基于稀疏增強動態解耦的電力系統振蕩模式與模態辨識方法

李 雪 于 洋 姜 濤 李國慶 劉春曉

（1. 現代電力系統仿真控制與綠色電能新技術教育部重點實驗室（東北電力大學） 吉林 132012 2. 南方電網電力調度控制中心 廣州 510623）

0 引言

隨著區域電網互聯規模不斷擴大、能源供應需求急劇增長，電力系統的運行日趨接近其極限，低頻振蕩已成為限制區域間功率傳輸能力、影響電網安全穩定運行的主要因素之一[1-2]。低頻振蕩特征參數的精準提取是預防和抑制電網低頻振蕩失穩的前提。傳統基于電力系統微分代數模型的低頻振蕩分析方法雖然可準確求解出系統低頻振蕩的關鍵特征參數，但需構建詳細、準確的電力系統動態模型，而在實際運行中很難隨時間和運行條件變化來實時構建高精度的電力系統動態模型，因此該方法主要應用于電力系統的離線低頻振蕩分析。

廣域量測系統（Wide Area Measurement System, WAMS）在電網廣泛應用，為電力系統低頻振蕩分析提供了可靠的數據來源和全新的研究思路，使基于廣域量測信息的低頻振蕩辨識方法得到了廣泛關注[3-5]。該方法借助模式辨識的相關理論和技術，實時、準確分析電力系統廣域量測信息中所隱含的電網動態信息，提取出反映系統低頻振蕩的關鍵特征參數，實現對電力系統動態穩定的快速評估[6-8]。

目前，基于廣域量測信息的電力系統主導振蕩模式辨識主要分為單通道辨識方法[9-15]和多通道辨識方法[16-21]。單通道辨識方法以單一量測通道獲取的量測信息作為輸入信號，來辨識系統的主導振蕩模式，主要方法有快速傅里葉變換（Fast Fourier Transform, FFT）[9]、自回歸滑動平均模型（Auto-Regressive Moving-Average, ARMA）[10]、Prony算法[11-12]、希爾伯特-黃變換（Hilbert-Huang Transform, HHT）[13-14]、連續小波變換（Continuous Wavelet Transform, CWT）[15]等。FFT是較早被用來辨識系統主導振蕩模式的方法。文獻[9]采用非線性最小二乘優化FFT的振蕩模式辨識結果，提升FFT在含噪聲環境下的辨識精度，但辨識結果僅能分析系統的主導振蕩頻率，無法辨識主導振蕩模式的阻尼比。為此，文獻[10]引入ARMA并借助譜估計方法追蹤系統主導振蕩模式的振蕩頻率和阻尼比，但該方法僅適用于分析類噪聲信號。為從電力系統故障信號中實現振蕩頻率和阻尼比的高效辨識，文獻[11]引入了Prony算法，但Prony算法的辨識結果易受量測噪聲影響。為提高Prony算法的抗噪能力，文獻[12]采用滑動窗技術濾除量測信號中的噪聲，以提升Prony算法的魯棒性，但該方法不適用于分析非線性、時變信號。為從非線性、時變廣域量測信息中辨識出系統的主導振蕩模式，文獻[13]將經驗模態分解（Empirical Mode Decomposition, EMD）與HHT相結合，從電力系統廣域非線性、時變量測信號中捕捉到系統主導振蕩頻率的瞬變特性和阻尼比的時變特征，但辨識過程中易出現模式混疊和端點效應，嚴重影響辨識結果的精度。為此，文獻[14]引入頻率偏差法和端點延拓法以克服文獻[13]中存在的模式混疊和端點效應，提升了主導振蕩模式的辨識精度，但在辨識過程中產生的虛假振蕩信息嚴重影響到主導振蕩模式的篩選。為有效分離出虛假振蕩模式，文獻[15]基于小波相對能量實現了主導振蕩模式與虛假振蕩模式的有效分離。

