基于數學史實施深度學習

顧宇恒 蔡宏圣

【摘? ?要】深度學習是教師踐行立德樹人根本任務的重要實踐路徑。基于數學史實施深度學習，可以結合在數學教學中運用數學史的四種方式，更多地指向意義與動機，更多地進行知識間勾連，更多地突出思考過程，更多地進行探索再創造。

【關鍵詞】深度學習;數學史;策略

所謂深度學習，是指在教師引領下，學生圍繞具有挑戰性的學習主題，全身心積極參與、體驗成功、獲得發展的有意義的學習過程。黨的十八大明確提出“把立德樹人作為教育的根本任務”。為全面深化課程改革，落實“立德樹人”根本任務，自2014年9月起，教育部基礎教育課程教材發展中心組織專家團隊，著手研究將深度學習作為落實學生核心素養及各學科課程標準的實踐路徑。可見，深度學習的興起是時代發展的必然要求。

本文試圖從數學史與數學教育研究的視角，基于華東師范大學汪曉勤教授提出的“數學教學中運用數學史的四種方式”，對小學數學教學中如何更好地踐行深度學習提出建議。

一、附加式：超越歷史史實，更多地指向意義與動機

現行小學數學教科書中“你知道嗎”的安排，多為簡單地介紹一些數學史實，主要表現為“誰什么時候提出了什么數學成就”。如蘇教版教材一年級下冊第39頁這樣介紹：“第一個使用‘=的，是英國數學家雷科德。第一個使用‘>和‘<的，是英國數學家哈里奧特。”把這些史料用在課堂教學中，往往是數學史的附加式運用，即數學史沒有影響教師的教學設計，只不過在原有的教學設計以外再附加一個“超鏈接”。從深度學習的要義去審視，這些內容的教學需要超越數學史的史實，更多地在指向數學知識的意義與激發學生學習動機上做文章。因此，附加式運用要注意以下三點。

（一）適度加工

有教師在組織學生認識“小數的意義”時，介紹了我國古代著名數學家劉徽在這方面的成就，其中提到“劉徽在當時是世界上最杰出的數學家之一，他在開方不盡的問題中提出了‘求微數的思想，促進十進分數也就是小數的產生，而西方直到十四五世紀才出現十進分數，劉徽的成就比西方早了將近1000多年”。從數學史本身看，這個介紹沒有什么問題，但從學生的數學學習看，“開方”可能超越了大多數學生的認知范疇，給當前的學習帶來了不必要的注意力分散。所以，為了深度學習的數學史選用，需要進行適度的加工，在非關鍵的枝節處可以模糊些，從而讓學生的思考聚焦于當前學習的關鍵數學問題上。

（二）還原意義

學生第一次學習除法，教師在講解除號的歷史時，可以這樣介紹：“300多年前，瑞士數學家開始用符號‘÷來表示除。”也可以這樣介紹：“300多年前，瑞士數學家開始用符號‘÷來表示除，用一根橫線把兩個圓點分開，恰好表示平均分的意思。”看起來這兩種介紹方式差異不大，但實際上卻體現了兩種不同的價值取向。對深度學習來說，前一種介紹方式僅僅在形式化的層面上介紹“誰什么時候提出了什么數學成就”這樣的數學史實，意義不大。數學史述說了一個知識成為現在這個樣子的過程，教師要把其中有意義的部分挖掘出來，像后一種介紹方式那樣，把除號表示“平均分”這樣的意義挖出來并還原到形式化的數學史實里，可以更好地提升學生對相關內容的數學理解。

（三）激發動機

在網上輸入詞條“陳景潤”，就會出現這樣的故事：陳景潤高中時很快解決了老師提出的“韓信點兵”問題，沈元老師高興之際鼓勵道：你能獨立解答“韓信點兵”，不要停止思考，你能創造更大的奇跡，比如解決“哥德巴赫猜想”。于是，沈老師就講起了“哥德巴赫猜想”的故事，“哥德巴赫猜想”像磁石一般吸引著陳景潤。無獨有偶，最終證明費馬大定理的數學家安德魯·懷爾斯，10歲時就已經著迷于數學。懷爾斯這樣描述看到這個問題時的感受：“看上去如此簡單，但歷史上所有大數學家都未能解決它，這里正擺著一個我——一個10歲的孩子——能理解的問題，從那個時刻起，我知道我永遠不會放棄它，我必須解決它。”深度學習是全身心投入的學習，裹挾著情感投入產生內驅力的學習才是可持續發展的學習。數學史在這方面有著諸多優勢，教師可尋找并呈現著名數學家學生時代的故事，或者講述與數學知識發展相關的逸聞趣事，用數學內在的魅力去吸引和打動學生，將學生引入深度學習的大門。

