領(lǐng)悟方法本質(zhì) 淡化解題技巧——例談抽象函數(shù)單調(diào)性問題中的移項賦值構(gòu)造與添項賦值構(gòu)造策略

鄒景斌 朱賢良

(1.安徽省銅陵市第三中學(xué) 244000;2.安徽省樅陽縣宏實中學(xué) 246700)

波利亞有一句名言：“掌握數(shù)學(xué)就是意味著善于解題.”解題，是數(shù)學(xué)教學(xué)中必不可少的一個環(huán)節(jié).在解題教學(xué)中，有些教師或是參考答案常用一些奇思妙想的高招，卻忽略了最本質(zhì)、最常用的通法，使得學(xué)生在擊掌贊嘆的同時，只能望而長嘆：為啥我就沒想到？教學(xué)實踐表明，用一些看似高明卻極其不自然的技巧讓學(xué)生眼花繚亂，又或者用極其復(fù)雜的思路與方法讓學(xué)生暈頭轉(zhuǎn)向，這些低效或無效的解題教學(xué)只能感嘆數(shù)學(xué)看上去很美，導(dǎo)致學(xué)生在解題的百轉(zhuǎn)千回中迷失方向.

一、移項賦值構(gòu)造策略

類型1f(x·y)=f(x)+f(y)型

例1 已知函數(shù)f(x)的定義域是(0，+∞)，當(dāng)x>1時，f(x)>0，且f(x·y)=f(x)+f(y).試判斷f(x)在定義域上的單調(diào)性.

評注這里將f(x·y)=f(x)+f(y)移項成f(x·y)-f(x)=f(y)，從而賦值構(gòu)造得到差式f(x1)-f(x2)，一目了然.這樣的解法洞悉了問題的本質(zhì)，一步到位.在實際教學(xué)中，筆者采用此法取得了良好的效果.

類型2f(x+y)=f(x)+f(y)型

例2設(shè)函數(shù)f(x)定義域為R，且對任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，當(dāng)x>0時有f(x)>0.試判斷f(x)的單調(diào)性.

參考解法(拆分構(gòu)造差式)不妨設(shè)x1,x2∈R且x1>x2，則x1-x2>0，且f(x1-x2)>0.

由f(x+y)=f(x)+f(y)可得f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)，則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)>0，即f(x1)>f(x2)，故f(x)在R上是增函數(shù).

評注這里的難點是對f(x1)進(jìn)行拆分：f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)+f(x1-x2)，學(xué)生難以理解這種拆分構(gòu)造，容易與例1混為一談、亂成一團.

評注移項賦值構(gòu)造策略在求解例1與例2時保持了一致，學(xué)生不需要去區(qū)分這兩種類型，從而使解法得到統(tǒng)一.學(xué)生一看就明白如何構(gòu)造差式f(x1)-f(x2)并判定其正負(fù)情況，一點就通.

類型3f(x+y)=f(x)+f(y)+k型

二、添項賦值構(gòu)造策略

類型4f(x+y)=f(x)·f(y)型

例4 定義在R上的函數(shù)y=f(x)，滿足f(x)>0，當(dāng)x>0時，f(x)>1，且對任意x,y∈R，都有f(x+y)=f(x)·f(y).試判斷f(x)在R上的單調(diào)性.

參考解法1(拆分構(gòu)造差式)設(shè)任意x1,x2∈R且x1>x2，則f(x2)>0，且x1-x2>0，f(x1-x2)>1，故拆分可得f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)·f(x1-x2)，從而構(gòu)造差式f(x1)-f(x2)=f(x2)·[f(x1-x2)-1]>0，即f(x1)>f(x2)，所以f(x)在R上是增函數(shù).

評注解法1采用作差比較，解法2采用作商比較，兩種解法在本質(zhì)上是一致的.與前面的例題一樣，難點仍然在于拆分變形“f(x1)=f[x2+(x1-x2)]=f(x2)·f(x1-x2)”.以下我們再采用更為自然、合理的移項賦值構(gòu)造與添項賦值構(gòu)造策略來進(jìn)行解題.

類型5f(x·y)=f(x)·f(y)型

例5已知函數(shù)f(x)對任何正實數(shù)x,y都有f(x·y)=f(x)·f(y)，且f(x)≠0，當(dāng)x>1時，f(x)<1.試判斷f(x)在(0，+∞)上的單調(diào)性.

上述五種類型的抽象函數(shù)單調(diào)性問題，在使用拆分構(gòu)造策略進(jìn)行求解時，技巧性較強，學(xué)生常有神來之筆的感覺，故而難以理解，解題極易犯迷糊.這種不自然、不合理的思路也常讓教師犯難，難以講得清楚明白，因為教師不僅要講清楚怎樣變形，更要講清楚為什么要這樣變形.移項賦值構(gòu)造與添項賦值構(gòu)造策略很好地解決了這個問題，直截了當(dāng)?shù)赝ㄟ^移項賦值與添項賦值得到差式或商式，其求解思路與學(xué)生的思維方式相符，學(xué)生易學(xué)易懂.基于這樣的認(rèn)識，筆者認(rèn)為，無論是教師的教，還是學(xué)生的學(xué)，都要領(lǐng)悟方法的本質(zhì)，研究透徹，從而淡化解題技巧，踐行大道至簡的初心.