上述單通道辨識方法雖然可有效地辨識系統的主導振蕩模式，但受主導振蕩模式可觀性的影響，其辨識結果不能準確地反映系統的全局振蕩特性。此外，單通道辨識方法需逐次分析單一通道量測信號的振蕩特性，辨識效率較低，辨識結果不能給出表征發電機間動態振蕩的主導振蕩模態。而基于廣域量測信息的多通道辨識方法充分考慮電力系統各量測通道間的關聯性，從多通道量測信息中提取出表征系統動態振蕩特性的主導振蕩模態[16-17]。文獻[18]采用隨機子空間（Stochastic Subspace Identification, SSI）直接從多通道量測數據中提取振蕩模式，并借助層次聚類解決了SSI模型定階的難題，但計算過程中高維矩陣的處理導致該方法計算效率偏低。為此，文獻[19]基于正交分解（Proper Orthogonal Decomposition, POD）實現高階量測矩陣的快速降階，進而提取出關鍵振蕩信息的幅值和相位，但其辨識結果易遺失較為重要的動態振蕩信息。為避免重要振蕩信息的遺失，文獻[20]引入庫普曼模態分解（Koopman Mode Decomposition, KMD）提取系統的振蕩信息來辨識振蕩模態，但其計算過程較為復雜。為簡化計算，文獻[21]基于動態解耦（Dynamic Mode Decomposition, DMD）分析系統的振蕩信息，利用振蕩信息的時空耦合關系提取系統的主導振蕩模式及模態，但該方法缺乏分離主導振蕩模式信息和虛假振蕩模式信息的有效手段，且動態穩定評估過程亟需進一步完善。

針對DMD在分離系統主導振蕩模式信息與虛假振蕩模式信息的不足，本文引入稀疏增強動態解耦（Sparsity Promoting Dynamic Mode Decomposition, SPDMD）篩選含系統關鍵振蕩信息的主導振蕩模式，進而實現主導振蕩模式和模態的協同辨識。該方法借助DMD辨識系統振蕩模式及模態，然后構建各振蕩模式的最優振幅系數以分離由外施擾動或噪聲引發的虛假振蕩模式及模態；最后將所提方法應用到16機68節點測試系統和中國南方電網，對所提SPDMD算法進行分析、驗證。

1 基于DMD的主導振蕩模式及模態辨識

DMD最初是由巴黎綜合理工大學的P J Schmid教授提出，用以解決流體力學中流體的流動特征提取問題[22-23]。該方法可實現高階量測信息的快速降階，顯著提高辨識效率，且可有效避免模式混疊對計算精度的影響。基于DMD的主導振蕩模式及模態辨識算法基本原理如下：

從廣域量測系統的相量量測單元（Phasor Measurement Unit，PMU）中采集電力系統的廣域量測信息，構建電力系統的廣域量測信息矩陣X0為

式中，x1,x2,…,xN為各時間點所采集量測信息向量。

若量測信息xj+1可通過量測信息xj的線性映射A來表示，提取矩陣X0的前N-1個列向量和后N-1個列向量分別記為矩陣X1=[x1x2…xN-1]和矩陣X2=[x2x3…xN]，X1與X2的關系為

式中，A為可捕獲量測信息內固有的動態變化特征的高階復雜矩陣，其特征值和特征向量中包含系統的動態振蕩信息；r為殘差矩陣。

借助奇異值分解（Singular Value Decomposition，SVD）分解矩陣X1并忽略殘差矩陣r，可得矩陣X2為

式中，U為左奇異向量矩陣，包含系統的空間振蕩信息；Σ為奇異值矩陣；V為右奇異向量矩陣，矩陣ΣV*包含系統的時間振蕩信息。U和V均為酉矩陣，滿足U*U=V*V=I，I為單位矩陣。

由于矩陣A通常為高階復雜矩陣，為簡化計算，引入低階矩陣F近似描述A的動態振蕩特性，F為

將式（4）代入式（3），計算低階狀態矩陣F，并對其進行特征值分解得到

式中，Λ為振蕩模式矩陣，Λ=diag(λ1λ2…λm)；λi為振蕩模式i對應的特征值；Y為特征向量矩陣，Y=[y1y2…ym]，yi為λi的右特征向量；m為振蕩模式數量。

