“線性相關”教學案例及分析

曾振新

摘 要：“線性相關”概念是線性代數中的一個重要概念，它承擔著線性代數課程承前啟后的作用，無論是教師教還是學生學習“線性相關”概念都需要站在一個比較高的位置，即思考和解決問題的方法需要比較全面細致，因為教學中師生對數學概念的感知、認識，反映了他們對數學相互關系的根本看法.

關鍵詞：線性相關;教學案例;問題解決;建議

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）15-0020-03

美國學者薩普認為，“概念在數學中不僅是首要的，而且實際上就是一切;在很大程度上，‘數學對象’沒有獨立的或超過概念之外的存在”.《線性代數》課程中，有許多概念需要認真學習和領會，特別是在線性空間的知識內容中碰到的概念會更多一些.

一、關于線性相關概念的分析案例

線性空間的基本元素是向量，向量之間的第一層關系是“線性組合”或者稱“線性表示”.然而，與之密切相關的“線性相關性”在《線性代數》整個課程中卻占有很重要的位置.

《線性代數》教材中關于“線性相關”的定義是這樣表述的：

對于向量組α1，α2，…，αs，如果存在不全為零的數k1，k2，…，ks使關系式

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

成立，則稱向量（組）α1，α2，…，αs線性相關;否則稱向量（組）α1，α2，…，αs線性無關.

滿足上面等式的不全為零的數k1，k2，…，ks，稱為向量組α1，α2，…，αs的一組相關系數.

1.教學分析

一個數學概念的給出，總要回答這樣兩個問題，一是為什么，即有什么作用.二是怎么做，即如何解決這樣的問題.

本定義提供的重要信息是它是用來判別一組向量是否是線性相關或線性無關的，即它的作用.很明顯，在定義中，給出了基本條件有兩個，即：

（1）有s個向量α1，α2，…，αs;

（2）s個實數k1，k2，…，ks.

顯然，定義中，也給出了兩個判斷條件即：

（1）滿足一個線性關系即：k1α1+k2α2+…+ksαs=0;

（2）s個不全為零的數或s個全為零的數.

本定義提供的第二個信息是如何來判斷一組向量是線性相關或線性無關.因為判斷條件是一個等式及這個等式中的這s個數即k1，k2，…，ks，因此，解決問題的關鍵因素是求出k1，k2，…，ks這s個數，即解齊次方程.

2.問題解決分析

對任意向量組α1，α2，…，αs，總有

0α1+0α2+…+0αs=0，

問題是是否存在不全為0的數k1，k2，…，ks，使得關系式或方程

k1α1+k2α2+…+ksαs=0

成立，若存在，則α1，α2，…，αs線性相關;若不存在，則α1，α2，…，αs線性無關（不存在的意思是k1α1+k2α2+…+ksαs=0充分必要條件是k1=k2=…=ks=0）.

此問題的關鍵點是求關于未知數x1，x2，…，xs的線性方程

x1α1+x2α2+…+xsαs=0

的解，有非零解，即α1，α2，…，αs線性相關;若僅有零解，則α1，α2，…，αs線性無關.

3.邏輯關系分析

我們知道，數學課程的設置總是以演繹嚴謹的思維、表現慎密的邏輯關系，來達到培養人的心智功能，并鼓勵人們求真、向善、唯美為目的的學科.所以數學學習的過程就是一段邏輯演繹的過程，《線性代數》也不例外.

顯然，無論是解齊次線性方程組還是一般線性方程組，都需要矩陣的知識，即矩陣的初等變換，重點是矩陣的秩.求矩陣的秩還需要行列式的知識，環環相扣，缺一不可.

而線性相關概念后的知識走向，就是求極大線性無關組，得出線性方程的基礎解系，從而獲得線性方程的全部解.還可得到線性空間的基，線性空間的維數及任意線性空間向量的坐標，這是其中一個落腳點.

綜上所述，認識、理解和解決數學概念問題的基本方法應該是：了解概念的過去，然后再思考它的未來.

二、相關問題解決案例分析

1.例題評析

例 設空間任意向量α，β，γ，證明：α+β，β+γ，γ-α線性相關.

方法一 常規的解法是應用定義，即先求解線性方程組：x1（α+β）+x2（β+γ）+x3（γ-α）=0的解，然后再來判斷.

證明：可以設有一組數k1，k2，k3使k1（α+β）+k2（β+γ）+k3（γ-α）=0成立，整理得

（k1-k3）α+（k1+k2）β+（k2+k3）γ=0.

由α，β，γ線性無關，故

k1-k3=0k1+k2=0k2+k3=0

因為10-1110011=0，故方程組僅有零解，即：k1=k2=k3=0，

因而向量組α+β，β+γ，γ-α線性相關.

本法證明中規中矩，邏輯平穩、嚴密，體現出了數學思維（演繹推理的思想方法）的普遍現象，是一種常用的解題方式.

然而，解題中也有少數學生給出了如下證明，

方法二

證：∵α+β=（β+γ）-（γ-α）

∴α+β，β+γ，γ-α線性相關.

方法三

證：由∵（α+β）+（β+γ）+（γ-α）=2（β+γ）得（β+γ）=（α+β）+（γ-α），∴α+β，β+γ，γ-α線性相關.

