科學備考解析幾何中與三角形面積相關的問題

牛淑琴

解決解析幾何中三角形面積的最值問題一般分為三個步驟：一是求出面積表達式（常用直接求法或分割求法）;二是得到目標函數式后，明確自變量及自變量的限制條件（如利用判別式大于0等）;三是利用配方法、基本不等式法、單調性法等求出面積的最值或取值范圍。

題型一：橢圓中有關三角形的面積的最值問題

例1已知橢圓C：

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）如圖1，A為橢圓C上一動點（非長軸端點），F，F，分別為橢圓C的左焦點和右焦點，AF，的延長線與橢圓C交于B點，AO的延長線與橢圓C交于D點，連接BD，求△ABD面積的最大值。

分析：（1）由題意求得a，6，c的值，從而確定橢圓C的方程;（2）分類討論直線的斜率存在和不存在兩種情況，聯立直線與橢圓方程，得到關于的一元二次方程，結合韋達定理和基本不等式即可確定三角形面積的最大值。

②當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k（x-2）。

綜上可知，△ABD面積的最大值為42。題型二拋物線中有關三角形的面積的最值問題

例2已知拋物線C：x=2py（p》0），其焦點到準線的距離為2，直線l與拋物線C交于A，B兩點，過A，B分別作拋物線C的切線l，lz，l與l，交于點M。

（1）求p的值;

（2）若lllz，求△MAB面積的最小值。分析：（1）根據拋物線的性質即可得到p的值。（2）由直線垂直可構造出斜率關系，得到xx=-4，通過聯立直線與拋物線方程，由根與系數的關系求得m;聯立兩切線方程，可用k表示出點M的坐標，代人點到直線的距離公式，得到關于面積的函數關系式，從而求得最值。

解：（1）由題意知，拋物線的焦點為0，2力），準線方程為=一2P，焦點到準線的距離為2，即p=2。

（2）由（1）得拋物線C的方程為x=4y，

當k=0時，△MAB的面積取得最小值4。題型三：橢圓中有關三角形的面積的取值范圍問題

（1）求橢圓E的標準方程;

（2）B為橢圓E上的動點，過點F作平行于OB的直線l交橢圓E于C，D兩點，求△BCD面積的取值范圍。

分析：（1）根據題意可得c=1，且|AF|+|AF'|=22=2a，從而得到橢圓E的標準方程。（2）必須要討論直線CD的斜率。當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y=k（x+1）（k≠0），聯立方程利用韋達定理表示出△BCD的面積，即可求解。

解：（1）設橢圓E的右焦點為F'，由左焦點F（-1，0），可得F'（1，0），即c=1。

由橢圓定義得|AF|+|AF'|=2/2=2a，即a=2，所以b=a'-c2=1。

當直線CD的斜率存在時，設直線CD的方程為y=k（x+1）（k0）。

題型四：拋物線中有關三角形的面積的取值范圍問題

例4已知拋物線C：y'=2pc（p》0）的焦點為F，過點F垂直于x軸的直線與拋物線C交于A，B兩點，拋物線C在A，B兩點處的切線及直線AB所圍成的三角形的面積為4。（1）求拋物線C的標準方程;

（2）設M，N是拋物線C上異于原點O的兩個動點，且滿足kom.kov=ko.koB，求OMN面積的取值范圍。

分析：（1）求出點A，B的坐標，利用導數的幾何意義求出切線方程，得到切線與軸的交點，利用三角形的面積列方程解出p即可;

（2）計算ko.ko=-4，設出直線MN的方程，求出直線MN與x軸的交點，聯立方程組，根據韋達定理及弦長公式可得|ym-vl，從而可以求出△OMN面積的取值范圍。

所以拋物線C在A處的切線斜率為1。由拋物線C的對稱性知拋物線C在B處的切線斜率為-1。

因為》0，所以Soomn》2。

綜上可知，Souv的取值范圍為【2，+oo）。解決解析幾何中與面積相關的問題，首先應正確表示面積，不論用直接法還是用分割法求面積，快而準確是目標。完成面積的表示之后，才會進人到下一環節，所以同學們還是應該重視解析幾何部分運算能力的提高。

（責任編輯王福華）