進一步，由U、ΣV*、Λ和Y得到含系統動態振蕩信息的廣域量測矩陣X2的近似表達式為

式中，Φ為振蕩模態，表征系統各發電機的相對振蕩趨勢，Φ=[φ1φ2…φm]；Γ(t)為與時間有關的振幅系數，表征振蕩模態幅值隨時間變化情況，Γ(t)= [ɑ1(t)ɑ2(t) …ɑm(t)]T。

由式（6）的振蕩模式矩陣Λ，可得系統第i個振蕩模式的振蕩頻率fi和阻尼比ζi為

受故障時間、故障類型及量測噪聲的影響，所辨識的系統振蕩模式中常伴有虛假振蕩模式[24-25]。為有效辨識系統的主導振蕩模式，本節通過式（8）計算各振蕩模式的相對能量權重，再根據相對能量閾值分離系統的主導振蕩模式。

式中，Ei為振蕩模式i的相對能量權重。相對能量閾值的合理選取可有效篩選系統的主導振蕩模式。

DMD方法雖可在時空域內從電力系統的廣域量測信息中辨識出系統的振蕩模式和模態，并借助Γ(t)計算相對能量權重從振蕩模式和模態中篩選主導振蕩模式及模態，有效抑制模式混疊對振蕩辨識結果的影響。但在采用式（8）所示的方法來分離主導振蕩模式時，若主導振蕩模式與虛假振蕩模式間的相對能量權重較為接近，將無法有效地從所辨識的振蕩模式中分離出電力系統的主導振蕩模式。當主導振蕩模式發生漏選情況時，遺失的主導振蕩模式未經合理、有效的解決措施可能會導致系統發生失穩現象；當虛假振蕩模式發生誤選情況時，會為電力系統低頻振蕩分析帶來不必要的麻煩，嚴重時可能會錯失抑制低頻振蕩的最佳時機。上述兩種情況均會對電網穩定產生嚴重威脅，故亟需一種簡單、高效的方法實現主導振蕩模式和虛假振蕩模式的準確分離。

2 基于SPDMD的低頻振蕩特征參數提取

針對DMD方法從辨識的振蕩模式中分離出系統主導振蕩模式和虛假振蕩模式的瓶頸，本節進一步引入SPDMD以分離主導振蕩模式和虛假振蕩模式，實現電力系統主導振蕩模式及模態的協同辨識。

2.1 主導振蕩模式及模態篩選

2.1.1 初始振幅系數建立

在DMD的辨識基礎上，本節將式（6）中矩陣X2的量測信息在空間上進行快速解耦，構建高階量測信息的低階表達式，在保留系統關鍵振蕩信息的基礎上，利用低階矩陣等效替換高階矩陣，進而形成統一的標準來彌補DMD在主導振蕩模式篩選中的不足。分解量測信息向量xj+1所構建的含初始振幅系數αi的表達式為

式中，vj+1為假定與量測信息xj+1存在近似變化關系U的列向量；αi為由量測信息xj+1所分解該時刻振蕩模態i的幅值；*為矩陣的復共軛轉置。

根據式（9）提取矩陣X1含有的動態振蕩信息，實現振蕩模式辨識和振蕩模態的協同辨識。

式中，H=diag(α1α2…αm)為初始振幅系數矩陣；Vand為含振蕩模式信息的Vandermonde矩陣。

為獲取更為準確的αi以提取系統的關鍵振蕩信息，本節采用F-范數將式（10）近似轉換為優化問題，進而求解αi[23]為

式中，P=(Y＊Y)·[(VandVand*)*]T，·表示矩陣對應位置元素相乘；q=[diag(VandVΣ*Y)*]T；s=tra(Σ*Σ)；tra表示矩陣主對角線上所有元素之和；α為αi構成的向量，α=[α1α2…αm]T。

求解式（11），α可表示為

2.1.2 初始振幅系數優化

通過上述計算得到初始振幅系數α后，為使其可準確篩選含系統關鍵振蕩信息的主導振蕩模式，本節進一步引入具有稀疏性的罰函數，使含有系統關鍵振蕩信息的主導振蕩模式、模態與矩陣X1包含的動態振蕩信息間的偏差達到最小，即采用主導振蕩模式及模態實現對矩陣X1的分層描述。

