“橢圓的定義與標準方程”教學設計與反思

謝曉兵

一、基本情況

（一）學情分析

學生是中職模具專業二年級學生，該班為模具專業升學班，學生要進入高職院校繼續學習。數學知識方面已經學習了圓的定義與標準方程，掌握了求曲線方程的基本方法;專業方面學習了CAD軟件制圖，并能加工簡單工件，具有較強的動手能力。

（二）教材分析

數學是模具專業的一門公共基礎課程，本課選自高等教育出版社《數學拓展模塊》第2章第1節內容，授課題目為《橢圓的定義與標準方程》，用時2學時。前面已學習圓的定義與方程，后面要學習雙曲線和拋物線，具有承上啟下的作用。

1.教學目標

（1）理解橢圓的定義、標準方程;

（2）能根據條件求參數a、b、c的值。

2.教學重點

理解橢圓的定義;掌握兩類橢圓標準方程。

3.教學難點

橢圓標準方程的推導過程。

二、教學過程

（一）課前準備

通過藍墨云班課平臺發布四個課前任務。

任務一：觀看小視頻“裝修師傅的煩惱”。此視頻是一個真實案例，講述一個木工師傅做橢圓形天花吊頂的煩惱，視頻最后提出問題——你能幫裝修師傅解決他的煩惱嗎？從而激發學生的學習興趣。

任務二：觀看微課《兩釘一線法繪制橢圓》。通過微課的學習，初探橢圓定義，并嘗試解決裝修師傅的煩惱。

任務三：收集生活中有關橢圓的圖片。讓學生發現生活中的橢圓圖形，體驗數學與生活的聯系。

任務四：完成課前小測。主要是一些簡單的概念解析題，用于檢測學生課前預習的情況。如判斷題：到兩定點距離之和等于常數的點的集合叫作橢圓。許多學生選擇了“對”，并在討論區對答案提出了質疑。顯然，學生忽視了“距離之和小于定點間距離”這個條件，對概念的分析不夠全面。

（二）課堂實施

1.情境導入（如圖1、圖2）。通過播放衛星繞地球飛行的視頻引出課題，并展示學生收集的生活中的橢圓圖片，及時表彰學生善于觀察的好習慣。演示平面截圓錐的flash動畫（如圖3），解釋“圓錐曲線”這一概念。

圖1

圖2

圖3

2.合作探究。（共分四個環節）

（1）“探”定義。兩釘一線畫圖小實驗，實驗中各小組利用圖釘和細線，按照規定（橢圓定義）畫圖，通過實驗發現畫出的圖形為橢圓。

進一步分析畫圖過程，觀察繩長與兩釘間距離的關系。三角形兩邊之和大于第三邊分析得到“繩長大于兩釘距離”。此處很好地解釋了學生在課前測試中橢圓定義忽略了“大于兩定點距離F₁F₂”這一條件。通過學生動手實驗，學生自行建構橢圓定義。

進而總結出橢圓完整定義，并引出焦點、焦距的概念。通過實驗探究，提問引導，層層遞進，使學生深刻理解橢圓定義，及2a>2c這一關鍵條件。

（2）“推”方程。結合學生畫出的橢圓圖形，教師指出建立直角坐標系的方法。并通過建、設、寫、列、化五步法推導橢圓方程，利用兩點間的距離公式列出方程，通過化簡運算得到橢圓方程為a²/a²+y²/a²-c²=1，通過設a²-c²=b²，從而將方程化為標準方程x²/a²+y²/b²=1。

（3）“析”參數。學生對參數b與a、c關系存在疑問。帶著疑問，教師通過構建直角三角形的動態演示，用勾股定理驗證參數關系，并得到參數a最大這一重要結論。

（4）“定”口訣。教師引導學生觀察焦點在x軸上橢圓方程，共同歸納方程特征為“左邊加來右邊1，大是a來小是b”。

教師提問，焦點在y軸上的方程又如何呢？

通過小組討論，有學生提出將剛才畫的橢圓旋轉90度，就得到了焦點在y軸上的橢圓，也有學生提出把x和y位置互換即可得到焦點在y軸的橢圓方程。

教師對學生的大膽猜想給予充分的肯定，引導學生進行類比學習，結合圖形，強調y軸上的橢圓焦點坐標寫法不同。

通過表格對比，從圖形、方程、焦點坐標等歸納相同點和不同點。師生共同歸納口訣：“標準方程要牢記，左邊加來右邊1，大是a來小是b，焦點與a永不離。”并將判定焦點所在軸的方法凝練成“大底定軸”四個字。口訣化的方法易學易懂，幫助學生快速掌握兩類橢圓的標準方程。

