數學基礎課程圖論的課程思政探索與實踐

史永堂， 雷 輝， 李佳傲

(1.南開大學 組合數學中心，天津300071； 2.南開大學 統計與數據科學學院，天津300071； 3.南開大學 數學科學學院，天津300071)

1 引 言

立德樹人是新時代中國特色社會主義教育理論體系的重要組成部分，把立德樹人作為高等教育的根本任務，是適應新時代、新形勢的需要.全面推進課程思政建設是落實立德樹人根本任務的戰略舉措，高等學校應深化課程思政改革，充分發揮各門課程的育人功能，實現全員、全過程、全方位育人的教育目標，提高人才培養質量.教師始終處在教育教學、課程建設、育人育才的第一線，是課程思政落實落地的關鍵所在，要充分挖掘梳理所授課程中的思政元素，促進思政資源與人才培養各環節的有機融合，使思想政治教育貫穿于教育教學的全過程.目前不少學者和教師已將課程思政融入到大學課程的教學中[1-9].例如，于歆杰結合負責的“電路原理”課程，從如何立德樹人，開展價值塑造同時進行能力培養等不同層面加以闡釋了理工科核心課中的課程思政為什么做怎么做[1].吳慧卓以高等數學課為例，闡述了課程思政的內涵，探索了如何以知識為載體，將傳授知識與立德樹人相融合的有效方法，為新時期在高等數學教學中實施課程思政提供一定的參考[2].陳航分享了在全方位育人導向下，將思想政治教育元素融入微分幾何課程教學過程的探索和實踐[3].彭雙階和徐章韜從師德建設、課程思政教育元素挖掘、尋找不同課程的思政切入點、更新教學手段等方面，探討了在課堂教學中落實課程思政的有效路徑[4].公徐路以離散數學課程的思政教育為出發點，從“課程思政”的含義、開展“課程思政”的必要性、可行性以及實施方案四個方面進行了分析，同時結合具體的成果形式，為離散數學的“課程思政”課堂教學提供了素材[5].俞能福和閔杰分析了現行高等數學課程教學中存在的問題，在此基礎上研究如何創新教學理念，挖掘數學文化內涵，構建基于數學文化的教學內容與教育方式，把高等數學教育提高到數學文化教育的層面，以起到高等數學教育的價值引領作用，實現數學知識傳授和文化育人的有機結合[6].

筆者自2009年至今一直講授研究生專業基礎課——圖論課程，圖論作為現代應用數學的一個重要分支，是一門有著悠久歷史而又應用非常廣泛的課程，其中既有四色問題、拉姆齊理論等重要的理論問題，也有中國郵遞員問題、貨郎擔問題等經典的應用問題，近年來更是在機器學習、人工智能、數據科學、網絡安全等新興領域有著豐富的交叉應用.新時代的大學教育更加關注專業教育和拔尖創新人才的培養，在教學實踐中，筆者初步探索了將思政元素引入課堂教學的方法，重視學生數學核心素養的培養，讓學生不僅掌握扎實的專業理論，具備認識問題、分析問題和解決問題的能力，而且還要有探索未知、追求真理、勇攀科學高峰的科學精神，樹立正確的人生觀、世界觀和價值觀，爭做德才兼備的高層次人才.

2 思政元素與教學內容的融合

南開大學是教育部直屬重點綜合性大學，2019年習近平總書記視察南開大學，高度肯定南開師生的愛國情懷.南開大學數學學科創建百年來，堅持立德樹人根本任務，秉承陳省身先生“立足南開、面向全國、放眼世界”的宗旨，以培養具有家國情懷、世界一流的數學拔尖創新人才為目標，著力構建全員全程全方位育人大格局.課程思政的關鍵是挖掘梳理課程中的思政元素，將思政元素與教學內容、知識傳授有機地結合起來.下面筆者將以研究生圖論課程為例，來介紹在數學教學中課程思政方面的探索.以課程的教學大綱、教學內容為抓手，把馬克思主義哲學原理的教育與科學精神的培養有機結合起來，努力培養學生的數學核心素養.