式中，γ為正則化參數，其數值決定罰函數的稀疏性，其值越大表示稀疏性越高；pun(α)為正則化懲罰函數，常用的正則化懲罰函數為1-范數和2-范數。

為便于計算，采用1-范數將式（13）等效為

通過計算式（14）所示的多項式優化問題可求得α的最優解，進而有效分離出量測信息中含有的虛假振蕩模式。為此，本節采用交替方向乘子法（Alternating Direction Multiplier Method，ADMM）求解式（14）以剔除系統中的虛假振蕩信息，ADMM通過引入新變量等效替換部分原變量，在將式（14）中目標函數分為兩部分的同時保證優化過程的可分解性，其主要過程如下：

1）采用變量βi替代αi，并引入等式約束。

根據ADMM原理可知：對于任意變量αi和βi，式（14）和式（15）是等價的。分別求解式（15）中αi和βi，可有效降低計算復雜程度。

2）引入式（15）的增廣拉格朗日形式，計算α、β的最優解。

式中，β=[β1β2…βm]T；λ為拉格朗日乘子；ρ為懲罰參數，通常令ρ=1。

通過迭代計算α、β與λ。

式中，argmin為當目標函數Lρ達到最小值時α或β的值；k為迭代次數。

若α和β滿足式（18），則迭代完成。

式中，rdual為對偶殘差，等于每次迭代α與β的差值；rprim為原始殘差，等于變量β迭代前后的差值。當式（18）滿足相對停止閾值ε1、ε2時，βk+1即為α的迭代結果，令α=βk+1。

為使α內非零元素準確表征系統的關鍵振蕩信息，根據式（11）引入約束條件

式中，E=[1 0 0 0 …; 0 0 1 0 …; 0 0 0 0 …; …]；α=[0α20α4…]T，α2和α4為任意實數。

進一步將式（19）轉換為拉格朗日形式[23]，即

式中，μ為拉格朗日乘子。

求解模型（19），當J(α)達到最小值時，α最優解為

式中，αsp為最優振幅系數。

上述過程實現了αsp的準確構建，為主導振蕩模式的篩選提供了依據。顯然，由式（21）可知：引入ADMM和LM后，即實現了電力系統各振蕩模式對應αsp的構建，進一步利用主導振蕩模式所對應αsp不為0、虛假振蕩模式所對應αsp為0這一特點，準確篩選出電力系統的主導振蕩模式。αsp具備此特點的原因在于：式（2）將噪聲等擾動信號保留在殘差矩陣r中，使矩陣X2僅含關鍵振蕩信息和由噪聲激發的虛假振蕩信息。進一步，由于α內元素可表征其所對應振蕩信息的重要程度，當根據式（13）增強α的稀疏性時，其內部非零元素對應的振蕩信息更為重要，因此，αsp內非零元素對應的振蕩信息即為關鍵振蕩信息，提取的振蕩模式即為主導振蕩模式。SPDMD時空解耦圖如圖1所示，SPDMD僅用有限個主導振蕩模式、模態與αsp內非零元素的加權實現對系統量測信息的有效描述，即此時已通過αsp內0元素分離出系統的虛假振蕩信息，量測信息中只有含關鍵振蕩信息的主導振蕩模式，最終根據式（10）中振蕩模式與振蕩模態的對應關系篩選出系統的主導振蕩模態。

圖1 SPDMD時空解耦圖Fig.1 Spatial-temporal decoupling by SPDMD

2.2 算法流程

綜上所述，本文所提基于SPDMD的電力系統振蕩模式與模態辨識方法整體流程如下：

（1）從PMU裝置中采集電力系統的狀態量測信息，對其進行標準化處理，然后構建如式（1）所示標準化的電力系統廣域量測信息矩陣X0。

（2）根據式（2）分別提取標準化量測信息矩陣X0的前N-1列構建矩陣X1=[x1x2…xN-1]和后N-1列構建矩陣X2=[x2x3…xN]，通過式（3）引入SVD分解矩陣X1獲得矩陣U、Σ、V。

