數學建模在初中教學中的應用舉例

張志強

摘 要：隨著課程改革的深入開展及新課標的頒布，數學教學也由注重學生的學習結果向關注學生的活動轉變，教師應倡導學生主動學習、自主探索、合作探究、體會數學再發現的過程，新課標對學生提出了數學學習的總體目標，其中數學六大核心素養之一“數學建模”就很好地詮釋了“運用數學的思維方式去觀察和分析現實社會”這一理念。筆者從用數學建模解決實際問題、通過典型建模考題的解讀促使學生形成數學建模意識、對數學再建模歸納出優秀的解題模型，解決同系列多層次的數學問題、數學再建模進行精準命題等四個方面舉例談談數學建模在初中教學實踐中的應用。

關鍵詞：數學建模;初中;教學

一、 解決實際問題——初中數學建模意識形成的主陣地

在初中數學范圍內針對實際問題可以建立的數學模型有：數與式模型、方程（組）模型、不等式（組）模型、函數模型、平面幾何模型、圖表模型等。也就是說，在實際情境中的現實問題用數學語言來描述，從而形成了含有一定的數學已知條件，及一個或幾個需要解決的數學問題的命題。這是數學建模最為關鍵的一步，把實際問題轉化成了純數學問題來解決。下面以人教版九年級數學下冊中數學實踐活動——學校旗桿高度的測量為例，談談利用數學實踐活動培養學生的數學建模理念的一些方法。

【建立模型一】其實，本實踐活動最早在八年級學習勾股定理時就涉及了，利用升旗用的繩子，先沿旗桿拉直到旗桿底部，測出多出部分繩子的長度a米，再將整條繩子拉直到與升旗臺等高處，測量該處與旗桿的距離b米，這時建立了一個直角三角形的模型，已知一直角邊的長（BC=b）及斜邊與另一直角邊的長度差（AC-AB=a），求直角邊的長。

問題解決：設AB=x米，根據勾股定理，AB2+BC2=AC2，則x2+b2=（x+a）2，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型二】利用相似的知識及陽光是平行光，構建相似模型，在同一時刻的陽光下，取一支1m長的標桿，垂直地面放置在陽光下，分別測出標桿的影長a米與旗桿的影長b米。

問題解決：由于同一時刻實物與影長比相等，得1a=xb，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型三】利用平面鏡反射的入射角等于反射角原理，建立相似三角形模型，將一平面鏡放置在人與旗桿之間，測量出鏡子與旗桿的距離a米、人與鏡子的距離b米、人的目高c米。

問題解決：利用有兩角對應相等的三角形相似的判定，相似三角形對應邊成比例得ab=xc，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型四】利用相似三角形的預備定理，建立相似三角形模型，準備2支標桿與皮尺，分別為1米長與1.2米長，然后將2支標桿與旗桿放置在同一水平面上且在同一直線上，測量出兩支標桿的距離a米，再測量出旗桿與較近標桿的距離b米。

問題解決：平行于三角形一邊的直線所截得的三角形與原三角形相似，相似三角形對應邊成比例得aa+b=1.2-1x-1，解方程可求得旗桿AB的高度。

【建立模型五】學習了三角函數后，建立直角三角形形模型，準備測角儀、一支1米長的標桿與皮尺，在離旗桿a米處，在垂直于地面的標桿上測出旗桿頂部的仰角為θ。

問題解決：利用正切函數的定義得tanθ=xa，解方程可求得旗桿AB的高度。

大家至少可以先在室內商定出五種不同的建模方式，然后進行實地測量、匯報、交流與糾偏。當大家都沉醉于成功的喜悅之中時，教師可適時提出一個新的問題：這個旗桿是底部可以到達的物體，如果遇到要測量的物體的底部不能到達呢？怎么辦呢？例如，山的高度、金字塔的高度等。這時就又提供了一個數學建模解決新問題的機會，大家又投入了新的思考中。

【建立模型六】利用三角函數建立直角三角形模型，準備測角儀、一支1米長的標桿與皮尺，在遠處某地垂直于地面的標桿上，測出物體頂部的仰角為α，然后在同一直線上往前m米處垂直于地面的標桿上測出物體頂部的仰角為β。

問題解決：利用正切函數的定義得x-1tanα-x-1tanβ=m，解方程可求得物體的高度。

可以建立許多數學模型來解決測量旗桿高度的問題，這就大大地激發了學生的學習興趣與動手熱情，同時學生也積極開動了腦筋，無意之間就形成了數學建模的意識與理念。

二、 解讀典型建模考題——促使學生形成數學建模意識

原題：

模型建立：等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經過點C，過A作AD⊥ED于D，過B作BE⊥ED于E。求證：△BEC≌△CDA。

模型應用：

（1）直線l1=43x+4與y軸交于A點，將直線l1繞著A點順時針旋轉45°至l2，求l2的函數解析式。

（2）矩形ABCO，O為坐標原點，B的坐標為（8，6），A、C分別在坐標軸上，P是線段BC上動點，設PC=m，已知點D在第一象限，且是直線y=2x-6上的一點，若△APD是不以A為直角頂點的等腰直角三角形，請直接寫出點D的坐標。

（一）首先，要在“模型建立”上下功夫。往往模型建立就是最簡單的解題方法，但容易被忽略，沒有認真分析模型，包括模型的背景特征、條件與結論、構建模型所用的幾何元素及代數元素、所涉及的元素、構建模型時的順序等，從而導致無法解后面的小題。

本題中，模型的背景特征：等腰直角三角形;

條件：過直角任意作一條不與直角邊重合的直線，并過斜邊的兩個端點向該直線作垂線段;

結論：所構成的兩個新直角三角形全等，故而得到對應直角邊相等。

（二）學生應該要“立”起來，能“走”，即在大腦中確立正確的、清晰的模型、簡約的模型，以至于在新的圖形環境中能認得出來。

如本題中，模型可簡約成“45°→等腰直角三角形→一線三直角”，這樣就可以拿著走了，學生只要看到45°，就有了序列模型化的思考。