聯想策略下解析幾何中角的問題處理

陳俊峰

解析幾何是高考的熱點和難點，角的問題是其中的重點內容之一，這類問題涉及知識點多，具有較強的靈活性和綜合性，這就要求同學們在思考問題時能通過聯想，建立知識之間的聯系，并能充分依據條件，合理選擇方法。

所謂聯想，就是看到一個問題，想到與該問題相關的數學知識。聯想到的知識越多，解決問題的可能性越大。本文嘗試采用聯想的策略對解析幾何中角的問題處理做一些歸納整理，為這類題型的新高考備考提供一點參考。

一、由角聯想到三角形內角，借助解三角形求解，體現知識交匯

解析幾何中研究角的問題，可以把該角置于三角形中進行研究，特別是當三角形具備一些邊角條件時，通過解三角形的方法進一步構建角和邊的關系，從而解決問題。

例1（2020年山東模擬）已知橢圓

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）設直線l：c=-2，過點F2的直線交

橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線分

別交直線l，直線AB于M，N兩點，如圖1，當CMAN最小時，求直線AB的方程。

解析：（1）設橢圓的左焦點為F（-c，

（2）由題意知，直線AB的斜率存在，且不為零，于是可設直線AB的方程為x=

所以直線AB的方程為x+y-1=0或x一y一1=0。

點評：本題通過解Rt△AMN來研究CMAN的最值問題，選擇恰當的三角函數是關鍵，在Rt△AMN中，邊AM，AN的長度較易求解，所以選擇△MAN的正切函數最為合理。解三角形的常見方法還有：正弦定理、余弦定理、面積法等。角的最值問題常常與函數、不等式等相結合，體現了知識的交匯，具有較強的綜合性。

二、由角聯想到向量夾角，借助向量工具求解，突出轉化思想向量是聯系數和形的有力紐帶，能用坐標刻畫，使得向量成為解析幾何中研究幾何問題的重要工具。角是有公共端點的兩條射線組成的圖形，若用直線的方向向量來表示角的兩邊方向，角的問題就轉化為向量夾角問題，借助向量數量積的坐標運算成為解題的關鍵。

例2（2020年江西模擬）已知拋物線C：y'=4x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，D為線段AB的中點。

解析：（1）由題意得F（1，0），設直線l的方程為x=ty+1。

所以直線l的方程為

綜上所述，的取值范圍為

點評：本題把角的問題轉化為向量夾角問題，把向量夾角為銳（直、鈍）角的問題轉化為向量數量積的符號問題，用坐標表示數量積，問題可簡便地轉化為不等式問題。整個過程突出轉化思想，充分體現向量的工具作用。需要注意的是：解題過程中的xp?≠1，體現了轉化的等價性，同學們應當引起重視。

三、由角聯想到直線的傾斜角，借助斜率求解，彰顯解析幾何的本質

斜率是解析幾何中刻畫角的重要工具，若相關的角的頂點在x軸上，通過合理聯想，將相關的角轉換為直線的傾斜角，充分利用斜率的橋梁作用，建立起角與坐標的關系，彰顯解析幾何的本質。

例3（2020年廣東模擬）已知橢圓

點評：本題中的AMB雖然不是傾斜角，但與其相關的匕MAB，CMBA分別為直線AM，BM的傾斜角（或傾斜角的補角），借助斜率刻畫【MAB，CMBA，則需在△AMB中選擇CAMB的正切函數進行運算。相比角的其他研究方法，利用斜率來計算角的大小，其優點在于計算量相對小，但需認真推敲轉化的可行性，即相關的角必須是傾斜角或很容易與傾斜角建立聯系的角。

解析幾何是高考的高頻考點之一，通過問題的解決，可以提升數據分析、數學運算、邏輯推理等核心素養。處理解析幾何中角的問題，只需緊扣條件，從形和數兩個角度展開聯想，合理轉化，問題便可得到解決。最后，針對解析幾何的學習，給同學們提兩點建議：一是多多聯想，能促進知識的融會貫通和方法的遷移，發展思維的廣闊性和深刻性;二是養成良好的運算習慣，厘清算理，優化算法，細心運算。

（責任編輯王福華）