（3）根據式（5）利用矩陣X2以及分解X1所獲子矩陣U、Σ、V計算矩陣F。

（4）采用特征值分解計算矩陣F的特征值矩陣Λ和特征向量矩陣Y，再根據式（6）中U、Σ、V、Λ和Y獲取含系統動態振蕩信息的矩陣X2。

（5）根據式（9）建立高階量測信息的低階表達形式，借助遞推關系獲得式（10）來辨識系統的振蕩模式及模態，并通過式（12）計算初始振幅系數α。

（6）通過式（13）引入具有稀疏性的罰函數，采用ADMM和LM求解式（14）來優化α，進而獲取最優振幅系數αsp。

（7）通過αsp中非零元素的位置來確定系統的主導振蕩模式及模態，有效分離系統的虛假振蕩信息。

3 算例分析

為驗證所提基于SPDMD的主導振蕩模式及模態協同辨識的準確性和有效性，本節分別以16機68節點測試系統和中國南方電網為例進行分析、驗證。

3.1 16機68節點測試系統

16機68節點測試系統拓撲結構如圖2所示，系統詳細參數見文獻[26]。該系統分為5個區域，發電機G1～G9位于區域1；發電機G10～G13位于區域2；發電機G14、G15、G16分別位于區域3、4、5。

圖2 16機68節點測試系統Fig.2 16-machine 68-bu s test system

3.1.1 SPDMD準確性驗證

以16機68節點測試系統的時域仿真數據模擬電網的廣域量測數據，發電機G1為參考機，0.1s時在支路46-49近節點49側設置三相短路故障，0.26s時節點49側斷路器跳開，0.28s時節點46側斷路器跳開，仿真持續至60s，采樣頻率為100Hz。故障期間，發電機相對轉子角與角速度曲線分別如圖3和圖4所示，選取圖3和圖4中前30s的發電機轉子角和角速度信息作為本文所提方法的輸入，構建式（1）所示的廣域量測信息矩陣X0。

圖3 16機68節點測試系統發電機轉子角搖擺曲線Fig.3 The oscillation curves of rotor angles in 16-machine 68-bus test system

圖4 16機68節點測試系統發電機角速度搖擺曲線Fig.4 The oscillation curves of rotor speeds in 16-machine 68-bus test system

由于輸入的量測通道共30個，理論上振蕩模式將以共軛對的方式出現，因此，振蕩模式對應的αsp中含有15對元素，其中非零元素對應的振蕩模式即為主導振蕩模式，同理可篩選出主導振蕩模態。

圖5給出了基于SPDMD的αsp估計結果。由圖5可知：本次故障下系統被激發出4組主導振蕩模式，對應振蕩頻率分別為2.105 2Hz、1.640 0Hz、1.182 3Hz和0.240 7Hz，各主導振蕩模式的最優振幅系數αsp分別為2.353 2、1.335 9、2.397 5和5.356 8。

圖5 SPDMD辨識各振蕩模式的αspFig.5 The αsp of each mode identified by SPDMD

圖6進一步給出了采用FFT辨識的系統主導振蕩頻率。由圖6可知：本次故障下FFT共辨識出4組主導振蕩頻率，分別為2.099 6Hz、1.599 1Hz、1.147 5Hz和0.268 6Hz。對比圖5與圖6中主導振蕩頻率的辨識結果可知：本文基于SPDMD所辨識的4組主導振蕩頻率與FFT的辨識結果基本一致，驗證了所提SPDMD方法僅根據αsp中虛假振蕩模式對應位置元素為0的特性，即可效分離出系統虛假振蕩信息，實現主導振蕩模式的有效篩選，避免因DMD相對能量閾值選擇不合理而導致的主導振蕩模式多選或漏選。

圖6 FFT所辨識主導振蕩模式Fig.6 Dominant modes identified by FFT

SPDMD和特征值分析（Eigenvalue Analysis，EA） 主導振蕩模式辨識結果對比見表1。表1表明，本文所提SPDMD主導振蕩模式辨識結果與EA辨識結果一致，驗證了所提SPDMD方法可準確辨識出系統的主導振蕩模式。

