一題多解，提升數(shù)學(xué)思維靈活性

西安交通大學(xué)蘇州附屬初級(jí)中學(xué) 閻靖崢

眾所周知，數(shù)學(xué)是一門(mén)較為靈活的學(xué)科。在解決一道數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，往往可以找到多種不同的方法。這就要求學(xué)生能夠熟練地掌握所學(xué)知識(shí)并能夠靈活運(yùn)用。但是教學(xué)實(shí)踐表明，初中生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)時(shí)經(jīng)常會(huì)受固定思維模式的影響，學(xué)生的思維靈活度較低，導(dǎo)致解題能力較弱。為了緩解這一現(xiàn)象，增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維靈活度，進(jìn)而提升其數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，越來(lái)越多的教師開(kāi)始在教學(xué)時(shí)加強(qiáng)一題多解的練習(xí)。這就需要學(xué)生從多角度多方面考慮問(wèn)題，發(fā)散思維。

一題多解，顧名思義，指的是圍繞一道題目展開(kāi)的多角度練習(xí)。這是一種十分常見(jiàn)的練習(xí)形式。在進(jìn)行一題多解練習(xí)時(shí)，學(xué)生需要發(fā)散思維，結(jié)合所學(xué)知識(shí)從不同角度、不同層面思考問(wèn)題，有助于加深學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解，更加清楚知識(shí)點(diǎn)間的聯(lián)系，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)靈活的知識(shí)轉(zhuǎn)化，提升學(xué)習(xí)效率。因此，教師在教學(xué)時(shí)應(yīng)當(dāng)適時(shí)地引入一題多解，通過(guò)帶領(lǐng)學(xué)生練習(xí)發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提升學(xué)生的思維靈活度。下面，我將圍繞初中數(shù)學(xué)教學(xué)中引入一題多解的教學(xué)策略展開(kāi)論述。

一、設(shè)未知數(shù)，滲透方程思想

方程思想貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)階段，它能夠幫助學(xué)生高效地求解得出正確答案。可未知數(shù)的選擇卻不是固定的，從不同角度思考，我們可以選擇設(shè)置不同的未知數(shù)，列出不同的方程求解。有些時(shí)候列出不同的方程，其計(jì)算難度是不同的，所以學(xué)生不必拘泥于某一種形式，可以靈活地選擇未知數(shù)，進(jìn)而列方程求解。在進(jìn)行一題多解練習(xí)時(shí)，教師可以在帶領(lǐng)學(xué)生解決方程問(wèn)題時(shí)，通過(guò)設(shè)置不同的未知數(shù)發(fā)散學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生從不同的角度思考問(wèn)題、分析問(wèn)題和解決問(wèn)題。

可見(jiàn)，列方程求解的第一步就是確定未知數(shù)，但是未知數(shù)的選擇卻不是唯一的。從不同的角度思考，我們可以確定不同的未知數(shù)和方程。無(wú)論是什么形式的方程，只要數(shù)量關(guān)系是正確的，方程是正確合理的即可。學(xué)生需要意識(shí)到數(shù)學(xué)是一門(mén)靈活的學(xué)科，在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，解題方法也往往是靈活多樣的。

二、公式變形，學(xué)會(huì)轉(zhuǎn)化簡(jiǎn)化

數(shù)學(xué)學(xué)科存在著大量的公式，在解題計(jì)算中有著十分廣泛的應(yīng)用。對(duì)于這些數(shù)學(xué)公式，除了直接使用以外，還可以進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃巍Ｓ行r(shí)候，將公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化能夠更加直觀地表達(dá)一些數(shù)量關(guān)系，有助于學(xué)生理解。但轉(zhuǎn)化公式的前提就是對(duì)公式理解透徹，否則如果轉(zhuǎn)化后的數(shù)量關(guān)系發(fā)生錯(cuò)誤，反而會(huì)影響解題。因此，在進(jìn)行一題多解練習(xí)時(shí)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)針對(duì)性的練習(xí)，通過(guò)將公式變形，從多角度解決問(wèn)題，進(jìn)而感受數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活性。

例如，在學(xué)習(xí)“用方程解決問(wèn)題”時(shí)，教師可以讓學(xué)生探究這樣一道題目：已知某超市5 月份的銷(xiāo)售額相比上個(gè)月增加了10%，這個(gè)月的銷(xiāo)售額為8800 元，請(qǐng)問(wèn)該超市上個(gè)月的銷(xiāo)售額為多少？根據(jù)“上個(gè)月的銷(xiāo)售額×這個(gè)月相對(duì)上個(gè)月的百分比=這個(gè)月的銷(xiāo)售額”，可以假設(shè)上個(gè)月的銷(xiāo)售額為x元，那么可以列式x（1+10%）=8800，解得x=8000，所以上個(gè)月的銷(xiāo)售額為8000 元。除此之外，學(xué)生還可以將公式進(jìn)行變形，“上個(gè)月的銷(xiāo)售額+這個(gè)月相對(duì)上個(gè)月增加或減少的銷(xiāo)售額=這個(gè)月的銷(xiāo)售額”，所以可以得出方程：x+10%x=8800，得出上個(gè)月的銷(xiāo)售額為8000 元。雖然第一種方法列出的式子可以化簡(jiǎn)成第二個(gè)式子，但是思考的角度卻是不同的，方程代表的含義也是不同的。

