例祈圓錐曲線中的證明與探蠡性問題

劉曉東 吳凱

圓錐曲線中的證明和探索性問題是高考中解答題的常考題型，難度比較大，這類問題往往是以解析幾何知識為載體，在函數(shù)、不等式、向量等知識交匯處設計問題，涉及的知識點較多，對考生處理綜合問題能力的要求也較高，是近幾年高考中的熱點和難點。

證明題的設計通常與位置、角度、長度、面積等相關，在高考題中，證明的方法通常以直接證明為主，即從題目已知條件出發(fā)來驗證結論的正確性，題型也主要包括三點共線問題、長度問題、角度問題、直線過定點問題等。而探索性問題則是在同等條件下，開放式設問，通常以存在或不存在來提問，而非直接給出需要證明的結論，以問題的不確定性來制造懸念，要求考生能獨立判斷其結論，并給出相應的證明過程。

一、圓錐曲線中的證明問題

例1（2020年北京市西城區(qū)二模）已.2i

知橢圓E：+興=1（a》b》0）經(jīng)過點C（0，1），離心率為?，0為坐標原點。（1）求橢圓E的標準方程;

（2）設A，B分別為橢圓E的左頂點和右頂點，D為橢圓E上一點（不在坐標軸上），直線CD交x軸于點P，Q為直線AD上一點，且.Q=4，求證：C，B，Q三點共線。

分析：（1）將點C的坐標代人橢圓E的方程，可求出6的值，再根據(jù)橢圓E的離心率可列出方程組解得a和c的值，進一步寫出橢圓E的標準方程;（2）設D（xoyo）（xoyo≠0），得4-x=4y}，寫出直線CD的方程，解得點P的坐標，再由矛.Q=4，可得點Q的橫坐標，代人直線AD的方程可求得點Q的坐標，最后驗證ko=kpc，即可證得結論成立。

解：（1）將點C的坐標代人橢圓E的方

（2）如圖1，易知橢圓E的左頂點和右頂點分別為A（-2，0），B（20），設D（xg，y。）

評注：本題考查橢圓標準方程的求解，并考查橢圓中三點共線的證明，根據(jù)題意，即證ko為定值-1這類題要求考生能夠根據(jù)已知條件，合理設置變量，通過必要的含參運算，處理點的坐標與直線方程等相關問題，從而完成證明。需要考生在熟練掌握基本概念的基礎上，同時具備有一定的邏輯思維能力和運算能力，綜合要求較高。

例2（河南省焦作市一模）已知點P（4，4）在拋物線C：y'=2px（p》0）上，直線l：y=kx+2與拋物線C有兩個不同的交點。（1）求k的取值范圍;

（2）設直線l與拋物線C的交點分別為A，B，過點A作與拋物線C的準線平行的直線，分別與直線OP和OB交于點M和N（O為坐標原點），求證：|AM|=|MN|。

分析：（1）將點P的坐標代人拋物線C的方程即可求出p的值;聯(lián)立直線l與拋物線C的方程，根據(jù)0》0即可求出k的取值范圍，但需考慮k?0。（2）根據(jù)直線OP，OB的方程進一步求出M，F(xiàn)的縱坐標，要證明|AM|=|MN|，由于A，M，N三點的橫坐標相等，我們不用全部寫出其距離的表達式，只需要考慮它們縱坐標的關系即可，其等價命題為2yu=ya+yn，即證M為線段AN的中點

解：（1）由拋物線c：y'=2px過點P（4，4），代人可得p=2，所以拋物線C的方程為y'=4x。

由題意可得M，N的橫坐標相等同為x，易知直線OP的方程為y=x，點M的坐標為（x，x），直線OB的方程為y=-，0，此等式顯然成立。故2yw=ya+yv恒成立，即|AM|=|MN|。

評注：本題考查利用根與系數(shù)的關系研究拋物線與直線的交點，以及中點坐標公式。在解答過程中采用了“分析法”的證明手段即以“要證XX，只要證XX”的形式，從結論倒推找相關條件，執(zhí)果索因。在證明的過程中，不能過于直接，也不能太盲目，需要多分析“等價條件”，遇到難點，亦要“迂回思考”，瞄準目標，探尋合理的解題路徑。

二、圓錐曲線中的探索性問題

例3（三湘名校教育聯(lián)盟。2020屆高三第二次大聯(lián)考）在平面直角坐標系xOy中，M為直線y=x一2上的動點，過點M作拋物線C：=y的兩條切線MA，MB，切點分別為A，B，N為AB的中點。