表1 SPDMD與EA主導振蕩模式辨識結果對比Tab.1 The identified results comparison of dominant modes by SPDMD and EA

3.1.2 SPDMD與DMD主導振蕩模式篩選結果對比

表2對比了SPDMD與DMD方法在分離主導振蕩模式中的差異性。由表2可知：SPDMD根據各主導振蕩模式的最優振幅系數αsp不為0而虛假振蕩模式αsp均為0的特點，有效分離出4組主導振蕩模式；而DMD計算得到的各振蕩模式的能量權重均大于0，需設定合理的相對能量閾值才能分離出虛假振蕩模式，若其相對能量閾值選取不合理則將嚴重影響主導振蕩模式篩選結果。

表2 SPDMD與DMD的主導振蕩模式篩選結果Tab.2 The screening results of dominant modes by DMD and SPDMD

為進一步表明SPDMD篩選主導振蕩模式的優勢，表3分別對比了DMD相對能量閾值為6和9時，DMD的主導振蕩模式篩選結果。顯然，由表3可知：當DMD相對能量閾值為6時，共篩選出8組主導振蕩模式，其中，模式4、5、6和7為虛假振蕩模式；當DMD相對能量閾值為9時，雖篩選出4組振蕩模式，但模式3為虛假振蕩模式，且未辨識出振蕩頻率為1.640 0Hz的主導振蕩模式。

表3 SPDMD與DMD篩選振蕩模式對比Tab.3 Comparison of selected modes of SPDMD and DMD

上述分析表明：DMD可根據相對能量權重篩選主導振蕩模式，但如果閾值選取得不合理，會產生主導振蕩模式的遺漏或多選現象，嚴重影響主導振蕩模式的辨識精度。而所提SPDMD有效避免采用相對能量閾值來篩選主導振蕩模式的不足，實現了電力系統主導振蕩模式的有效分離。

3.1.3 SPDMD與其他方法的辨識結果對比

為進一步驗證所提方法提取系統低頻振蕩特征參數的優勢，本節分別對比了SPDMD與POD、KMD、EA的主導振蕩模式和模態辨識結果。

1）主導振蕩模式辨識

表4對比了SPDMD、POD和KMD的主導振蕩模式辨識結果，表5進一步以EA的辨識結果為基準，對比SPDMD與POD和KMD的辨識精度。由表4和表5的對比結果可知：POD能較為準確地辨識出系統主導振蕩模式的振蕩頻率，但無法辨識主導振蕩模式的阻尼比；KMD雖能有效辨識系統的振蕩頻率和阻尼比，但其辨識結果誤差較大；而本文所提SPDMD辨識方法相對POD和KMD具有更高的辨識精度。

表4 主導振蕩模式對比Tab.4 The comparison of dominant modes

表5 主導振蕩模式誤差分析Tab.5 The error analysis of dominant modes

2）主導振蕩模態辨識

振蕩模態可表征發電機在某一確定的主導振蕩模式下的空間變化趨勢，有助于運行調度人員分析和抑制電網低頻振蕩現象。根據式（10）中振蕩模式與振蕩模態的對應關系，本節基于SPDMD的主導振蕩模態辨識結果如圖7所示。

圖7 SPDMD所辨識主導振蕩模態Fig.7 Dominant mode shapes identified by SPDMD

顯然，由圖7可知：主導振蕩模式1主要表現 為位于區域1的發電機G1與系統中發電機G2～G16的相對振蕩；主導振蕩模式2主要表現為發電機G11相對區域內的其余發電機振蕩；主導振蕩模式3主要表現為位于區域1中的發電機G2～G7和G9與位于其他區域的發電機G12～G16同調，而與發電機G8、G10、G11相對振蕩；主導振蕩模式4主要表現為位于區域1的發電機G2～G9與區域2、3、4、5中的發電機G10～G16相對振蕩。