2.1 唯物辯證法在數學問題研究中的應用

唯物辯證法是馬克思主義哲學的核心組成部分，是一套世界觀、認識論和方法論的思想體系.唯物辯證法對教育科學研究具有重大的指導意義，數學與唯物辯證法之間有著內在的、本質的聯系.在數學教學中，滲透辯證法思想，引導學生運用辯證的思想組建認知結構、解決問題、開展研究，是提高課堂教學效率的有效途徑.將圍繞唯物辯證法的三個核心觀點展開討論，即認識源于實踐、對立統一、普遍聯系.

2.1.1 數學方法源于實踐，并指導于實踐

馬克思主義認識論告訴我們，實踐是認識的基礎和源泉，又是推動認識發展的動力.正如恩格斯所闡述的“科學的發生和發展一開始就是由生產決定的”，數學的產生和發展源于實踐，同時又指導于實踐，著名的數學大師華羅庚先生，把數學方法應用于實際，篩選出以提高工作效率為目標的優選法和統籌法，取得顯著經濟效益.

圖論的產生和發展也是源于實踐的.人們將哥尼斯堡七橋問題看作是圖論的起源.

案例是否能從四塊陸地中的任一塊開始，通過每座橋恰好一次再回到起點？

圖1 哥尼斯堡七橋問題轉化為數學問題示意圖

教師結合教學內容，通過將實際問題轉化為數學問題，讓學生明白很多數學方法都源于實踐，然后又指導于實踐，激發學生學習興趣.

1847年德國的基爾霍夫將樹的概念和理論應用于工程技術的電網絡方程組的研究，上世紀三十年代以來，由于生產管理、軍事、交通運輸、計算機和通訊網絡等方面大量問題的出現，大大促進了圖論的發展.特別是近幾十年來隨著計算機的快速發展，大量大規模的實際問題得以求解，其中電網絡、交通網絡、電路設計等問題中都涉及到圖論的問題.這些問題的求解極大地促進了圖論的發展，以及不同分支、理論的產生，如算法圖論、代數圖論、極值圖論，以及匹配理論、網絡流理論、有向圖理論等.這些都是認識和發展源于實踐的真實體現.

2.1.2 研究問題的方法存在著對立統一的關系

馬克思主義的哲學認為，“對立統一規律是宇宙的根本規律”，數學和圖論中處處都存在著對立統一的關系，比如有限圖與無限圖、無向圖與有向圖、子圖與母圖、頂點染色與邊染色、獨立集與團、單色子圖與彩虹子圖等等.這些看似對立矛盾的關系，實則是統一的，是可以相互轉化的.比如，無向圖通過添加方向可以變為有向圖，獨立集在補圖中是團，等等.正如恩格斯所說：“這種從一個形式到另一個相反形式的轉變，并不是一種無聊的游戲，它是數學科學的最有力的杠桿之一.”總之，它們之間是彼此對立統一、相互依存、相互區別的.另外，研究方法上也是對立統一的，部分與整體的統一是數學中極為常見的.在講授過程中，總是由點到線，由線到面，逐步講解，比如講解基本概念時，先講一般圖的概念，再講超圖的概念；在講解匹配理論時，先講二部圖的匹配，然后是一般圖的匹配；在介紹拉姆齊理論時，先介紹對角拉姆齊數，再介紹一般拉姆齊數；在介紹圖蘭定理時，先講限制三角形的極值問題，再講限制一般團的極值問題；等等.

2.1.3 數學知識之間及與其他學科之間都存在著普遍聯系

唯物辯證法認為，世界上一切事物都處在普遍聯系中，這一觀點在數學教學中也得到了充分的體現.首先，數學的知識之間是相互聯系的.其次，圖論與其他眾多學科之間也是相互聯系、交叉應用的，可以說圖論是現代應用數學中應用性非常廣的一門學科，在運籌學、計算機科學、編碼理論、化學、生物信息、統計物理、人工智能、數據科學等領域都有著非常深刻的應用.