（1）證明：MN上x軸。

（2）直線AB是否恒過定點？若是，求出定點的坐標;若不是，請說明理由。

分析思路1：（1）設出動點M的坐標，根據(jù)點斜式設出切線方程，聯(lián)立切線和拋物線的方程，由△=0得到關于切線斜率k的一元二次方程，解出切點A，B的坐標，進而求得線段AB的中點N的橫坐標，并判斷出MN」x軸。（2）求得直線AB的斜率，由此求得直線AB的方程，化簡后可知直線AB過定點（號.2）。

分析思路2：（1）設出切點A，B的坐標，利用導數(shù)求得切線MA的方程，設出點M的坐標并代人切線MA的方程，同理將點M的坐標代人切線MB的方程，利用韋達定理求得線段AB的中點N的橫坐標，由此判斷出MNx軸。（2）求得N點的縱坐標yv，由此求得點N的坐標，求得直線AB的斜率，由此求得直線AB的方程，化簡后可得直線

AB過定點。

解法1：（1）如圖3，設M（xo，y），A（x，y），B（x2，y2），其中yo=.c一2，令過點M的切線方程為y一y=k（x-xo）（切線的斜率顯然是存在的），聯(lián)立方程（y-yo=k（x-xo），消x'=y，

去y整理得x-kx+k.co-y.=0，因為相切關系，所以△=k"-4（kco-yo）=0，化簡得k'-4kc.+4y。=0，令兩條切線的斜率分別為k和kz，則k，k，是方程k-4kx。+4y。=0的兩個不相等的實數(shù)根，則

評注：本題以直線和拋物線的位置關系為知識背景，考查直線過定點問題，考查化歸與轉化的數(shù)學思想方法，屬于中檔題。本題的兩個解法都體現(xiàn)了解析法的“運算本質”，其主要的區(qū)別就在于：解法1是從動點M開始設參，用判別式△=0表示相切，符合題意原本的描述順序，較常規(guī)些;解法2是打破題意描述從兩切點A，B開始設參，利用導數(shù)求切線斜率進而展開推導。因此，兩解法可以說“殊途而同歸”。本題的數(shù)學模型為“阿基米德三角形”，它蘊含著相切的“同構”內涵，也充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想方法，這是近些年全國高考中的一個熱點問題。

例4已知橢圓C人

b》0）的右焦點為F（1，0），且點p（1.號）在橢圓C上。

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）若P.P，是橢圓C+3y2-=1上

不同的兩點，PP2上x軸，圓E過P，P2，且橢圓C：上任意一點都不在圓E內，則稱圓E為橢圓C。的一個內切圓。試問：橢圓C;內是否存在過左焦點F的內切圓？若存在，求出圓心E的坐標;若不存在，請說明理由。

分析：（1）根據(jù)題意列出方程即可。（2）思路1：準確理解“內切圓”的新定義，將圓與橢圓的“內切”關系轉化為兩點間距離的最小值，設變量，列出方程組，計算并進一步判斷是否存在這樣的“內切圓”;思路2：聯(lián)立圓與橢圓方程，獲得一個二元二次方程組，利用數(shù)形結合的思想方法，通過求解方程組來判斷幾何問題。

解：（1）由題意可知c=1，所以a'=6*+1，而點p（1.號）在橢圓C上，所以+;462=1，解得a=2，6=/3，所以橢圓C的標準性，不妨設P（xo，yo），Pz（xo，-yo），由題意知，點E在x軸上，設點E（l，0），則圓E的標準方程為（x-l）'+y'=（xo-l）'+y'，根據(jù)題中橢圓的內切圓的定義知，橢圓上的點到點E的距離的最小值是|PE|，設M（x，y）是橢圓C，上任意一點，則十y=1，即

（其他過程同解法1）

評注：本題考查橢圓的標準方程、韋達定理及圓的簡單性質，熟練掌握橢圓的基本性質是解題的關鍵。當圓與橢圓相交或相切時，可轉化為距離關系，亦可直接聯(lián)立方程求解。判斷結論“存在與否”的依據(jù)，就是方程組的解的問題，若方程組有解則“存在”，若方程組無解則“不存在”，但還需結合題意舍去增根。

對于探索性問題的解答，考生需要熟練掌握圓錐曲線的基本概念和基本解題方法并掌握一定的解題技巧，同時，還需要具有較強的運算能力和邏輯推理能力。因此，我們在面向高考的二輪復習中，需再一次全面排查知識盲區(qū)，查漏補缺，進一步厘清知識框架和基本思想方法，凝練解題思路和解題策略，掌握通性通法，做到全方位地理解并運用知識，提升解題能力。

（責任編輯王福華）