圖8～圖10分別給出了采用POD、KMD和EA辨識出的系統主導振蕩模態結果。

圖8 POD所辨識主導振蕩模態Fig.8 Dominant mode shapes identified by POD

對比圖7～圖10的主導振蕩模態辨識結果可知：雖然SPDMD、KMD和EA辨識的主導振蕩模態在相位和幅值略有差別，但揭示的各主導振蕩模 態下的相對振蕩機群構成基本一致，而POD在主導振蕩模式1和2下的振蕩模態辨識結果與SPDMD、KMD和EA的辨識結果誤差較大，如在主導振蕩模式1中，POD辨識的振蕩模態中發電機G5～G7、G14、G16同調，而與其余發電機發生相對振蕩；在主導振蕩模式2中，發電機G9、G11、G14同調。上述結果驗證了SPDMD辨識系統主導振蕩模態的準確性。

圖9 KMD所辨識主導振蕩模態Fig.9 Dominant mode shapes identified by KMD

圖10 EA所辨識振蕩模態Fig.10 Mode shapes identified by EA

3.2 中國南方電網算例

3.1節將所提方法應用到16機68節點測試系統中，驗證了其在電力系統動態穩定協同評估的準確性和有效性。本節進一步將該方法應用到南方電網中，驗證其在實際電力系統中應用的可行性。南方電網在某次故障下各變電站的PMU實測頻率如圖11所示，其中，LP位于云南；XR-Ⅰ和XR-Ⅱ位于貴州；SD、SZ和ZQ位于廣東。

圖11 中國南方電網PMU實測頻率Fig.11 PMU measured frequency in China Southern Power Grid

本節以該量測信號的20～60s數據作為所提方法的輸入，各振蕩模式的αsp計算結果如圖12所示。

圖12 PMU實測頻率各振蕩模式計算結果的αspFig.12 The αsp of three dominant modes under PMU measured frequency

PMU實測頻率的主導振蕩模式篩選結果見表6。由表6可知：模式1和2為兩組主導振蕩模式，其αsp分別為1.025 5和0.362 8。其中，主導振蕩模式1對應的振蕩頻率為0.408 2Hz，阻尼比為2.155 9%；主導振蕩模式2對應的振蕩頻率為0.332 7Hz，阻尼比為3.479 8%。

表6 PMU實測頻率的主導振蕩模式篩選結果Tab.6 The screening results of dominant modes by PMU measured frequency

PMU實測頻率所辨識主導振蕩模態如圖13所示。對比圖13與參考文獻[8]的辨識結果可知：主 導振蕩模式1為南方電網的云貴振蕩模式，即位于云南的LP與位于貴州和廣東的XR-Ⅰ、XR-Ⅱ、SD、SZ、ZQ發生相對振蕩；主導振蕩模式2為南方電網的云廣振蕩模式，即位于廣東的SD、SZ、ZQ與位于云南和貴州的LP、XR-Ⅰ、XR-Ⅱ發生相對振蕩。

圖13 PMU實測頻率所辨識主導振蕩模態Fig.13 Dominant mode shapes identified by PMU measured frequency

由上述分析可知：本文所提SPDMD可從實際電網的廣域量測信息中，有效辨識出系統主導振蕩模式和振蕩模態。驗證了所提SPDMD應用于實際電網的有效性和可行性。

4 結論

本文提出一種基于SPDMD的電力系統振蕩模式與模態的辨識方法，通過16機68節點測試系統和中國南方電網算例對所提SPDMD算法進行分析、驗證，相關結論如下：

1）所提SPDMD算法通過辨識的最優振幅系數是否為0，實現了系統關鍵振蕩信息與虛假振蕩信息的有效分離，克服了DMD因相對能量閾值選取而無法有效分離系統主導振蕩模式與虛假振蕩模式的不足。

2）所提SPDMD算法完全不依賴電力系統動態模型，直接基于廣域量測信息辨識電力系統主導振蕩模式及模態，并根據辨識結果分析電網故障時各發電機間轉子角的相對變化趨勢，對抑制電力系統低頻振蕩具有一定的指導意義。

3）相比于基于廣域量測信息的POD和KMD辨識算法，所提SPDMD算法具有更高的辨識精度。

4）中國南方電網的辨識結果證實所提SPDMD算法可應用于實際電網動態穩定的協同辨識，對基于廣域量測信息的大電網動態穩定在線監測具有一定的應用參考價值。