3.知識鞏固。本環節主要通過例題和練習來鞏固所學的新知，分三個環節。

（1）快問快答。已知方程求焦點所在軸及a、b的值。①x²/25+y²/16=1;②y²/9+x²/5=1。

說明：通過快問快答的形式，檢測學生判定焦點及參數a、b的掌握隋況，并強化“口訣”方法的運用。

（2）例題講解。例題1：已知橢圓的焦點在軸上，焦距為8，橢圓上的點到這兩個焦點的距離之和為10，求橢圓的標準方程。（根據已知條件求方程）

說明：此題重在考查學生對定義的理解，通過作圖演示，將距離之和轉化為2a，定點間距離轉化為2c，利用參數關系求出6的值，從而求出標準方程。

例題2：求下列橢圓的焦點和焦距。①x²/5+y²/4=1;②2x²+y²=16。

說明：兩道題分標準方程和非標準方程兩種情況，焦點在不同軸時，焦點坐標的寫法不同，學生容易出錯。為了解決這個易錯點，從簡單的標準方程入手，再到非標準方程，數形結合分析解決問題。

（3）練習提升。練習1采用拖拽游戲的形式，重在訓練學生判定焦點和求a、b、c的方法。教師通過平臺推送小游戲，學生利用手機進行操作，拖拽的形式如做游戲，極大提高學生的興趣。

練習2：求下列橢圓的焦點和焦距。①x²/25+y²/9=1;②7y²+9x²=63。

根據條件求焦點，學生需將答案規范寫在學案并拍照上傳至云平臺，學生代表利用一體機進行展示與講解。針對學生重思路分析，輕計算過程與規范表達的情況。引用華為故事，5G技術是復雜算法的突破，任何一個細小的錯誤都無法完成，激勵學生提高計算能力，養成嚴謹規范的做題習慣，適時進行思政教育。

4.在線小測。圍繞本課的重難點，設置了五道不同層次的在線測試題，教師通過藍墨云班課發布測試題，講解答題規則，借助平臺的即測即改功能，得到每個學生的準確答題情況，便于開展針對f生輔導。

5.實際應用。教師讓各組拿出生活中的橢圓形實物，用游標卡尺或直尺測量橢圓實物的尺寸，設計用“兩釘一線法”畫此橢圓圖形的方案。并將方案上傳至藍墨云班課平臺，小組代表現場分享。通過合作學習，將新知運用到解決實際問題中，通過應用提高知識的理解。

6.作業布置。設計了數學基礎作業和實踐拓展作業，適度分層分類，符合模具專業學生動手能力強的學習特點。

（三）課后提升

學生課后除了完成數學基礎作業，還學以致用，將學到的知識應用到模具專業的學習中。車標制作小組（如圖4）和畫橢圓形花壇小組（如圖5），都在深刻理解了橢圓定義的基礎上，能根據橢圓方程的參數關系熟練計算焦距、長軸和短軸長。

圖4

圖5

三、教學反思

（一）課前準備精準分析學情，優化教學設計

準確的學情分析，是做好教學設計的重要前提，只有充分了解學生的學情，才能設計適合學生的教學內容、教學活動、實施策略等。而學情的分析也要改變單一的知識方面的分析，要多方面分析。課前準備通過觀看問題視頻和繪制橢圓的微課，讓學生帶著問題去學習，更能激發學生的學習興趣。通過數學知識的測試發現學生存在的不足，進一步優化教學設計，教師也能帶著問題去教學，做到心中有數。

（二）課堂實施層層遞進探索，符合認知規律

課堂實施分為“情境導入、合作探究、知識鞏固、在線小測、實際應用、作業布置”六個環節，各環節相互聯系，層層遞進。注重學生對知識自主建構的過程，突出以學生為中心的教學思想。比如學生用兩釘一線法畫橢圓，通過畫圖過程的思考，自行建構橢圓的定義。橢圓方程的推導過程是難點，將推導過程分成“建、設、寫、列、化”五個步驟，也是從簡單到復雜，從學生熟悉的建坐標系，設動點，兩點間的距離公式等知識，逐漸到化簡等復雜的內容。為了得到橢圓兩種焦點的方程，先從焦點在x軸上的方程開始，通過探索定義、推導方程、解析參數、歸納口訣等步驟，逐步推進，比較透徹地學習了焦點在x軸上的橢圓定義和方程之后，再通過類比學習的方法，學習焦點在y軸上的橢圓的方程。這樣的設計符合學生的認知規律。

（三）課后拓展深度融合專業，提升核心素養

中職學生具有比較鮮明的專業特點，本課例中教學的對象為模具專業學生，而且是模具升學班的學生，他們的數學學習基礎和學習動力都明顯好于模具專業非升學班的學生。將數學知識應用到專業學習中，對數學知識的理解和掌握提出了更高的要求。本課課后提升的任務中有結合專業的應用題，小組學生通過測量豐田汽車車標中的橢圓尺寸，借助CAD制圖軟件進行設計，通過3D打印制作了一個豐田車標，這讓學生體會到學習數學的價值。中職數學新課標也指出：“中等職業學校數學課程是中等職業學校各專業學生必修的公共基礎課程，承載著落實立德樹人根本任務、發展素質教育的功能，具有基礎性、發展性、應用性和職業性等特點。”與專業學習融合，就體現了中職數學的職業性特點。