圓錐曲線試題精選

胡彬

1.在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：ra+;=1（a》b》0）的右準線為直線?=y'之十：

4，左頂點為A，右焦點為F。已知斜率為2的直線l經過點F，與橢圓E交于B，C兩點，且原點O到直線l的距離為5。

（1）求橢圓E的標準方程;（2）如圖1，若過原點

O的直線m：y=kx與直線AB，AC分別交于M，N兩點，且1OM|=|ON|，求k的值。

2.在平面直角坐標系

頂點和右頂點分別為A，B，右焦點為F，且滿足下=5FB，由橢圓C的四個頂點圍成的四邊形面積為6/5。過點T（t，m）的直線TA，TB與橢圓C分別交于點M（x，y），N（x2，y2），其中m》0，y》0，《0。

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）當點T在直線x=3a上時，直線MN是否過x軸上的一定點？若是，求出該定點的坐標;若不是，請說明理由。

3.已知拋物線E：y'=2px（p》0）的焦點為F，直線l：y=2x一2與橢圓E的交點為A，B，同時|AFI+|BF|=8。直線m//l，直線m與橢圓E交于C，D兩點，與y軸交于點P。

（1）求拋物線E的標準方程;

（2）若昂=4薩，求|CD|的長。

4.已知O為坐標原點，點F（0，1），M為坐標平面內的動點，且2，|FM|，20M.亦成等差數列。

（1）求動點M的軌跡方程。

（2）設點M的軌跡為曲線T，過點N（0，2）作直線l交曲線T于C，D兩點，試問：在y軸上是否存在定點Q，使得Q.為定值？若存在，求出定點Q的坐標;若不存在，請說明理由。

5.已知拋物線C：=2py（p》0），過點Q（0，1）的直線l與拋物線C交于A，B兩點，點A在第一象限，拋物線C在A，B兩點處的切線相互垂直。

（1）求拋物線C的標準方程。

（2）若P為拋物線C上異于A，B的點，直線AP，BP均不與?軸平行，且直線AP和BP分別交拋物線C的準線于M，N兩點，AQ=4QB。

①求直線AB的斜率;

②求|MN|的最小值。

6.設O為坐標原點，動點M在橢圓C：x？-+y'=1上，過點M作x軸的垂線，垂足2

為N，點P滿足NB=/2NM。

（1）求點P的軌跡方程。

（2）設點Q在直線x=-3上.且部.PQ=1。證明：過點P且垂直于OQ的直線l過橢圓C的左焦點F。

7.已知定圓A：（x+1）'+y'=8，動圓M過點B（1，0），且和圓A相切。

（1）求動圓圓心M的軌跡E的方程;（2）若直線l：y=kx+m（k?0）與軌跡E交于A，B兩點，線段AB的垂直平分線經

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）設直線y=kx+1和橢圓C交于B，D兩點，O為坐標原點，判斷在y軸上是否存在點E，使COEB=COED。若存在，求出點E的坐標;若不存在，請說明理由。

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）設橢圓C的右焦點為F，若不經過點F的直線l：y=kx+m（k《0，m》0）與橢圓C交于M，N兩點，且與圓x+y"=1相切。試問：△MNF的周長是否為定值？若是，求出定值;若不是，請說明理由。

參考答案：

1.（1）設橢圓E的焦距為2c，則直線l的方程為y=2（x-c），即2x-y-2c=0。

（2）由題意知直線l的斜率存在。

5.（1）設A（x，y），B（c2，y2）。

所以直線AB的斜率為-4。

因此點P的軌跡為x"+y'=2。

（1）知m+n=2，故3+3m-tn=0.

所以.下=0，即上所。

又因為過點P存在唯一直線垂直于OQ，所以過點P且垂直于OQ的直線l過橢圓C的左焦點F。

7.（1）圓A的圓心為A（-1，0），半徑r=2/2。設動圓M的半徑為rz，依題意有r2=|MB|。由|AB|=2，可知點B在圓A內，從而圓M內切于圓A，故|MA|=r-rz，即|MA|+|MB|=2/2》2。所以動點M的軌跡E是以A，B為焦點，長軸長為22的橢圓。因為a=/2，c=1，所以b=a-c=1。故圓心M的軌跡E的方程是2+y'=1。

（2）由（1）知F（1，0）。

①當直線l，l的斜率都存在時，由對稱性不妨設直線l的方程為y=k（x-1），k?l。

②當直線l，l的斜率其中一條不存在時，根據對稱性不妨設直線l的方程為y=

設切點為Q，M（x，y），N（x2，y2）（x>0，x>0）。

所以△MNF的周長為定值2/2。

（責任編輯王福華）