以圖論為例，知識點之間是相互聯系的，是由淺入深、循序漸進的，先講樹，其次是連通性，再到匹配和獨立集、歐拉環游和哈密爾頓圈，然后是頂點染色和邊染色，最后是拉姆齊理論和圖蘭理論.另外，在同一個知識點的講授過程中，也是按照概念、例子、命題、定理、證明、推廣的順序循序漸進地進行的.又比如在講授樹和連通性時，會涉及到最短路問題和最小生成樹問題，這是理論計算機科學和算法設計中的基礎問題；在講授匹配理論時，講到最大匹配算法以及最大流算法，這是離散優化中的一個核心算法；在講到歐拉環游和哈密爾頓圈時，會提到中國郵遞員問題和貨郎擔問題，這兩個問題在很多領域都有著重要應用；在講到拉姆齊理論和圖蘭理論時，會講到圖編碼的設計；等等.再次，圖論與數學其他分支也有著非常緊密的聯系，比如圖論與代數結合，產生了代數圖論；與概率結合，產生了隨機圖論和概率方法；與拓撲結合，產生了拓撲圖論；與算法理論結合，產生了算法圖論；等等.

表1 唯物辯證法與課程內容的關聯

2.2 數學核心素養在教學中的體現

學科核心素養是當前育人育才的目標和方向，課程教學是數學核心素養養成的主要載體.與其他理工科的學科一樣，在數學學科的課堂教學中，首先要注重學生科學精神的培養.科學精神是科學的靈魂，就是實事求是，求真務實，開拓創新的理性精神.我們主要通過對著名數學家事跡的講解，將數學家精神和科學奉獻融入到教學內容中，讓學生秉持科研誠信和嚴謹求實的科學態度，鼓勵他們大膽質疑、不懼失敗、勇于探索.其次是學生情操品格的培養，新時代的高等教育更加關注專業教育，而專業教育更加注重情操品格的培養.我們挖掘課程中的中國元素、中國貢獻，培養他們的愛國情懷；通過對課程中難點的詳細解析，鼓勵學生不畏艱難、勇攀高峰，做頂天立地的研究.然后是對學生基本能力的培養和關注.

表2 數學核心素養與課程內容

2.2.1 通過案例培養學生的科學精神

科研誠信、嚴謹求實的精神是每個學科都要堅守的科學精神，對于數學這門嚴謹的學科來講，更是如此，這需要貫穿于課程講授的全過程.在課程內容的安排上，每一章的理論內容之后，都會有相應的應用問題介紹.在理論部分，每個結果的證明推理，都力求嚴謹無誤；應用部分側重算法設計，讓學生依據現有的算法，做數據分析和編程實現，整個過程中，都要強調數據的真實可靠、程序的邏輯嚴密.

批判和懷疑、創造和探索的精神是科學精神的一個突出方面.

案例1852年，畢業于倫敦大學的弗南西斯·格思里工作時，發現了一個有趣的現象：每幅地圖都可以用四種顏色著色，使得有共同邊界的國家著上不同的顏色.這個結論能不能從數學上加以證明呢？

講授過程中，介紹著名數學難題四色問題的發展歷史，以及近150年的攻克過程，讓學生深刻體會到做學問做研究就是要堅持大膽質疑、不懼失敗、追求真理，只有這樣才能有創新，才能有所突破.

數學家精神和科學奉獻是科學精神的一個重要方面.舉例來講，在講解歐拉環游和哈密爾圈章節時，著重介紹歐拉、哈密爾頓等世界各國大數學家、圖論學家的事跡，介紹他們對圖論學科、乃至整個數學學科的貢獻；同時介紹“中國郵遞員問題”“旅行售貨商問題”等經典問題的研究，特別會介紹到我國學者管梅谷先生的先進事跡.通過講授這些著名數學家的事跡和他們的學術成就，讓學生深切感受到數學家的精神所在，感受到數學人的科學奉獻.

