讓學生在復述概念的過程中，把握概念的重點和本質特征.

練習2在練習本上獨立畫出一條數軸，并與小組成員相互檢查.

現代學習方式的基本特征之一是體驗性，在學生認識了數軸的基礎上，教師可以要求學生獨立畫出一條數軸，讓學生在自己動手的過程中深刻感受數軸.巡視課堂后，教師采取以小組為單位的評價方式，在小組發現問題、解決問題的基礎上，針對學生集中出現的問題展開分析.在生生對話、師生對話的過程中，實現 “正確畫出數軸”的教學目標.這樣的設計不僅能培養學生的動手能力與合作精神，還能使學生在小組交流的過程中提高發現問題、解決問題的能力.

“復述”之后，教師可以向學生展示不同形態的數軸，如縱向的數軸，生活中的數軸，歷史時間軸等，同時教師借機向學生提出問題：“在生活中，你還見過怎樣的數軸？”在概念強化的過程中，教師要引導學生積極思考、踴躍交流，這樣一方面能通過大量的實例拓展數學概念，達到活化思維的效果，另一方面能把抽象的數學概念具體化、生活化.

四、概念運用：借助數軸實現數形結合

概念教學必須體現概念的應用價值.利用數軸解決代數問題的前提是數形結合，因此必須要讓學生建立有理數和數軸上點之間的對應關系.

練習3（1）寫出數軸上各點所表示的數.

A表示，B表示，C表示.

（2）在數軸上分別畫出表示2，-1，-32的點.

在教學過程中，教師可以先要求學生指出數軸上的點所表示的數，這是由“形”到“數”的思維過程;再要求學生把給定的數用數軸上的點表示，這是由“數”到“形”的思維過程.通過點與數的對應關系，可以使學生加深對數軸的認識.

為了幫助學生深刻體會數與數軸上點的對應關系，在學生完成練習后，教師繼續向學生提出問題：①任意一個整數都可以用數軸上的一個點表示嗎？②任意一個分數都可以用數軸上的一個點表示嗎？學生獨立思考后，進一步感受到：任何一個有理數都可以用數軸上的一個點表示.基于這一結論，抽象的代數問題基本上都可以通過數軸直觀解決.例如，以某排學生中的某一個為基準點建立數軸，先請代表1的學生舉手，然后請所代表數字比1大的學生舉手.變換數字再進行幾次，這樣學生可以形象地感知到：在數軸上，比一個數大的數都在它的右邊.

通過活動設計，學生可以深刻理解利用數軸比較有理數大小的方法，并經歷從幾何的角度解決代數問題的過程.

練習4利用數軸比較下列每組數的大小，并用“<”將其連接.

（1）-2和+6;（2）0和-1.8;

（3）-32和-4;（4）-34，-13和32.

需要指出的是，本文所列舉的概念的形成過程以學生的直接經驗為基礎，它不要求學生的認知結構中具備較多的概念，只需要有概念例證方面的直接經驗.從學生角度來看，這種學習方式適合基礎相對薄弱的學生;從概念角度來看，這種學習方式適合在數學概念體系中起著基礎作用的抽象概念的學習.

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