關于圓的有關內容教材編寫及二次開發研究（三）

劉慧

[摘 要]針對研究（二）中分析的教材編寫圓的面積探究活動存在的問題，提出了對教材中圓的面積進行二次開發的思路以及修改課程標準的建議，并結合教學實踐證明其可行性;給出了估計、猜測圓的面積之探究活動設計的建議，簡單介紹二次開發思路中蘊含的數學思想方法。

[關鍵詞]圓;面積;教材;二次開發

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0008-03

《關于圓的有關內容教材編寫及二次開發研究（二）》中分析探討了圓的面積的“畫—分—剪—拼”方法存在的諸多問題，說明了其不可行性。為了解決《關于圓的有關內容教材編寫及二次開發研究（二）》中提出的問題，也為了使學生更好地學習圓的面積，下面將提出對教材進行二次開發的建議并進行說明。

一、二次開發的建議

第一，編排圓的基本知識（圓心、半徑、直徑），以及圓的周長和其求法公式（含圓周率）。

第二，編排扇形的基本知識（頂點、圓心角、弧、弧長），及用弧長和半徑表示的扇形面積公式。

第三，編排圓的面積。關于圓的面積，可以先用方格紙或圓內接與外切正方（多邊）形進行估計，提出猜想;再用扇形面積公式推導圓的面積公式。當然，也可以不進行估計，直接轉化為用扇形面積公式推導圓的面積公式。

二、二次開發的建議說明

1.需解決的問題——修改課程標準有關內容

數學課程標準在“第二學段（4～6年級）”中關于扇形的有關內容：“5.通過觀察、操作，認識平行四邊形、梯形和圓，知道扇形，會用圓規畫圓。”這里也就是讓學生認識扇形這個圖形，及其定義和構成元素——頂點、圓心角、弧。而弧長的概念及求法，以及扇形的面積公式的內容出現在數學課程標準第三學段（7～9年級）“（7）會計算圓的弧長、扇形的面積”。可見，上述設計思路要得到落實，就有必要對課程標準進行修改。這也是浙教版和冀教版教材在推導圓的面積公式時，使用扇形面積公式，而沒有明確指出的原因，因其超越了第二學段的課程標準要求。因此要使上述設計思路得以實施，建議課程標準在第二學段（4～6年級）的有關內容做如下修改。

（1）在“二、圖形與幾何”中，將“（一）圖形的認識”部分之“5.通過觀察、操作，認識……圓，知道扇形……”（第12頁）中的“知道扇形”改為“簡單認識扇形”，意在增加“弧長”的概念。

（2）在“（二）測量”之“4.通過操作，了解圓的……解決簡單的實際問題。”后，添加“會計算一些圓心角為特殊角的扇形的弧長，掌握用弧長和半徑求扇形面積的公式，并能解決簡單的實際問題”。

這樣一來，設計思路中的第二條就可以符合課程標準的形式正大光明地出現了。前述浙教版和冀教版教材出現的“猶抱琵琶半遮面”“羞羞答答”的尷尬局面也可打破，為第三條“根據扇形面積公式推導圓的面積公式”鋪平了道路，可大大減少機械式的拼圖等不必要的麻煩。

2.修改課程標準有關內容的其他原因分析

首先，現行教材除北師大版教材只是出現扇形名稱外，其他教材都給出了扇形的定義及有關概念，且都（含北師大版教材）配備了一些計算特殊扇形周長和面積的練習題。如，浙教版教材第75頁（如圖1）、76頁（如圖2）有不少與扇形面積有關的問題;蘇教版教材第101頁（如圖3）的第14題和思考題都是求扇形面積的練習題;等等。蘇教版、冀教版、西師大版、青島版教材均把扇形內容的編排放在了圓的面積之前。故先學習扇形及其面積公式是有必要的。

其次，各教材在利用“畫—分—剪—拼”探究方法把圓轉化為已學過的圖形時，將圓形紙片等分后，青島版和北師大版教材就直接給出分成的小扇形，人教版教材則是分成近似的等腰三角形。這種情況下，就是不講扇形面積公式，而用三角形面積公式近似推導圓的面積公式，誤差更小，近似程度更高，學生也更好理解。而用分成的眾多小扇形拼成圖形，再將曲線取直轉化成平行四邊形、長方形等學生已學過的圖形，誤差大不說，還說是圓的面積公式，學生能信服？既然如此，何必先近似得出圓的面積公式，而后到初中再由圓的面積公式推導出扇形面積公式呢？

