淺談圓錐曲線問題的切入點

劉佳紅

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，在高考中，圓錐曲線與方程專題也是考查的主干內(nèi)容，強調(diào)通性、通法，主要考查同學(xué)們的“直觀想象”、“數(shù)學(xué)運算”等核心素養(yǎng)，著重考查圓錐曲線方程、幾何性質(zhì)，以及直線與圓錐曲線中的范圍、最值、定點、定值、存在性等問題。

圓錐曲線問題一直是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的“老大難”，究其原因，主要是同學(xué)們的分析、轉(zhuǎn)化與化歸和運算等能力不足，本文嘗試總結(jié)一些解決“圓錐曲線”的常用切人點，幫助同學(xué)們更容易找準(zhǔn)解題方向和優(yōu)化運算。切入點1：充分利用定義圓錐曲線的定義是曲線上點特有的性質(zhì)，當(dāng)題目中出現(xiàn)“曲線上的點與焦點的距離”或者“焦點三角形”等條件時，我們往往需要把握住其定義中的特點。例如，橢圓上的點到兩定點（焦點）的距離之和等于定值2a，拋物線上的點到定點的距離等于其到定直線的距離等。

切入點2：充分挖掘平面幾何條件

顧名思義，“解析幾何”研究的對象是“幾何的東西”，只是我們用代數(shù)的語言來描述、表達(dá)、運算、證明，如果脫離平面幾何而一味地運算無疑就像“無頭蒼蠅瞎撞”，我們?nèi)羰嵌鄰膸缀谓嵌热ビ^察發(fā)現(xiàn)，則往往會省去不少繁雜的計算，使解題變得簡便快捷。

切入點3：扣準(zhǔn)“關(guān)鍵點”，在動態(tài)中求不變

所謂“關(guān)鍵點”，是指題設(shè)中所提及的重要點，它起著“承上啟下”“全面”的影響作用。對于此類型的點，我們時常也會對其假設(shè)，再在動態(tài)中尋找不變的因素。

例3圓C的圓心T是拋物線Cz：因為點（2，0）在橢圓C：4+=1上，

所以無論點T運動到何處，圓C。恒經(jīng)過橢圓C上一定點（2，0）。

切入點4：設(shè)而不求用結(jié)構(gòu)，尤其是點差法搞定“中點弦”

所謂“設(shè)而不求”，就是假設(shè)某些未知量，卻不需要求解出其值，而是利用其滿足的方程，利用其結(jié)構(gòu)進(jìn)行加減乘除等運算，得出問題相關(guān)量。常見的如“點差法”，此類方法對于解決弦的中點問題往往是非常奏效的。

y-=1，試

例4已知橢圓方程為+3

確定m的取值范圍，使得橢圓上有不同的兩點關(guān)于直線y=4x+m對稱。

解析：設(shè)A（xy），B（xg，y2）是橢圓上關(guān)于直線y=4.x+m對稱的相異兩點，AB的中點為Mcxo.yo）.則+*=1;xi人=1。

上面兩式相減得（x+x2）（x-xy）十

切入點5：角度轉(zhuǎn)斜率，運算出奇跡

切入點6：巧用結(jié)構(gòu)，在參數(shù)間相互轉(zhuǎn)換有一類圓錐曲線問題涉及的參數(shù)或關(guān)聯(lián)的點比較多，我們在表述條件時往往會覺得有點混亂，此時需要我們厘清相互聯(lián)系，巧妙發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中隱藏的方向，在各參數(shù)間進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最終使問題得到解決。

例6已知橢圓具有如下性質(zhì)：若橢圓

切線PM和PN，切點分別為M，N。當(dāng)點P在橢圓C，上運動時，是否存在定圓恒與直線MN相切？若存在，求出圓的方程;若不存在，請說明理由。

（責(zé)任編輯王福華）