2.2.2 通過事跡培養學生的情操品格

情操品格的培養，首先是愛國情懷的培養.南開大學是一所具有愛國主義傳統的學校.習近平總書記在2018年9月召開的全國教育大會上提到了南開大學老校長張伯苓先生的“愛國三問”，2019年1月17日，習近平總書記視察南開大學時，充分肯定了南開百年“愛國奮斗”的育人傳統和辦學理念，他指出：“南開大學具有光榮的愛國主義傳統，這是南開的魂.當年開辦南開大學，就是為了中華民族站起來去培養人才的.”

本課程的第一課主要講授圖論的發展歷史，結合習總書記的講話精神，以及南開的愛國傳統和大數學家陳省身先生的事跡[10]，陳先生是一流的數學大師，他認為數學是好玩的，數學是美的.

圖2 習總書記視察南開和陳省身先生的“數學好玩”

通過這些事跡突出介紹我們國家圖論發展的現狀以及我國老一輩圖論學家的主要貢獻，展示中國元素、中國貢獻，以引發學生的民族自豪感和愛國熱情；另一方面，還要讓學生意識到，離陳省身先生提到的“數學強國”還有一定的距離，與一些數學強國相比，還有一定的差距，從而鼓勵學生奮起直追，具有勇于趕超世界前沿的精神.

不畏艱難、勇攀高峰、探索未知、堅持創新是優秀情操品德的一個核心方面.注重課程脈絡的梳理，注重重點難點的解析，鼓勵學生不害怕難題，不畏懼復雜的證明，勇于接受新方法新理論，勇于向難題猜想發起挑戰.例如，在獨立集和團的章節，重點介紹極值圖論中的兩大公認難題——拉姆齊問題和圖蘭問題，詳細闡述這些問題的發展以及研究過程中所產生的新理論和新方法，包括概率方法、正則引理等.

2.2.3 建設強大的教學團隊，提升學生的基本能力

圖論作為一門數學課程，跟其他數學課程一樣，要培養學生分析問題、解決問題、抽象思維、邏輯推理、欣賞數學之美的能力，這是數學方向學生所必備的基本能力.比如在匹配章節，介紹匹配理論和算法，引導學生去學會分析問題、解決問題；在頂點染色與邊染色章節，講授染色的理論及其應用，引導學生去將應用問題抽象成染色問題，證明過程中重點關注邏輯推理.

圖論是應用性非常強的一門課程，跟諸多學科都有著交叉應用，課程內容中也有很多應用性的問題.本課程教學團隊中的幾位老師，分別來自數學學科、統計學科、數據科學學科、計算機學科等，我們注重理論聯系實際、學科交叉方面的講授.比如在有向圖與網絡章節，關注如何將現實社會中的問題轉化為圖論問題進行求解，讓學生做好理論學習的同時，去關注實際問題的解決，鼓勵他們樹立遠大目標，做頂天立地的研究，將論文寫在祖國大地上.

3 課程思政的教學實現

課堂教學是課程的直接表現形式，是課程理念落地的真實體現.先進的理念和方法只有落實到具體的課堂上，才能使學生真正受益.課堂教學也是落實課程思政的主渠道和主陣地.筆者制定了新的教學大綱，明確了思想政治教育的融入點和教學方法，引導學生參與到課程中來，從課程中吸收、消化我們的思政元素.堅持的課堂教學實現，包括開展一次課程思政集體備課，講好第一課，教師主講理論知識，“學生課堂”“學生實驗”“學生寫作”三步曲，兩次課外講座.

開展一次課程思政集體備課

教學團隊的幾位老師在課程講授之前，進行一次課程思政的集體備課.結合前一年的課程講授以及學生的反饋，開展一次課程思政的總結，總結課程思政的成效；結合自己的工作，繼續挖掘梳理課程思政的融入點，討論本學期課程思政的內容、方式以及改進、更新.

