基于不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分的決策方法研究

王紅娟

(內(nèi)江師范學(xué)院，四川 內(nèi)江 641100)

1 引言

決策方法是經(jīng)過專家對(duì)方案的屬性進(jìn)行評(píng)價(jià)然后通過聚合算子聚合決策信息最終從有限個(gè)方案里選出最優(yōu)方案的過程，近年來受到越來越多的關(guān)注[1～3]。企業(yè)可以通過決策方法從幾家供應(yīng)商中選最好的一家。因?yàn)闆Q策問題的模糊性，專家難以通過一個(gè)精確的數(shù)來刻畫決策問題的不確定性。因此，模糊集是一個(gè)很好的選擇，直覺模糊集被提出[4]。Atanassov等[5]介紹了區(qū)間直覺模糊集，通過隸屬度和非隸屬度來描述滿意度和不滿意度，它比直覺模糊集能夠更好地刻畫決策問題的模糊性，因?yàn)閷＜覍?duì)屬性評(píng)價(jià)的滿意度和不滿意度是用區(qū)間來表示。因此區(qū)間直覺模糊集受到許多學(xué)者的關(guān)注[6，7]。

在實(shí)際決策問題中，等級(jí)值可以用其他種類的變量，比如語(yǔ)言變量。語(yǔ)言表達(dá)要更符合專家的評(píng)價(jià)考慮并且更容易提供比直覺模糊集，比如專家要評(píng)價(jià)某種用品的質(zhì)量，可以直接給出一些語(yǔ)言術(shù)語(yǔ)，如“好”“中等”“差”來表示評(píng)估值。Zadeh[8～10]提出了語(yǔ)言變量的定義并且提出了決策方法基于語(yǔ)言變量。Chen等[11]將直覺模糊集推廣到了語(yǔ)言直覺模糊集，它的隸屬度和非隸屬度都是語(yǔ)言變量。 為了進(jìn)一步提高語(yǔ)言直覺模糊集的描述性，Garg等[12]介紹了語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊集，隸屬度和非隸屬度用語(yǔ)言變量的區(qū)間來表示。許多學(xué)者提出了關(guān)于語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊集的算子，Qin等[13]介紹了語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Archimedean power Muirhead均值(LIVIFAPMM)和語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Archimedean 加權(quán)power Muirhead均值(LIVIFAWPMM)。為了更好地描述決策問題中的不確定性，Xu[14]介紹了不確定語(yǔ)言變量的定義。此后，在不確定語(yǔ)言環(huán)境之下多屬性決策方法受到了廣泛關(guān)注并且得到了不同的語(yǔ)言集，如畢達(dá)哥拉斯不確定集[15]，區(qū)間畢達(dá)哥拉斯不確定集[16]。

聚合算子對(duì)決策方法是一種非常有用和重要的工具。Choquet積分在決策問題中是聚合決策信息非常有用的工具，可以考慮決策問題中屬性的重要性和屬性間的關(guān)聯(lián)通過模糊測(cè)度。因此，Choquet積分在模糊環(huán)境中應(yīng)用非常廣泛[17，18]。

根據(jù)語(yǔ)言區(qū)直覺模糊，為了能夠更好地刻畫決策問題的不確定性和模糊性，屬性的重要性和相互關(guān)聯(lián)，本文提出不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均(ULIVIFCA)算子和不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何(ULIVIFCG)算子。

本文主要由以下幾部分構(gòu)成： 首先給出基本概念，如區(qū)間直覺模糊集、不確定變量、模糊測(cè)度和Choquet積分等的概念； 然后給出不確定區(qū)間直覺模糊集的定義和比較不確定區(qū)間直覺模糊數(shù)大小的方法；其次給出ULIVIFCA和ULIVIFCG，且分別介紹這兩個(gè)算子的性質(zhì)；再次介紹了一個(gè)多屬性群決策方法基于ULIVIFCA和ULIVIFCG在不確定區(qū)間直覺模糊的環(huán)境中，并且運(yùn)用介紹的方法在實(shí)例中，最終選出一個(gè)最優(yōu)的方案且說明介紹的方法的實(shí)用性。

2 基礎(chǔ)知識(shí)

2.1 區(qū)間直覺模糊集和不確定變量

定義1[6]假設(shè)Χ是一個(gè)給定的集合，則區(qū)間直覺模糊集定義為：

y={〈x,[ζL(x),ζU(x)],[?L(x),?U(x)]〉|x∈Χ}

其中[ζL(x),ζU(x)]?[0,1],[?L(x),?U(x)]?[0,1]滿足0≤ζU(x)+?U(x)≤1。

假設(shè)S={st|t=0，…,l}是一個(gè)基數(shù)為基數(shù)的語(yǔ)言項(xiàng)集，其中st表示語(yǔ)言變量的可能值。例如下面集合:

S={s0=很差，s1=比較差，s2=中等，s3=比較好，s4=很好}。

語(yǔ)言集滿足下面的特征：

(1)sk≥st當(dāng)且僅當(dāng)k≥t；

(2)否定算子：neg(sk)=st使得t=1-k;

(3)最大算子：max(sk,st)=sk，如果sk≥st;

(4)最小算子：min(sk,st)=sk，如果sk≤st。

2.2 模糊測(cè)度和Choquet積分

Sugeno[20]介紹了模糊測(cè)度，Choquet積分可以來表示決策屬性的重要性通過模糊測(cè)度。下面將介紹模糊測(cè)度和Choquet積分。

定義3[20]如果Χ是一個(gè)給定集合，P(Χ)是Χ的冪集， 函數(shù)χ:P(Χ)→[0,1]叫做Χ上的模糊測(cè)度，滿足兩個(gè)條件：

(1)χ(Φ)=0,χ(Χ)=1;

(2)滿足ε,F∈P(Χ)和ε?F,則χ(ε)≤χ(F)。

Sugeno[20]定義了κ模糊測(cè)度， 因?yàn)橛蒙厦娑x難以計(jì)算模糊測(cè)度。

χ(ε∪F)=χ(ε)+χ(F)+κχ(ε)χ(F),

其中ε∩F=Φ參數(shù)κ∈[-1,+∞]表示元素之間的關(guān)聯(lián)。

如果Χ是有限的，則κ-模糊測(cè)度滿足：

此外，對(duì)于任意ε∈P(Χ),有

設(shè)Χ是一個(gè)有限集合，元素xt(1≤t≤m)滿足0<χ(xt)<1,則存在唯一的κ∈(-1,∞),κ≠0滿足(3)[21]。

定義4[22]設(shè)Χ是一個(gè)給定集合,函數(shù)y:Χ→R+，χ是Χ上的模糊測(cè)度，Choquet積分為：

其中(1),…,(n)為(1,…,n)的一個(gè)排列滿足y(x(n))≥…≥y(x(1)),

Ψ(t)={x(t),x(t+1),…,x(n)},并且Ψ(n+1)=Φ。

3 不確定語(yǔ)言區(qū)間直接模糊集

下面將給出不確定語(yǔ)言區(qū)間直接模糊集的概念。

定義5 假設(shè)Χ是一個(gè)給定的集合，Χ上的不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊集X表示為：

X={〈x,[sζL(x),SζU(x)],[s?L(x),S?U(x)]〉x∈Χ},

下面介紹不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)的運(yùn)算，?=([se,sf],[sg,sh]),

?1=([se1,sf1],[sg1,sh1]),

?2=([se2,sf2],[sg2,sh2]),：

t>0,

t>0,

設(shè)?1=([se1,sf1],[sg1,sh1])，

?2=([se2,sf2],[sg2,sh2])則

4 不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分

下面介紹不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均(ULIVIFCA)和不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何(ULIVIFCG)。

定義6 設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)， 如果

ULIVIFCA(?1,…,?m)=

則稱ULIVIFCA為不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均算子。

例1 設(shè)?1=([s3,s4],[s2,s3])，?2=([s4,s5],[s3,s3])和?1=([s3,s5],[s2,s2]),

下面是ULIVIFCA的幾個(gè)性質(zhì)：

(1)冪等性:對(duì)于任意的t，如果?t=?，則ULIVIFCA(?1,…,?m)=?。

(2)有界性:設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)，則min{?1,…,?m}≤ULIVIFCA(?1,…,?m)≤max{?1,…,?m}。

定義7 設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)， 如果

ULIVIFCA(?1,…,?m)=

則稱ULIVIFCG為不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何算子。

例2 設(shè)?1=([s3,s4],[s2,s3])，?2=([s4,s5],[s3,s3])和?1=([s3,s5],[s2,s2]),

下面是ULIVIFCG的幾個(gè)性質(zhì)：

(1)冪等性: 對(duì)于任意的t，如果?t=?，則ULIVIFCA(?1,…,?m)=?。

(2)有界性:設(shè)?t=([set,sft],[sgt,sht])(t=1,…,m)，則min{?1,…,?m}≤ULIVIFCA(?1,…,?m)≤max{?1,…,?m}。

