圓錐曲線中的定點、定值問題易錯點分析

2021-07-25 11:33:41周東賢

中學生數理化·高三版 2021年4期

周東賢

定點與定值問題一直都是圓錐曲線中的高頻考點，在近幾年的高考中層出不窮。圓錐曲線的有關定點、定值等綜合性問題涉及圓錐曲線的定義、幾何性質、直線與圓錐曲線的位置關系等知識，同時又與函數、不等式、方程、平面向量等代數知識緊密聯系。

從2020年的高考試題來看，圓錐曲線中的定點、定值問題難度較大，分值一般在12～17分，主要考查的核心素養是數學運算、直觀想象、邏輯推理等。

求解該類問題，需要有較強的代數運算能力和圖形識別能力，要能準確地進行數與形的語言轉換和運算，合理猜想并仔細推理論證，對熟練運用所學知識分析問題、解決問題的能力要求較高，絕大部分同學對此類問題望而生畏。要解決它，需要同學們有扎實的基本功和較強的運算能力，以及不急不躁的應試心理狀態。難度雖大，但大部分的方法都體現了解析幾何的通性通法，以及運算技巧與基本功。

在第二輪復習中，我們要認真總結解題規律和方法，同時也針對同學們在做題中易錯的地方進行歸納，避免在以后的解題中出現無謂的失分。

易錯點1：設直線方程時，沒有考慮斜率不存在的情況

例1已知橢圓C：2人.

=1（a>b>62

0）過點P（2，1），A，A。分別是橢圓C的左頂點和右頂點，且直線PA，與直線PA，的

（1）求橢圓C的標準方程。

（2）設不過點P的直線l與橢圓C相交

于M，N兩點，若直線PM與直線PN的斜率之積為1，試問：直線l是否過定點？若過定點，求出定點的坐標;若不過定點，請說明理由。

錯解：（1）由題意易知A，A，的坐標分

當2k+6-1=0時，直線l的方程為y=kx-2k+1，過定點（2，1）;

當6k+b+3=0時，直線l的方程為y=kx-6k-3，過定點（6，-3）。

綜上可知，直線l過定點，定點為（6，-3），或（2，1）。

易錯點分析：（1）當我們求出k和m的關系時，別忘了判斷此時判別式是否大于0！這是直線l與橢圓C相交于A，B兩點的前提，若漏寫，則是要扣分的。（2）解決圓錐曲線中的定點與定值問題時，注意對相關直線的斜率進行討論，設直線方程時，一定要考慮斜率不存在的情況，可單獨提前考慮。（3）對定點的位置要進行檢驗，防止出現不滿足題意的定點。

正解：（1）由題意易知A，A，的坐標分

點睛：本題考查了利用韋達定理解決圓錐曲線問題，計算量較大，屬于難題。本題有兩個關鍵點：（1）韋達定理的應用，韋達定理是聯系各個變量之間的橋梁，是解決直線和圓錐曲線位置關系的最重要的方法，體現了轉化思想;（2）計算能力和計算技巧，在解決圓錐曲線問題時，計算能力和計算技巧至關重要。

易錯點2使用韋達定理時，需要驗證判別式是否大于0

例2已知橢圓c.+興=1（a>

的離心率為寸，直線y=x+/6與以原點為圓心，以橢圓C的短半軸長為半徑的圓相切。

（1）求橢圓C的標準方程;

（2）若直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A，B兩點（A，B不是左右頂點），且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點，求證：直線l過定點，并求出定點的坐標。

易錯點分析：（1）當我們求得k和m的關系時，別忘了判斷此時判別式是否大于0。即3+4k'-m'》0是否成立，這是直線l與橢圓C相交于A，B兩點的前提，若漏寫，則是要被扣分的。（2）求出定點坐標時，需要對定點坐標進行檢驗，看看是否符合題意。如本題中當直線l過定點（2，0）時，剛好過右頂點（2，0），不符合題意，應該舍去。

綜上可知，直線l過定點，且該定點的坐標為（號，0）。

易錯點3：不會利用圓錐曲線的幾何性質（對稱性）簡化運算，導致解不出來

例了在平面直角坐標系中，動點M到點F（2，0）的距離和到直線x=的距離的比是常數5。

（1）求動點M的軌跡方程。

（2）若過點F作與坐標軸不垂直的直線l交動點M的軌跡于A，B兩點，設點A關于x軸的對稱點為P，當直線l繞著點F轉動時，試探究：是否存在定點Q，使得B，P，Q三點共線？若存在，求出定點Q的坐標;若不存在，請說明理由。

分析：（1）設動點M的坐標為（x，y），由（x-2）+y_2/5-化簡可得結果;（2）聯立直線l與橢圓方程，根據韋達定理得?十xzxxp，由橢圓的對稱性知，若存在定點Q，則點Q必在r軸上，設Q（1，0），根據PB//PQ列式，結合x+xx可求出1=之動點M的軌跡方程為號+y*=1.

（2）由題知F（2，0），且直線l的斜率存在，設為k，則直線l的方程為y=k（x-2）。

假設存在定點Q（l，s），使得P，B，Q三點共線，則PB//PQ且P（x，-y）。

又因為PB=（x;-xyz+y），PQ=（t-x，yi-s），所以（x2-x）（y1-s）=（y2+y）（t-x），即（xz-x【k（x-2）-s】=k（x+x;-4）（1-x），化簡得2xx：-（1+2）（x+x）-s（-x+x+4t=0。

此時這個式子沒有辦法用上韋達定理，陷入了麻煩中。

易錯點分析：由橢圓的對稱性知，橢圓既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，利用關于x軸對稱進行轉化，若存在定點Q，則點Q必在ε軸上，這是解題的關鍵。

正解：（1）設M（x，y），根據題意知