數(shù)學育人作引領(lǐng) 經(jīng)典問題創(chuàng)新意

陳昕

摘? 要：“等差數(shù)列的前[n]項和”是一節(jié)較為經(jīng)典的數(shù)學規(guī)則課. 本節(jié)課的教學設(shè)計和實施能較好地遵循數(shù)學規(guī)則“習得”和“轉(zhuǎn)化”兩個階段的基本要求，情境引入較有創(chuàng)意. 在新穎的情境下數(shù)與形相互印證，多種思路殊途同歸. 在教師的引導下，數(shù)學探究學習貫穿了整堂課教與學的過程，提高了學生的“四基”“四能”，發(fā)展了數(shù)學學科核心素養(yǎng)，數(shù)學育人潛移默化、水到渠成.

關(guān)鍵詞：規(guī)則課型;創(chuàng)新情境;公式推導;數(shù)學探究

“等差數(shù)列的前n項和”是蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書·數(shù)學5（必修）》第2章第2節(jié)“等差數(shù)列”第3課時的內(nèi)容，主要內(nèi)容是用倒序相加法推導等差數(shù)列的前n項和公式，與通項公式一起揭示五個基本量“知三求二”的思想方法. 求和公式的探究過程體現(xiàn)了“特殊到一般”的問題解決路徑，有助于對學生數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》對“等差數(shù)列的前n項和”的要求是探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系. 對公式的“探索”這個要求比較高，需要學生經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的過程;對公式的“掌握”要求學生不僅要理解公式，還要達到熟練應(yīng)用的程度. 另外，對已經(jīng)學習的等差數(shù)列的通項公式的知識和后續(xù)等比數(shù)列的知識，要能站在函數(shù)和單元設(shè)計的角度有一個整體性的把握.

數(shù)學課型按教學內(nèi)容和形式分類，可分為概念課、規(guī)則課、解題課、復習課等，“等差數(shù)列的前n項和”是一節(jié)典型的規(guī)則課，內(nèi)容非常傳統(tǒng)，是很多優(yōu)質(zhì)課評比參賽教師喜歡選擇的課題. 下面就執(zhí)教教師的授課過程，從高中數(shù)學規(guī)則課的視角談?wù)劰P者的看法.

一、關(guān)于數(shù)學“規(guī)則課”

掌握和運用規(guī)則是人類發(fā)展歷程中非常重要的一種智慧型技能，屬于學習過程中的程序性知識. 同樣地，數(shù)學規(guī)則也應(yīng)該作為程序性知識來學習.

高中數(shù)學規(guī)則課一般是指將高中數(shù)學中的法則、公式、定理和數(shù)學基本題的解法等數(shù)學規(guī)則的教學作為任務(wù)的一類課型. 數(shù)學規(guī)則課的課堂教學應(yīng)該能讓學生通過較多的例證來說明規(guī)則反映的關(guān)系，以及運用規(guī)則在適用的不同情境中靈活解決問題. 一般來說，要經(jīng)歷“數(shù)學規(guī)則是什么和為什么是這樣”的理解過程，還要明確相關(guān)數(shù)學規(guī)則之間的關(guān)系，這其實就是對規(guī)則的理解. 最后還要能“用規(guī)則去辦事”，這就是將習得的數(shù)學規(guī)則運用到具體情境中去分析問題和解決問題，是數(shù)學規(guī)則的遷移和應(yīng)用.

規(guī)則課教學一般有三個階段：習得階段、轉(zhuǎn)化階段、遷移階段. 下面主要從習得階段和轉(zhuǎn)化階段對本節(jié)課進行闡述.

二、本節(jié)課的“習得階段”

這一階段主要解決規(guī)則是什么，為什么是這樣，以及它與相關(guān)規(guī)則之間的關(guān)系.

1. 探索求等差數(shù)列的前n項和公式的方法

規(guī)則的發(fā)現(xiàn)和證明過程中蘊涵著豐富的數(shù)學方法和數(shù)學思想，也包含著數(shù)學家的智慧.

（1）從閱兵隊形到點陣.

本節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)匠心獨運、頗具創(chuàng)意. 通過讓學生觀看閱兵訓練視頻，以現(xiàn)實情境激發(fā)學生的愛國之情. 引導學生用數(shù)學眼光觀察視頻中的隊形，從中抽象出“點陣”，進行數(shù)學建模. 整個過程讓情境中的形與數(shù)相互印證，貫穿著師生、生生的相互探究，使問題的發(fā)現(xiàn)和提出都有著幾何背景的支持與驗證.

（2）從多種方案到首尾配對.

在構(gòu)建等差數(shù)列模型之后，繼續(xù)內(nèi)化等差數(shù)列中的基本要素，引出求和的概念. 在探索求和方法的過程中，嘗試多種方法，深入分析問題本質(zhì)，追根溯源.