最后，先學習用半徑和弧長表示的扇形面積公式，學生好懂好理解。這是因為，當扇形的圓心角比較小時，扇形就和三角形很相似或接近，此時滲透類比方法，引導學生猜想扇形面積公式就很容易。按青島版教材的編排，在學生學習了扇形的有關知識后介紹弧長，然后給出一個圓心角比較小的扇形的弧長和半徑的長度，讓學生求其面積，結果在沒有任何提示的情況下，兩個班共90人中，有86人（占總人數的95.56%）用三角形面積公式求出了扇形的面積。這說明學生發現了扇形與三角形的相似性，很容易接受類比思想。另外，用相同的問題考查五年級已學過三角形面積的學生，甚至連扇形、弧、圓心角這些名詞都沒提，只是說明了表示弧的線有點彎曲，但弧上每一點與頂點的距離都相等，讓學生借助相似性類比已學內容解決問題。結果兩個班共112人中，有104人（占總人數的92.86%）用三角形面積公式求出了面積。這足以說明，教師可以根據學生的猜想直接指出“扇形的面積等于弧長與半徑的乘積除以2”，或將弧長看成近似三角形的底，用“底乘高除以2”表示。這種處理方式既體現了課程標準在第二學段“數學思考”中倡導的“在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”的要求，又實現了三角形面積公式與扇形面積公式的統一性，有利于學生記憶和活學活用。因此，先學習扇形面積公式是可行的。

學生學了扇形面積公式后再去推導圓的面積公式就順理成章了。可引導學生將圓分成（可等分也可不等分）幾個扇形，求出每個扇形的面積后再求其和即可推導圓的面積公式。這樣，既簡單好懂，又省去了比較困難和煩瑣的操作過程。

3.圓的面積估計與猜想的編寫建議

對于圓的面積，是否需要先用方格紙或圓內接與外切正方形進行估計，提出猜想，再推導出圓的面積公式呢？浙教版、蘇教版、西師大版教材編排了“估計—猜想—驗證”，目的應該是體現課程標準在第二學段的“二、圖形與幾何”中，“（二）測量”之“5.會用方格紙估計不規則圖形的面積“（第12頁），以及 “在觀察、實驗、猜想、驗證等活動中，發展合情推理能力”的要求。其實，課程標準并未明確要求在圓的面積部分體現，在其他內容中體現亦可，這也是其他教材都沒有此設計，而是直接推導圓的面積公式的原因。當然，若教材能夠滲透數學思想，體現科學發現的過程，對學生的發展還是有益的，但切忌機械式的操作計算。為此，提出以下建議：

以蘇教版教材（如圖4）和西師大版教材（如圖5）為例進行說明。由圖可見，兩個版本的教材都是先畫一個正方形，再以正方形的一個頂點為圓心，以正方形的邊長為半徑畫圓，然后用數方格的方法，數出四分之一圓的面積和正方形面積，進而得出圓的面積，最后計算出圓的面積是正方形面積的幾倍，得到3倍多一些的結論，至此，都未引導學生提出猜想。

可見，該設計不僅有機械操作計算的問題，還存在著思路顛倒的問題。因為這里是探討圓的面積問題，應該先畫圓，再引導學生考慮圓的大小是由半徑確定的，而度量面積的大小是用正方形做面積單位的，啟發學生考察圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形面積的幾倍。這樣，學生會作出相互垂直的直徑，然后作出邊長為圓的半徑的正方形，進而比較。這不僅能促進學生思考，建立知識間的聯系，更有利于學生思維與知識的拓展。如，在學生學習了圓的面積是相互垂直的兩條半徑構成的正方形面積的[π]倍后，教師給出相互垂直的長、短軸分別為2a、2b的橢圓，學生可以借助類比猜出橢圓的面積是以a、b為邊長的長方形面積的[π]倍（[π]ab）。這樣，既開闊了學生的思維，又體現了知識的活學活用。

用方格紙直接數出四分之一圓的面積有些困難，也不精確，很難提出猜想。對此，應讓學生通過數方格得出其范圍，再取平均值。這樣，不僅滲透了兩邊夾逼的原則（高等數學中的兩邊夾法則）和極限思想，也體現了平均數的應用，更重要的是，可得到較為精確的數值，既有利于學生提出猜想，還展現了科學探究要精益求精的精神。例如，對于圖4、圖5中半徑為4個單位長度的圖形，學生通過拼湊可數出四分之一圓的面積在12與13之間，平均值為12.5，從而計算出圓的面積約為正方形面積的3.125倍。而若按西師大版教材（如圖5）的“四分之一圓的面積是13”計算，得到的是3.25倍，誤差之大可見一斑。又如，半徑為5個單位長度的圖形中，可數出四分之一圓的面積在19.5與20之間，平均值為19.75，計算出圓的面積約為正方形面積的3.16倍。由此兩例，再引導學生聯系圓的周長與直徑的關系，學生便可猜出圓的面積是邊長為圓的半徑的正方形面積的[π]倍。然后，再指導學生將圓轉化為扇形便可較容易地推導出圓的面積公式。

綜上所述，無論是教材編寫，還是教學實踐，教師都必須考慮內容是否符合學生的認知水平，是否建立在學生已有知識的基礎上。尤其是為了展現新課改理念的探究活動的設計，必須考慮其可行性和啟發性。

【本文系“青藍項目：青島市教育學會 2018 年度教育研究項目——關于空間與圖形領域課堂探索活動編寫的比較研究（QES18E152）”研究成果之一。】

（責編 金 鈴）