強化內在本質 修復知識斷層

俞亞

[摘 要]“商不變規律”在有余數除法的應用中，對于余數的判斷常常是難點。尤其是當遇到“300÷11○600÷22”這類比大小的習題時，學生的困惑就尤為明顯：為何商一樣，余數不一樣，這兩個算式卻是相等的呢？要想突破這樣的認知困惑，教師就要從知識的內在本質入手，借助直觀手段，讓學生明白余數的意義及其與除數的關系，無痕修復知識斷層，最終破解教學難點。

[關鍵詞]商;余數;除法;策略

[中圖分類號] G623.5[文獻標識碼] A[文章編號] 1007-9068（2021）20-0023-02

在四年級上冊數學期末檢測后，有一道習題的批改引起了一位學生的不解：“老師，這道題計算后明明是‘27……6>‘27……3，怎么是“=”呢？

經他這樣一說，馬上又有學生說：“您不是說過，‘實在看不出誰大誰小時，算一算不就知道了嘛。可算出來明明不一樣，為什么填‘=卻是對的？”

填“=”的學生站起來說：“左邊式子的被除數和除數同時乘2，商不變，所以是等于……”

“不對！商雖然不變，但是余數變了，所以是不相等的。”在反對聲中，原本認為相等的學生也開始動搖——雖然商不變，可余數的的確確不一樣呀？兩個算式還能用等號連接嗎？

在學生的爭論聲中，筆者意識到了研究這個問題的必要性。

一、原因追溯

學生之所以對這道題存在爭議，原因有三。

第一，所學知識的局限性。我們知道，判斷結果是否相等，只要學習了小數除法，得到結果均是27.27，或用分數表示，結果都是300/11，那就可以確定是相等的。然而，現在學生還未學到小數除法和分數，只會用商帶余數的方式來表示結果，結果的“同中有異”造成了學生的困擾。

第二，應試教育的副作用。在教學過程中，基于應試需求，我們有時會教給學生一些技巧來提高學生做題的正確率。尤其是在比大小一類的題中，有些學生不能利用觀察來比出大小時，有的教師往往會說：“實在看不出誰大誰小，算一算不就知道了嘛。”在上例中，正是教師教給的應試技巧，學生放棄了用“商不變規律”來解決此題，而用了計算的方法，進而產生困惑。

第三，余數算理教學的簡單化。這是問題產生的根源所在。學生應用“商不變規律”在有余數除法中進行簡便計算時，教材直接采用討論的方式展開。

我們看到，這里僅僅是讓學生用驗證的方法來解決“余數到底是多少”的難點。這樣的教學，學生受到的是“被除數和除數同時除以10，商不變，余數變了”的強化記憶，卻沒有理解“為什么余數不一樣”。算理教學的簡單化為后續比大小埋下了“禍根”。

二、策略重構

那么，如何讓學生利用現階段的知識來解決文章開頭所講的困惑呢？筆者嘗試進行了以下策略重構。

1.本質入手，借助直觀，明晰余數所表示的含義

教學“商不變規律”在有余數除法中的簡便計算時，對于“余數究竟是多少”，驗算僅是一種表面的方法，實際上教師完全可以從本質入手——依托“計數單位”來給學生解惑。

首先，可改變例題數據，換成900÷40，這樣余數正好是除數的一半，學生更容易理解。告知學生，把900÷40看成90÷4來簡便計算，實際上就是在求“90個十”里面有幾個“4個十”。通過計算，學生發現有22個，還剩“2個十”。（如下圖所示）

其次，還可以通過直觀圖，讓學生理解900÷40進行簡便計算后余數2所表示的意義，如下圖所示。

通過計數單位來理解余數所表示的意義，對于后續學生學習小數除法來說，也是有很大幫助的。

2.提早介入，情境支撐，體會余數與除數的關聯

900÷40與90÷4的余數不同，正反映出余數與除數的關聯。因此，在學生理解了把900÷40看作90÷4來簡便計算時，余數該如何判定之后，教師應及時介入，出示判斷題：900÷40=90÷4=22……2。