這個過程中經(jīng)歷了拆式（留中間一項或留末尾一項）、添項（補齊偶數(shù)項），甚至可能引發(fā)奇、偶項分類討論等，給了學生提出問題和分析問題的機會，利于形成基于數(shù)或形視角的多個方案，上述方案都體現(xiàn)了化歸思想，核心方法還是為了配對，本質(zhì)是將等差數(shù)列轉(zhuǎn)化為常數(shù)列，相對應(yīng)于圖形，則是補形，轉(zhuǎn)化為常見的矩形. 執(zhí)教教師能以學生為主體主導課堂教學. 從以上開放式的探究活動中，回歸到問題解決的優(yōu)化，從數(shù)的運算角度考慮運算策略，帶領(lǐng)學生體驗數(shù)學思考歷程，最終達到形散而神不散的教學效果，從而提出解決問題的一般方案，即倒序相加法. 學生的數(shù)學運算素養(yǎng)得到了很好的發(fā)展.

2. 等差數(shù)列的前n項和公式的理解和變形

規(guī)則的理解階段是從多角度闡釋、內(nèi)化規(guī)則原理的過程.

（1）從“知三求一”到“知三求二”.

經(jīng)歷探索等差數(shù)列的前n項和公式的過程后，公式的得出已經(jīng)是水到渠成，但本節(jié)課并未停止探究，而是回到特殊數(shù)列基本量的問題分析上來，既延續(xù)了等差數(shù)列通項公式的知識，也為后續(xù)等比數(shù)列的學習做好鋪墊. 通過給出條件“ 已知a1，an，n”“已知a1，d，n”分別讓學生自主推導等差數(shù)列的前n項和公式，既回顧了之前的“知三求一”，更突出“知三”的意義所在，并拓展到“知三求二”，其推導過程中隱含了前n項和與通項的關(guān)系，從而加深了學生對公式的理解.

（2）從代數(shù)形式到拓展理解.

等差數(shù)列的前n項和公式推導得出之后，為了尋求數(shù)學規(guī)則的多角度理解，本節(jié)課繼續(xù)對公式的兩種代數(shù)形式設(shè)計一連串的拓展性問題. 例如，“能否從幾何角度找到公式的直觀解釋”“你能指出兩個公式之間的關(guān)系嗎”等. 強化公式的幾何理解，突出公式的函數(shù)理解，體會數(shù)學的整體性，也使數(shù)學規(guī)則通過問題思考和形式轉(zhuǎn)化的方式得到了內(nèi)化.

三、本節(jié)課的“轉(zhuǎn)化階段”

這一階段主要解決規(guī)則如何由第一階段習得的陳述性形式轉(zhuǎn)化為程序性形式，也就是解決“怎么辦”的問題. 重點在于明確在一些典型情境中運用規(guī)則辦事的程序和步驟.

“知三求二”，選擇公式，優(yōu)化解法，追求簡約.

例2? 求出圖1、圖2中各區(qū)域的總?cè)藬?shù).

回歸“情境”，解決實際問題.

通過練習使學生鞏固對公式的理解和應(yīng)用，體會從一般到特殊的過程.

以上例題和練習題甄選了典型題目，讓學生明確了等差數(shù)列的前n項和公式運用的程序和步驟，同時也能回歸到引入的情境，前后呼應(yīng)，引發(fā)學生的共鳴. 不足之處是練習題沒有引入變式習題，應(yīng)該通過變式練習，提高學生的公式運用能力，幫助學生掌握使用數(shù)學規(guī)則解決問題的技能.

四、總結(jié)

本節(jié)課的教學過程圍繞提升學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)，在等差數(shù)列的前n項和公式的發(fā)現(xiàn)、證明、理解、運用中，將知識點教學轉(zhuǎn)化為數(shù)學思維的訓練和數(shù)學思想的滲透.

1. 獨具匠心，經(jīng)典問題創(chuàng)新意

引入情境以閱兵視頻為背景，視頻中隊列的變化帶來強烈的視覺沖擊，激發(fā)了學生的民族自豪感. 基于情境從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，貫穿了整節(jié)課的探究活動過程，讓等差數(shù)列的前n項和這個經(jīng)典課題的設(shè)計和實施都具有了新的創(chuàng)意.

2. 問題引領(lǐng)，探究學習溯本源

教師截圖提取特殊隊列，設(shè)計問題串引領(lǐng)學生進行探究，用數(shù)學眼光進行觀察，經(jīng)歷了隊列到點陣的變化，進而提出課題進行自主探究. 在教學過程中，讓學生體驗了求和的各種路徑，方法靈活多變，最終殊途同歸，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新意識.

3. 數(shù)學育人，發(fā)展素養(yǎng)水到渠成

整節(jié)課是執(zhí)教教師引導下的學生不斷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、探尋方法、擬訂方案、實施踐行、評估成果、優(yōu)化選擇的過程，較好地落實了“四基”，提高了“四能”，發(fā)展了學生的數(shù)學學科核心素養(yǎng). 數(shù)學育人潛移默化、水到渠成.

參考文獻：

[1]中華人民共和國教育部制定. 普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）[M]. 北京：人民教育出版社，2018.