二、復制式：超越列舉呈現，更多地進行知識間勾連

復制式運用是指教學中直接使用歷史上的經典名題與數學方法，構成教學內容的組成部分。例如教學《兩位數除以一位數》一課，教師首先出示意大利數學家帕喬利的名言：“一個人能把除法做好，那么其他的運算對他輕而易舉，因為加減乘都包含在除法運算當中。”引導學生將探究聚焦到除法上來。在隨后的學習過程中，教師鼓勵學生采用多種方法解決除法問題，還將歷史上出現過的除法算法如古埃及“加倍與減半”的方法（如圖1）、熱貝爾及其改進的方法（如圖2），讓學生感悟理解。上述的復制式，就是把數學史作為“課堂中一名額外的學生”去運用。

深度學習是指對學習內容進行深度思維加工的學習，它要求學生能夠抓住教學內容的本質屬性從而全面把握知識的內在聯系，而不是簡單地掌握孤立的知識點或記憶更多的事實性知識。依此要義審視上述的數學史運用，雖然呈現了歷史上除法計算的不同形式，展示了除法豎式的多樣性，開拓了學生思考除法豎式計算方法的眼界，但為了深度學習，更要抓住多樣方法背后的統一，組織不同方法之間的異同比較，在更為廣泛的層面上進行知識間的勾連，在更為一般的層面上提煉所學知識的本質屬性。比如，無論怎么去除，都是在設法求被除數里面有多少個除數。又比如，雖然呈現的除法豎式不同，但除的時候都是把被除數分解為幾個數，逐步去除，然后把各次得到的結果合并起來。

在歷史的長河里可以看到，統一性促進了數學分支之間的相互交流與共同發展，保證了數學的生命力，規范了數學的前進發展。數學發展的這種屬性投射到數學學習中，同樣需要在數學學習的某個階段引導學生建構起不同知識間的諸多勾連，從而在更為本質的層面上理解和把握所學知識。線段的長度、角的角度（弧度）、面積與體積，似乎毫無關系，但若從數學的統一性角度看，它們做的實際上是同一件事，都是度量。在不同知識間實現融會貫通，原先汗牛充棟的內容就統一為少數幾個核心概念或原理。知識不再是學習的目的，變成了養成素養的通道。所以，教學越統一，也就越深刻，離數學的核心素養、數學的本源就越近，就越符合深度學習的要義。

三、順應式：超越史料本身，更多地呈現思考過程

順應式運用是指將數學史料進行改編，以順應今日教學的需要。深度學習有著豐富的意義，要體現出深度學習的特質，讓學生真正地思考起來是重要前提。于此，教師需要做這樣兩個改變。

（一）讓學生思考后再介紹相關的數學史料

多個版本的小學數學教科書都介紹了陳景潤和哥德巴赫猜想，對這段數學史資料大多數教師的用法是附加式，即完成了教科書中的其他練習（這些練習和哥德巴赫猜想毫無關系）后，有時間多再讓學生讀讀有關陳景潤和哥德巴赫猜想的介紹。為了讓學生更好地深入其中，教師可以把附加式呈現改變為順應式呈現，也就是先呈現一些偶數，要求學生分解為兩個質數的和，并用歸納推理的方式提出自己的猜想，在此基礎上再介紹哥德巴赫猜想以及陳景潤的研究成果。以此類推，厄拉多塞篩法找質數，高斯求1～100各數之和等等，只要是學生能理解和思考的數學方法和數學結論，都可以讓學生先行嘗試和探索起來，然后再接觸相關的數學史料，這樣的安排顯然離深度學習更近。

（二）讓學生體會和領悟知識蘊含的思想方法

順應式運用需要教師改造數學史料為教學所用，因此特別考驗教師自身的認識水平和教學智慧。認識年、月、日，能用的史料特別多，凱撒、奧古斯都定歷法，閏年與平年的由來，年、月、日的天文學意義等等，雖然這些內容在一定意義上可以促進學生對年、月、日各個事實性知識的理解，但并沒有觸及知識更為本質的屬性。年、月、日的天文學意義客觀存在，但回到歷史的源頭，人類的先祖是沒有這些時間概念的，時間對于人類來說是延綿不絕、混沌不清、不可刻畫的。人類到底是如何厘定年、月、日這三個時間單位的？把這揭示出來，可以讓學生體會和感悟概念是怎么建立的，觸及人是如何通過思考建立知識的。太陽的升起和降落帶來的直觀感受是白天與黑夜的更替……白天，黑夜，白天，黑夜，白天，黑夜……人類的先祖在觀察中發現，可以把一個白天和一個黑夜合并起來作為一個周期去考察比較，而且這個周期不斷地重復更替。由此及彼，同樣可以把月的陰晴圓缺、氣候的春夏秋冬作為一個周期去考察時間，并且這個周期同樣也在不斷地重復更替，由此形成了日、月、年的認識。整個過程可以概括為嘗試分割、比較驗證（是否重復更替）、形成認識的過程，這個過程和數學認知中的提出猜想、證明驗證、形成結論的過程并無不同。“刻畫時間是人類迄今為止構建的最為重要的數學模型，其效能幾乎可以與火的使用、與文字的發明、與自然數的發明相媲美。”教學至此，學生在課堂中的積淀超越了知識本身，感受到了數學知識（數學模型）是怎么形成的，深度學習成了自然而然的事情。