學生很快就判斷出這樣寫是錯誤的，原因是900÷40的商是22，但余數應該是20。此時，教師追問：“看來，這個等式錯在最后一步，兩個算式的商一樣，余數卻不一樣，那么前面一步‘900÷40=90÷4對嗎？”由此，暴露出學生的困惑：如果按照商不變規律，這兩個算式是相等的，但是它們的余數不一樣呀！商不變規律可以用在不能整除的除法算式中嗎？這兩個算式的結果到底相等嗎？這就直接聚焦于文章開頭提到的學生心中之困惑了。

那么，如何引導學生理解結果是相等的？我們可以依托現實情境來解決。

把“900÷40”看成900個蘋果平均分給40個小朋友，把“90÷4”看成90個蘋果平均分給4個小朋友，“900÷40”是否等于”90÷4”，就在于每個小朋友分到的蘋果是否一樣多。

如何求證兩個情境中每個小朋友分到的蘋果個數是否一樣？兩種情況都是每個小朋友分到了22個，即商是一樣的，余數不同。剩下的蘋果就不能整個整個分了，但如果要繼續分的話，過程可以用下圖來表示。

兩個算式最終的結果都是22個蘋果加半個蘋果，等式成立。至此，教師追問：“為什么余數不一樣，我們通過分蘋果卻發現實際結果是一樣的呢？”讓學生觀察得到：余數是不能單獨比較的，還要根據除數進行判斷。就如同20個蘋果看上去多，但它對應的是平均分給40個人，而2個蘋果看上去少，但它對應的卻是平均分給4個人，這兩種情況其實結果是一樣的。

至此，學生就會深刻體會，在比較有余數除法結果的大小時，不能孤立地看待余數，而應關注與余數相對應的除數，要從兩者之間的關聯進行分析。

3.有意滲透，告知后續，實現知識之間的有效銜接

當學生通過具體情境明白了余數與除數的關聯之后，我們可以繼續做一件事：“同學們，剛才通過分蘋果，我們發現‘900÷40與‘90÷4的計算結果實際上是相等的，那么到底是不是這樣的呢？我們可以用計算器來驗證一下。”通過計算器驗證，學生清晰地看到900÷40=90÷4=22.5，由此確定之前的推理是正確的。接著，教師可以明確告訴學生：“其實，等到了五年級，我們學習了小數除法以及分數表示商之后，就可以用小數或分數來表示商。”

通過上述環節，一方面讓學生提前了解有余數除法中商的不同表示方法，感受知識的延續性;另一方面，再一次讓學生明確“商不變規律”在有余數的除法算式中依舊成立。

三、反思感悟

學生出現的錯誤，很大程度上印證著教師在教學中的疏漏與欠缺。這是在本次問題提出與解決過程中筆者的最大感受。幸好“亡羊補牢，為時不晚”，通過上述環節的明理之后，學生深刻領會了為何“商不變規律”在有余數除法中同樣適用以及該怎么使用的問題。至此，學習過程中出現的暫時性的“知識斷層”被修復，教學難點也終于得到破解。

由此，筆者深切體會到，在開展教學的過程中，教師既要站在學生已有知識能力水平的基礎上去設計教學，又要應用足夠的知識儲備來預設問題，及時發現學生在學習過程中存在的疑點與困惑，真正做到未雨綢繆、有的放矢地開展教學。教師要始終站在知識的本質角度出發，努力去尋求新舊知識的聯結點，適度改編教材，創新教學手段，讓學生的困惑真切地獲得破解與落地。

當然，另外值得一提的是，在教學中，教師應該多一點關注學生思維能力的培養，把握每一道習題的用意與初衷，切不可一味追求結果，再用一些所謂的“應試小技巧”來限制學生的思維。

（責編 李琪琦）