數(shù)學(xué)公式的使用并不是死板的，在應(yīng)用解題時(shí)，學(xué)生可以結(jié)合自己的需求進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化化簡(jiǎn)，進(jìn)而幫助自己高效地求解。但無(wú)論轉(zhuǎn)化成什么形式，都需要保證數(shù)量關(guān)系的正確性，否則轉(zhuǎn)化是無(wú)意義的。

三、添輔助線，發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系

在解決幾何問(wèn)題時(shí)常常需要添加輔助線求解，添加適當(dāng)?shù)妮o助線往往會(huì)幫助學(xué)生更加直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而找到突破口。而構(gòu)造輔助線的方法也不是唯一的，從不同的角度思考問(wèn)題，學(xué)生可以構(gòu)造不同的輔助線。但無(wú)論是哪種構(gòu)造方法，只要能找到數(shù)量關(guān)系即可。因此，在進(jìn)行一題多解練習(xí)時(shí)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生展開(kāi)針對(duì)性練習(xí)，通過(guò)尋找不同的輔助線構(gòu)造方法，發(fā)散數(shù)學(xué)思維，提升思維靈活度。

例如，在講解“全等三角形”時(shí)，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生分析這樣一道題目：如圖1，已知AB>AC，∠1=∠2，P為AD上任意一點(diǎn)，求證AB-AC>PB-PC。構(gòu)造輔助線證明這道題目，如圖1 所示，作AN=AC，由全等三角形得PC=PN，PB-PCPBPC。第二種方法，如圖2 所示，延長(zhǎng)AC至AM，使AM=AB，連接PM，由全等三角形得AB-AC=CM，且CM>PM-PC=PB-PC，由此證得AB-AC>PB-PC。無(wú)論是哪種輔助線構(gòu)造方法，都能夠證明AB-AC>PB-PC。

圖1

圖2

可見(jiàn)，添加輔助線能夠幫助學(xué)生找到解題突破口，理清數(shù)量關(guān)系。雖然輔助線的構(gòu)造方法不是唯一的，學(xué)生可以構(gòu)造不同的輔助線，從不同角度思考問(wèn)題，但是并非所有的輔助線構(gòu)造方法都是有效的，如果添加不當(dāng)，可能還會(huì)使題目復(fù)雜化，效果適得其反。

四、變換視角，鼓勵(lì)創(chuàng)新解題

解決數(shù)學(xué)題目的方法往往不是唯一的，學(xué)生可以從不同的角度出發(fā)，利用不同的知識(shí)點(diǎn)求解。因此，在教學(xué)時(shí)，教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生積極創(chuàng)新思考，尋找不同的解題方法。學(xué)生需要大膽地嘗試，如果這種方法行不通就改變角度。但是如果僅僅將想法停留在思想層面而不去驗(yàn)證，這樣是無(wú)法發(fā)散思維的。

解題方法沒(méi)有固定的，只要學(xué)生能夠通過(guò)自己的方法求解得出正確答案，保證方法的正確性，那么這個(gè)方法就是合理的。教師應(yīng)當(dāng)在教學(xué)時(shí)鼓勵(lì)學(xué)生變換視角，創(chuàng)新解題方法。但是值得注意的是，教師要為學(xué)生提供充足的思考時(shí)間，盡量不要中途打斷學(xué)生，否則會(huì)使教學(xué)效率大打折扣。

總的來(lái)說(shuō)，學(xué)會(huì)解一道題并不是會(huì)解題，只有掌握了解題思想和解題方法，才是真正意義上的會(huì)解題。中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)時(shí)，教師常常會(huì)帶領(lǐng)學(xué)生采取題海戰(zhàn)術(shù)，這雖然能在一定程度上幫助學(xué)生鞏固所學(xué)知識(shí)，掌握解題方法，但另一方面，這也很容易束縛學(xué)生的解題思維，形成刻板意識(shí)。而一題多解就能夠克服這一現(xiàn)象，適時(shí)地引入一題多解，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維，提升學(xué)生對(duì)知識(shí)運(yùn)用的靈活度，促進(jìn)學(xué)生的可持續(xù)發(fā)展。