四、重構式：超越數學結論，更多地進行探索再創造

數學史料直接用在課堂中，總有不妥當的時候，重構式運用，讓數學史成為教學推進的內在依托、厚實背景，但這需要教者首先站在歷史的高度，理清數學知識的來龍去脈、數學思想的演進走向，把握住所教內容的知性本質。然后設計情境引導學生經歷知識產生、發展的過程，在人類認識提升的關鍵節點上給予學生充分的時間和空間，讓他們運用已有的積淀去再創造知識，在這個過程中生成的必然是深度的數學理解。

例如認識“小數的意義”，教師首先組織學生利用元角分、長度單位間的關系，理解0.2元、0.2米的意義，抽象把握0.2的意義。接著，教師拿出計數單位最小是“個”的計數器，請學生嘗試撥出0.2來。在這一情境中，學生所面臨的挑戰和歷史上荷蘭工程師斯蒂文創造小數的思維過程是一脈相承的。人類先祖最早認識的計數單位是“個（一）”，以此單位為原點，左移就是不斷“進十”，依次得到比“個”大的計數單位。原先以為“個”在計數法中是最小的單位了，而現在要撥的0.2顯然說明，應該還有比“個（一）”更小的計數單位，那只有以“個（一）”為原點右移，也就是不斷地“退十”。由此，學生的認識完成了突圍，創造了小數計數方法，溝通了十進制計數法和小數意義、分數意義之間的聯系，整數、小數、分數通過十進位值原理、數的數（shǔ）數（shù）本質實現了統一。

雖然數學史的重構式運用天然的具有深度學習的性質，但也需要注意以下三點。

（一）感受再創造的必要

為了使學習者生成“積極的內在學習動機”，讓知識的再創造不再成為教師命令下的無奈所為，教學中教師要把學生帶到原有認知的邊界處。如上述案例中，學生潛意識中認為“個”是最小的計數單位，但0.2又沒有資格撥在個位上，這讓他們清晰地感受到沒有新的知識或新的辦法解決不了眼前的問題，學生在后續的探索思考中才可能“全身心投入”。

（二）設計一個好的問題

“好問題”往往具有以下特點：其一，起點低，大家都可以進行思考。其二，是非操練性的，具有挑戰性。其三，問題空間適中。問題空間太小就沒有深度思考的余地，太大又會令學生無從想起。計數器上撥個數，所有學生都能操作，而且一邊撥一邊調動以往所學去判斷這個是0.2嗎。0.2應該撥在個位的右邊，也是學生能夠利用以往的計數法知識推理出來的。

（三）注重數學化的過程

課堂情境中的再創造有著特定的時間限制，所以特別需要厘清什么才是更為重要的，最值得花時間的。當學生在情境中清楚了0.2應該撥在個位的右邊，這一位的計數單位是個（一）“退十”得到的。而新的計數單位到底是什么名稱等知識外在形式化的部分，學生即使沒有經歷猜測直接從老師處得到，也不會影響深度學習的性質。所以，就知識的再創造來說，能把握住新知識的本質才更為關鍵。要設法讓學生經歷符號化的過程，而不是知道符號本身;要設法讓學生經歷定義化的過程，而不是了解定義本身……總之，重要的是充分經歷再創造的過程，把握住新知識的內核本質，而不是最終結論具體的表達、稱謂、寫法等外在形式化的部分。

深度學習旨在促進人的整體發展。數學史是數學學科促進人的全面發展的另一種表達。兩者在本源上是一致的，所以，小學數學的深度學習需要依據數學史提供資源與路徑的支撐，數學史在數學教育中的運用，也需要深度學習錨定方向與目標。

參考文獻：

[1]汪曉勤.HPM視角下的小學數學教學[J].小學數學教師，2017（7/8）：77-83.

[2]馬云鵬，吳正憲.深度學習：走向核心素養（學科教學指南·小學數學）[M].北京：教育科學出版社，2019：1.

[3]郭華.深度學習及其意義[J].課程·教材·教法，2016（11）：25-32.

（1.江蘇省蘇州市善耕實驗小學校? ?2150312.江蘇省蘇州市姑蘇區教師發展中心? ?215031）