講好第一課

第一課主要結合數學文化[11]，從數學史的角度，講解圖論發展史.結合習總書記的講話精神以及南開的愛國傳統，從數學大師陳省身先生的“數學好玩”“數學之美”講起，引入圖論之美，介紹圖論的發展歷史及現狀.從1736年大數學家歐拉解決哥尼斯堡七橋問題開始，到后來多學科獨自引入圖論，再到近代，計算機高速發展的時代下圖論的發展和應用.將突出介紹我們國家圖論發展的現狀以及我國老一輩圖論學家的主要貢獻，包括李修睦、謝力同、徐利治、管梅谷等，介紹中國郵遞員問題在國際上的地位等.圖論在計算機科學、運籌學、算法理論、生物信息、社會網絡等領域都有著非常廣泛的應用，著重介紹當前圖論所面臨的發展機遇和挑戰，特別是圖論在人工智能、數據科學和網絡安全等領域的交叉應用.

教師主講理論知識

教師主講部分，做到多媒體教學與板書相結合，優化教學設計，堅持“五會講”.一是會講故事，講問題的發展歷史和研究現狀，講知名專家學者的先進事跡；二是會講概念，用簡單的例子、彩色的圖來闡述抽象的概念；三是會講證明，先講證明大致思路，再講證明細節推導，力求用多種不同方法證明同一定理；四是會講算法，講算法的設計思想、求解步驟、正確性驗證以及時間復雜度分析；五是會講公開問題和猜想，介紹公開問題或猜想的內容、提出背景、研究意義、研究進展，以及現有的研究方法等.

學生課堂

按照課程設置，每節課后面都有一個相關應用，這部分由學生來講解，設置“學生課堂”.對學生進行分組，兩人或三人一組，每組分配一個應用問題.學生先進行討論，然后上講臺講解，可做課件或板書，講解過程遵循的步驟包括應用問題介紹、抽象與之相關的圖論問題、建立模型、例子設計、求解步驟和算法演示、算法正確性和復雜性分析、問題的進一步發展以及相關變種等.講解結束后，由其他小組學生對本小組學生的講解進行點評和打分，最后由主講教師點評和補充.這一過程中，重點關注學生的參與，培養學生的討論、相互協作、講解設計、語言表達的能力.

學生實驗

“學生課堂”上講解的應用問題，對某個例子，已經有了相應的算法設計，本環節安排學生進行數學實驗，也就是對算法進行編程實現.本環節重點關注數據的原始真實、程序的最佳方案以及輸出結果的美觀，培養學生的動手能力和科研誠信的操守.

學生寫作

在“學生課堂”和“學生實驗”的基礎上，繼續查找文獻、閱讀資料，將所講應用問題的提出背景、發展歷史、解決方案以及當前現狀等進行整理、完善，以綜述論文的形式呈現.這一過程中，主要培養和鍛煉學生查閱資料、全面介紹問題、寫作論文的能力.本環節也是學生三步曲的最后一個環節，是作品的呈現環節，也是學生吸收和消化課程思政元素的全面展現.

一次校外專家理論講座

邀請本領域的專家學者，就某個專題做一次理論方面的前沿講座，如染色理論、極值圖論、群與圖、圖譜理論、概率方法、超圖理論、有向圖理論等等.本環節不僅是為了讓學生了解這一方面的前沿進展，而且也是讓學生了解理論推進的過程和事物發展的規律，更是讓學生了解到如何做研究、如何去分析問題、解決問題.

一次企業專家應用講座

圖論具有非常廣泛的應用，很多的離散優化問題都涉及到圖論，分布在現實世界的各個角落，

比如最短路問題、最小生成樹問題、網絡流問題、中國郵遞員問題、貨郎擔問題、選址問題等等.我們邀請企業的專家和研究人員，就某個應用問題做一次講座，比如邀請華為專家講解“圖編碼”“云上的離散優化問題”等等.本環節主要是理論與實際的結合，讓學生了解到圖論知識在其他領域的應用，鼓勵學生學好理論的同時，主動去解決實際問題，做“頂天立地”的工作，將自己的工作和論文寫在祖國大地上.