5 決策方法

群決策方法是從幾種方案里選最優(yōu)方案，下面介紹一種新的多屬性群決策方法。首先介紹多屬性群決策方法的模型。

步驟2：分別建立專家和屬性集的模糊測(cè)度；

步驟3：對(duì)矩陣?yán)锏牟淮_定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟5：對(duì)矩陣Λ=(?qt)a×m里的不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟6：分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG對(duì)Λ=(?qt)a×m進(jìn)行聚合，得到?q=(q=1,…,a)；

步驟7：計(jì)算得分值和精確值, 選出最優(yōu)方案。

例：某企業(yè)為了更高效地生產(chǎn)產(chǎn)品，根據(jù)專家的評(píng)價(jià)要從Α1,Α2,Α3這3家供應(yīng)商里選一家來提供原材料，三位專家Β1,Β2,Β3對(duì)這3家供應(yīng)商的原材料成本(С1)、原材料質(zhì)量(С2)和風(fēng)險(xiǎn)因素(С3)用不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)?=([se,sf],[sg,sh])進(jìn)行評(píng)價(jià)[se,sf],[sg,sh]?[s0,s8]，專家對(duì)三家供應(yīng)商的評(píng)價(jià)結(jié)果，如表1。

表1 矩陣

步驟1：分別建立專家和屬性集的模糊測(cè)度；

令χ({Β1})=0.4,χ({Β2})=0.35,χ({Β3})

=0.35,則

Χ({Β1,Β2})=0.71,Χ({Β1,Β3})=0.71,Χ({Β2,Β3})=0.67,Χ({Β1,Β2,Β3})=1;

令χ({С1})=0.3,χ({С2})=0.3,χ({С3})

=0.35,則

χ({С1,С2})=0.61,χ({С1,С3})=0.67,

χ({С2,С3})=0.67,χ({С1,С2,С3})=1。

步驟2：對(duì)矩陣?yán)锏牟淮_定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟3： 分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG對(duì)排序后的不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行聚合，得到矩陣Λ=(?qt)a×m，表2、3；

步驟4：對(duì)矩陣Λ=(?qt)a×m里的不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行排序；

步驟5：分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG對(duì)排序后的不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)進(jìn)行聚合，得到?q(q=1,…,3)；

?1=([s3.446,s4.267],[s1.404,s2.337]),

?2=([s3.111,s4.638],[s1.255,s2.475]),

?3=([s3.377,s4.779],[s1.807,s2.610]);

?1=([s3.280,s4.171],[s1.482,s2.459]),

?2=([s2.876,s4.523],[s1.312,s2.542]),

?3=([s3.072,s4.657],[s2.035,s2.774])。

表2 矩陣(ULIVIFCA)

表3 矩陣(ULIVIFCA)

對(duì)上面結(jié)果分別計(jì)算得分值：

S(?1)=1.987,S(?2)=2.010,S(?3)=1.869;

S(?1)=1.755;S(?2)=1.773,S(?3)=1.460。

分別用ULIVIFCA和ULIVIFCG算子得到3家供應(yīng)商的排序都是Α3<Α1<Α2，可見Α2是最優(yōu)的一種方案，該企業(yè)可以和供應(yīng)商Α2合作提供原材料。在多屬性決策問題中，屬性之間存在關(guān)聯(lián)，通過集成Choquet積分和不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)，介紹的方法可以考慮屬性之間的關(guān)聯(lián)屬性的重要性通過模糊測(cè)度，并且不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)能夠很好地描述決策中的不確定性。

6 結(jié)語(yǔ)

本文首先介紹了不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)，根據(jù)不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)和Choquet積分介紹了不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分平均和不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊Choquet積分幾何，不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊集比語(yǔ)言集能更好的描述決策問題中的不確定性和模糊性，Choquet積分能夠刻畫屬性間的關(guān)聯(lián)和屬性的重要性通過模糊測(cè)度。并且介紹了比較不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)大小的方法，還介紹了ULIVIFCA和ULIVIFCG各自的冪等性和有界性。最后介紹了多屬性群決策方法并且應(yīng)用到供應(yīng)商的選擇中，最終選出最優(yōu)的一家供應(yīng)商， 此實(shí)例也說明所介紹的多屬性群決策方法的實(shí)用性。接下來的工作可以將不確定語(yǔ)言區(qū)間直覺模糊數(shù)和其他算子結(jié)合，語(yǔ)言變量要更容易提高評(píng)價(jià)值。