探究解析幾何中的定點、定值問題

曹亞奇

定點與定值問題是解析幾何中的高頻考點。此類問題定中有動，動中有定，并常與軌跡問題、曲線系問題等相結(jié)合，綜合性強，解法靈活多變。求解這類問題時，需要有較強的代數(shù)運算能力和圖形識別能力，要能合理猜想并仔細推理論證，對熟練運用所學知識分析問題、解決問題的能力要求較高，所以掌握這類問題的通性通法是我們學習的重中之重。

一、直線的定點問題

我們知道，若一條直線經(jīng)過一定點，往往表達成如下形式：（1）y=kx+1;（2）y=kx-k;（3）y-1=k（x-1）;（4）（m-1）x+（2m-1）y=m-5。于是我們最終需要表達的直線的方程是含有一個參數(shù)，那又該如何做到呢？下面讓我們以一道經(jīng)典習題為例，從“線設”、“點設”、“共線”等三個視角人手，尋求直線中定點問題的通性通法。

例1（武漢市2020屆高中畢業(yè)生質(zhì)量檢測第19題）已知拋物線r：=2px（p》0）的焦點為F，P是拋物線上一點，且在第一象限，滿足F=（2，2/3）.

（1）求拋物線I的標準方程。

（2）已知過點A（3，-2）的直線交拋物線r于M，N兩點，經(jīng)過定點B（3，-6）和M點的直線與拋物線I交于另一點L。試問：直線NL是否恒過定點？若過定點，求出該定點;若不過定點，請說明理由。

解析：（1）拋物線廠的標準方程為y=4x。（過程略）

（2）解法1：設M（，1），則直線MN：x-

評注：上述解法從設點M的坐標入手，表示出兩直線MN與ML的方程，將它們與拋物線方程聯(lián)立求解得N，L兩點的坐標，從而得到直線NL的方程，經(jīng)過一系列復雜煩瑣的運算得出“定點”。該方法思路明確直白，對同學們的運算素養(yǎng)要求頗高。

評注：該解法通過設出M，N，L三點的坐標，寫出關于直線MN，ML，NL的三組“同構(gòu)型”的直線方程，再由方程聯(lián)立減元，求得N，L兩點的縱坐標之積。正因為拋物線上的“點設”與“同構(gòu)式”的對稱性，令運算量大大減少。

解法3：取特例，令直線MN垂直于x軸，此時N，L兩點重合，直線NL為拋物線在N處的切線。不妨令N為第一象限的點，由y'=4x=》y=2/F，知k線=y'l-s=

/3/33。此時，直線NL：y=3x+/3，再由拋物線的對稱性，猜想直線NL過定點P（一30）。下面證明猜想結(jié)論。

由解法1中M，N兩點坐標得，kvp=

評注：證明直線過定點時，還可以從特殊情形、極限狀態(tài)、圖形的對稱性等方面入手猜測結(jié)論，再證明這個點（值）與變量無關，往往能取得事半功倍的效果。

二、圓上的定點問題

（1）若過點P（0，2）作直線l的垂線交直線l于點Q，求點Q的軌跡方程。

（2）試探究：在坐標平面上是否存在一個定點M，使得無論直線l怎么轉(zhuǎn)動，以AB直徑的圓恒過點M？若存在，求出點M的坐標;若不存在，請說明理由。

評注：此題亦是通過特殊情況先猜后證的典型代表。探究與圓有關的定點問題，關鍵是根據(jù)題目條件正確設出圓的方程或者是直徑的兩個端點的坐標，找到參數(shù)間的關系。聯(lián)立方程，求判別式，利用根與系數(shù)的關系，再根據(jù)題設關系進行化簡即可，這是求解定點問題的通性通法。

三、定值問題

定值問題一般是指在求解解析幾何問題的過程中，探求某些幾何量（面積、比值、斜率、距離等）與變量（斜率、坐標等）無關的問題。下面讓我們通過兩道例題體會求解定值

問題的一般方法。

例3如圖1，已知拋物線C：x'=4y，過點M（0，2）任作一直線與拋物線C交于A，B兩點，過點B作y軸的平行線與直線AO交于點D（O為坐標原點）。

（1）證明：動點D在定直線上;

（2）作拋物線C的任意一條切線l（不含x軸）與直線y=2交于點N，與（1）中的定直線交于點Ng，證明：|MN21'-|MN|為定值，并求此定值。

解析：（1）依題意可設直線AB的方程為y=kx+2，代人x'=4y，得x=4（kx+2），即x-4kx-8=0。設A（x，y），B（x2，y？），則有=一8。直線AO的方程為y=x，直線BD的方程為x=xp，解得交點

（2）依題意知切線l的斜率存在且不等于零，設切線l的方程為y=ax+b（a≠0），代人x'=4y，得=4（ax+6），即x-4a.x-46=0，由△=0得（4a）*+166=0，化簡整理得b=-a'，故切線l的方程可寫為y=ax-a*，分別令y=2，y=-2，得N;，N，的坐

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）如圖2，直線l過點T（m，0）（m》0）交橢圓C于M，N兩點，AB是橢圓C經(jīng)過原點O的弦，且MN

評注：解決定值問題的方法一般有兩種：（1）設出變量后直接計算、推理，并在計算推理中消去變量，得到定值;（2）從特殊情況（如點在坐標軸上，直線無斜率等）入手，求出定值，再證明該定值與變量無關。

通過以上四個例題，我們發(fā)現(xiàn)定點問題主要是曲線系（直線系）過定點的問題，反映的是數(shù)學對象的本質(zhì)屬性。其具體思路上又可細化成“設線”、“設點”“共線”等三大方向。而定值問題則主要涉及面積、面積比、斜率、長度、角度等幾何量的定值，也涉及動點運動軌跡中的某些不變因素。在解決定點、定值問題時，我們要注重通法通解，更要善于運用辯證的觀點去思考分析，在動點的“變”中尋求定值的“不變”性。

（責任編輯王福華）