4 課程思政建設成效

本課程開設十余年來，始終將課程思政的建設貫穿于課堂教學的全過程，在國內同類課程中優勢突出，受到國內同行及兄弟院校的普遍贊譽，廣受好評.近年來，課程負責人應邀在全國50余所高校和科研院所分享課程建設和課程思政的經驗，團隊成員多人次獲國家級和省部級教育教學獎項，出版的系列教材得到國內高校的廣泛使用和推廣.課程入選南開大學首批研究生“課程思政”示范課程建設項目.

每學期最后一周會向學生發放調查問卷，了解本學期課程思政的效果.調查問卷內容大致包含以下幾個問題(如圖3所示)：課堂上，老師通過各種案例進行課程思政的方式，您接受嗎？課堂上設置的學生實踐環節，您覺得自己哪方面的能力得到了提升？對于該課程，您有什么好的建議？您更喜歡什么樣的課程思政教學模式？提交問卷的所有同學能夠接受這種課程思政方式.關于學生實踐環節，大部分學生覺得提升了自己講課、溝通、語言表達、邏輯思維等的能力.對該課程絕大多數同學在贊同目前課程思政的教學模式下也提了很好的建議，比如：課程中可以加入更多的時事，這是當前大家都感興趣的話題，更容易激發學生的共鳴；可以更好地利用智慧課堂來進行教學等.

圖3 最近一學期課程思政調查問卷

學校教務系統學生對本課程給予了很好的評價，部分摘錄如下：

學生評價一：主講老師學識淵博，講授內容通俗易懂，循序漸進，所舉例題不僅典型，而且由易到難，易于掌握.在講授很多問題時，都會引導我們將應用問題抽象成圖論問題，證明過程中重點關注邏輯推理，培養了我們分析問題、解決問題、抽象思維、邏輯推理、欣賞數學之美的能力.

學生評價二：老師不僅課講得好，對學生也很熱情，每次向他咨詢學術科研、學業規劃、職業生涯規劃等一系列問題，都能給予準確、中肯的答復.課上老師經常會講解一些世界各國大數學家、圖論學家的事跡，介紹他們對圖論學科、乃至整個數學學科的貢獻，特別會介紹到我國學者管梅谷先生的先進事跡，課間也經常會跟我們討論一些時事熱點，通過對這些著名數學家的事跡和他們學術成就的了解，讓我們深切感受到了數學家的精神所在，感受到了數學人的科學奉獻.

學生評價三：根據導師建議，選了這門課程，后來經過更多的學習，發現自己的專科課程很多都會用到圖論知識，這些知識對自己的科研也有很大的幫助.特別地，課程中的幾位老師，分別來自數學學科、統計學科、數據科學學科、計算機學科等，課程內容注重理論聯系實際、學科交叉方面的講授，讓我們在做好理論學習的同時，去關注實際問題的解決.老師也鼓勵我們要樹立遠大目標，做頂天立地的研究，將論文寫在祖國大地上.

5 結 論

本文主要以研究生圖論課程為例，首先闡述了如何將馬克思主義哲學原理的教育與科學精神的培養有機結合，來培養學生的數學核心素養；其次將課程思政的具體教學實現形式進行了總結；最后，經過多年的探索與實踐，也將課程思政的成效做一個簡單介紹.課程思政是高校立德樹人的一項系統工程，深入推進大學數學課程思政工作，需要不斷優化課程設置、修訂專業教材、完善教學設計、加強教學管理，需要進一步挖掘梳理數學專業課程中所蘊含的思政元素，還需要教師自身進一步加強理論學習，積極思考，主動挖掘，多方配合.只有這樣，才能加強學生數學核心素養的養成，才能促進思政資源與人才培養各環節更好的有機融合，才能促使思想政治教育貫穿于教育教學的全過程，才能真正意義上實現立德樹人的根本任務.

致謝作者非常感謝相關文獻對本文的啟發以及審稿專家提出的寶貴意見.