漫談解析幾何大題的四大優化策略

盛耀建

解析幾何大題，是每年高考的必考大題，雖然常考，且題型也較為固定，但其依然是擋在考生面前的幾座大山之一，得分率較低。那么如何破解這一難題，推翻這座大山呢？筆者認為，除了需要我們同學總結一些常見的題型，還需要掌握一些特殊的技巧，筆者就此整理了解析幾何大題解題時的四大常見優化策略，供同學們復習備考時參考。

策略一：同構式

“同構式”側重于“同構”二字，顧名思義，

結構相同。具體舉例如下：

例/如圖1，已知拋物線E：y'=2px（p》0）過點Q（1，2），F為其焦點，過F且不垂直于?軸的直線l交拋物線E于A，B兩點，動點P滿足MPAB的垂心為原點O。

（1）求拋物線E的標準方程;

（2）求證：動點P在定直線m上，并求SaPAB的最小值。

ScQAB

解析：（1）由題意，將Q（1，2）代人y=2p.x，得2'=2p=p=2，所以拋物線E的標準方程為y'=4x。

（2）設l：x=ty+1（t0），A（x，y），

評注：第（2）問的解答關鍵在于“y，Y2

稱之為“同構式”。需要進一步說明的是“同構式”是一個廣義的概念，它可以籠統地稱呼任意“結構”相同的式子，上面的例子屬于“二次方程同構式”。

策略二叉積式

“叉積式”是一個簡稱，它實際上是指三角形面積的一個計算公式：“Sc=-XY2

2-XY|"，其中記向量以=a=（x，y），CB=b=（X;，Yz）。怎樣運用這個面積公式？具體舉例如下：

例2（2021年1月金華十校考試）已知：拋物線C：y'=4x，斜率為一1的直線l與拋物線C的交于A（x，yi），B（xz，yz）兩點，點P（1，2）在直線l的右上方。分別過點P，A，B作斜率不為0，且與拋物線C只有一個交點的直線為l，l，ls。

（1）證明：直線l的方程是yy=2（x+x）;

（2）如圖2，若lnl2=E，lNls=F，l2Nl=G，求△EFG面積的最大值。

解析：（1）證明略。（2）由（1）可得切線分別為l：y=x+1，

策略三：伸縮式

“伸縮式”指的是“橢圓與圓之間的伸縮變換”，當對圓進行伸縮變換后，圓中的一些性質被很好地保留了下來，等價地，將橢圓還原成圓，有些性質也是不變的，“伸縮式”解題就是借助了這些不變性，巧妙地進行靈活運用，那么哪些性質在伸縮變換時是不變的呢？例如，點分線段所成的比保持不變;兩直線間或直線與曲線的相對位置關系保持不變;封閉區域的面積比保持不變;對應直線的斜率比保持不變等。具體舉例如下：

例了已知F（-/3，0），F2（/3，0）為

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）若直線l與橢圓C交于A，B兩點，OAB的面積為1，G為橢圓C上一點，滿足o=s+i0B，試問：s+是否為定值？若是定值，求出這個定值;若不是定值，求出s十l的取值范圍。

評注：第（2）問的解答，我們兩次巧妙地運用伸縮變換中的性質，第一次運用伸縮變換中“封閉區域的面積比保持不變”這一性質得到CA'O'B=兀-這一關鍵的結論，第二次運用“點分線段所成的比保持不變”這一性質了解題的計算量

策略四定義式

“定義式”指的是橢圓的第三定義（平面內的動點到兩定點的斜率乘積等于常數且這個常數大于一1小于0，則動點的軌跡為橢圓，其中兩定點分別為橢圓的頂點）的應用，概念的推廣有些時候也會給解題帶來方便。具體舉例如下：

例4已知橢圓r的焦點在?軸上，一個頂點為A（-5，0），其右焦點到直線3x-4y+3=0的距離為3。

（1）求橢圓r的標準方程;

（2）設橢圓廠的長軸為AA'，P為橢圓上異于A和A'的任意一點，作AQLAP，A'QLA'P，AQ和A'Q的交點為Q，求點Q的軌跡方程。

評注：①本題第（2）問的解決，橢圓的第三定義起到了關鍵性的作用，借助直線間的垂直關系，在斜率轉換之間，自然而然地得到了答案，過程相當簡潔;②事實上，關于橢圓的第三定義，我們可以運用伸縮變換來進行推導，不僅如此，我們還可以得到一個更加好用的性質，即橢圓上的點與橢圓上關于原點中心對稱的兩點的連線的斜率之積為定值。

解析幾何大題的順利解決，不僅需要扎實的計算能力，靈活的頭腦，有時還需要一定的知識儲備，身邊如果能夠帶著一些解題的裝備，那就可能收獲意外的效果，上述解題策略雖然還不夠全面，但常常用到，希望能夠帶給讀者朋友些許啟發！（責任編輯王福華）