科學備考解折幾何中的定點、定值問題

盧會玉

圓錐曲線中的定點、定值問題一直是近幾年來高考的熱點問題，由于在解題之前不知道定點是什么、定值是多少，因而給解題增添了一定的難度。解決這類問題時，要善于在“變”中尋求定值或定點的“不變”性，再將問題轉化為有目標的一般性證明即可。

題型一：斜率之和為定值

例1已知Q是圓M：（x+5）*+y，'=36上的動點，點N（/5，0），若線段QN的垂直平分線交MQ于點P。

（1）求動點P的軌跡E的方程;

（2）若A是軌跡E的左頂點，過點D（-3，8）的直線l與軌跡E交于B，C兩點，求證：直線AB，AC的斜率之和為定值。

分析：（1）線段QN的垂直平分線交MQ于點P，所以|PN|=|PQ|，則|PM|+|PN|=|PM|+|PQ|為定值，所以點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，結合題中所給數據求出橢圓方程即可;（2）設出直線l的方程，與（1）中求出的橢圓的方程聯立，化為關于的一元二次方程，利用韋達定理寫出kAn+kxc，最后化簡可得定值。

解：（1）由題可知，線段QN的垂直平分線交MQ于點P，所以|PN|=|PQ|。

所以|PM|+|PN|=|PM|+|pQ|=6》2/5，所以點P的軌跡是以M，N為焦點的橢圓。

（2）由（1）可得，過點D的直線l的斜率存在且不為0，故可設直線l的方程為y=kx+m（k≠0）。

b》0）的右焦點F，與拋物線y？=4x的焦點重合，且橢圓C的離心率為之。

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）已知與坐標軸不垂直的直線l與橢圓C交于M，N兩點，線段MN的中點為P，問：km.kop（O為坐標原點）是否為定值？請說明理由。

分析：（1）由拋物線方程求出焦點坐標，得到橢圓C的半焦距，再由離心率求得a，由b=a-c求得6，則橢圓方程可求;（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+m，聯立直線l與橢圓C的方程，化為關于的一元二次方程，利用根與系數的關系求得點P的坐標，再由斜率公式求得OP的斜率，可得kxv。kop為定值。

解：（1）由拋物線y'=4x的焦點為（1，0），可得橢圓C的半焦距為c=1。

（2）由題意可知，直線l的斜率存在且不為0，設直線l的方程為y=kx+m。

題型三：面積為定值

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）設直線l與橢圓C交于M，N兩點，點D在橢圓C上，O是坐標原點，若0M+=B，判斷四邊形OMDN的面積是否為定值。若為定值，求出該定值;如果不是，請說明理由。

分析：（1）根據離心率和橢圓經過的點的坐標，建立方程組，即可求解橢圓的標準方程;（2）寫出四邊形的面積表達式，結合表達式的特征進行判斷。

（2）當直線l的斜率不存在時，點M和點N關于x軸對稱，又M，N，D三點都在橢圓C上，且滿足0M+O=B，則由平行四邊形法則可得直線MN的方程為x=一1或x=1，此時四邊形OMDN的面積為/6。

當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y=kx+m。

綜上可知，四邊形OMDN的面積是定值，其定值為/6。

題型四：直線恒過定點

例4已知橢圓C：x2

b》0）的離心率為之，M是橢圓C的上頂點，F，F，分別是橢圓C的左焦點和右焦點，△MFF2的周長是6。

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）過動點P（1，t）作直線交橢圓C于A，B兩點，且|PA|=|PB|，過P作直線l，使直線l與直線AB垂直，證明：直線l恒過定點，并求出定點的坐標。

分析：（1）由題可列關于a，b，c的方程組，解方程組即得橢圓C的標準方程。（2）當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y-l=k（x-1），進一步求出直線l的方程為s一1（一），所以直線l恒過定點k

（，0）。當直線AB的斜率不存在時，直線AB的方程為x=1，此時直線l為x軸，也過點（.o）。綜上可知，直線1恒過點（左.0）。

解：（1）由于M是橢圓C的上頂點，由題意得2a+2c=6，即a+c=3。

（2）當直線AB的斜率存在時，可設直線AB的方程為y-t=k（x-1）。

直線與圓錐曲線的位置關系中的定點、定值問題，一般可通過聯立方程組并消元得到關于x或y的一元二次方程，再把要求解的目標代數式化為關于兩個交點的橫坐標或縱坐標的關系式，該關系中含有x2，十x2或yyz，y1+y2，最后利用韋達定理把關系式轉化為若干變量的方程（或函數），從而可求定點、定值問題。（責任編輯王福華）