能給出方法一、方法二這樣的證明，需要有一定的聯想能力，即應用相關的定理：“向量組線性相關的一個充要條件是向量組中有一個向量是其余向量的線性組合”來證明該結論.而在文中的《線性代數》教材中沒有例出該定理的情況下，有學生能夠考慮到這種簡明的方法，干凈利落，很出乎意料.

方法四 應用矩陣的秩來判斷，設ξ1=α+β，ξ2=β+γ，ξ3=γ-α則（ξ1，ξ2，ξ3）=（α，β，γ）10-1110011可知對應矩陣A=10-1110011=0.

從而ξ1=α+β，ξ2=β+γ，ξ3=γ-α線性相關.

問題思考：如果上題條件改變為設空間向量α，β，γ線性相關，證明：α+β，β+γ，γ-α線性相關.事實上，這可以把它看作是原例題的特例.

當然，相對于一部分人來說，這么反復折騰一個概念也沒有什么實際意義.在柏拉圖主義看來，數學的研究和學習并不是為了要有實用價值，而是為了最高形式的理性訓練，對絕對理念的感悟和認識，以及對哲學研究有益.

2.線性相關性的幾何解析基本概念：

①兩向量共線的充要條件是它們線性相關.

②三向量共面的充要條件是它們線性相關或混合積為0.

③空間的任意四個或以上的向量總是線性相關.

方法五 僅證明混合積為0.即：

（α+β，β+γ，γ-α）=0

∵[（α+β）×（β+γ）]（γ-α）=[α×β+α×γ+β×β+β×γ]（γ-α）=（α×β）γ+（α×γ）γ-（β×γ）α=0

或∵（α+β）×β=α×β

（β+γ）×β=-γ×β

（γ-α）×β=γ×β-α×β

∵[（α+β）+（β+γ）+（γ-α）]×β=0

∴α+β，β+γ，γ-α向量共面即線性相關.

方法六 設α，β，γ是三維空間的任意向量，并令

α=（x1，y1，z1），β=（x2，y2，z2），γ=（x3，y3，z3）

則有

（α+β，β+γ，γ-α）

=x1+x2y1+y2z1+z2x2+x3y2+y3z2+z3x3-x1y3-y1z3-z1=0

所以三向量α+β，β+γ，γ-α線性相關.

可以看出，線性代數與空間解析幾何也有密切的聯系，本來《線性代數》研究的主要內容就是向量.而幾何的基本元素是點、線、面相對應也是向量.因此，在討論線性空間的概念時，用幾何的方法來思考也是學習者常常用到的.

三、問題推廣及一題多解案例

例1 設向量α1，α2，…，αn線性無關，證明：向量組

β1=α1，β2=α1+α2，…，

βn=α1+α2+…+αn也線性無關.

證明

方法一 由于向量組α1，α2，…，αn線性無關，則可作為n維空間的一組基，從而向量β1=（1，0，0，…，0），β2=（1，1，0，…，0），

β3=（1，1，1，…，0），……，βn=（1，1，1，…，1），由行列式知

100…0110…0111…0……………11111=1≠0，從而有β1，β2，…，βn線性無關.

推廣應用：對于向量

β1=（1，1，1，…，1），β2=（a11，a12，a13，…，a1n），β3=（a21，a22，a23，…，a2n），……，βn=（an-11，an-12，an-13，…，an-1n）

有ai≠aj（因為αi≠0（i=1，…，n））不然α1，α2，…，αn線性相關.β1，β2，…，βn應用范德蒙行列式，向量組線性無關，否則線性相關.

方法二 按定義設存在k1，k2，…，kn∈R，使k1β1+k2β2+…+knβn=0.

從而有

k1α1+k2（α1+α2）+…+kn（α1+α2+…+αn）=0

（k1+k2+…+kn）α1+（k2+k3+…+kn）α2+…+knαn=0，而α1，α2，…，αn線性無關，即有

k1+k2+…+kn=k2+k3+…+kn=…=kn=0，

所以，k1=k2=…=kn=0即向量組β1，β2，…，βn線性無關.

例2 求向量組α1=（2，4，2），α2=（1，1，0），α3=（2，3，1），α4=（3，5，2）的一個極大無關組，并把其余的向量用該極大無關組線性表示.

解 方法一 常規解題，由3維向量組α1，α2，α3，α4得到對應矩陣并實施初等行變換：A=

242110231352→121110231352→1210-1-10-1-10-1-1→121011000000

得矩陣的秩為2，且極大無關組為α1，α2.

再由方程x1α1+x2α2=α3和方程x1α1+x2α2=α4分別得到兩個方程組：

2x1+x2=24x1+x2=32x1=1和2x1+x2=34x1+x2=52x1=2

從而解得x1=12x2=1和x1=1x2=1，

即：α3=12α1+α2α4=α1+α2

方法二 對矩陣A=（α1T，α2T，α3T，αT4）僅施以初等行變換：

A=212341352012→21230-1-1-10-1-1-1

→212301110000→1012101110000

由最后一個矩陣可知：α1，α2為一個極大無關組，從最后一個矩陣直接得知：

α3=12α1+α2α4=α1+α2

方法三 將α1，α2，α3，α4作為矩陣的行向量組，得矩陣

A=242110231322

對A施以初等行變換，化為階梯形矩陣，并在矩陣右側標注所作的變換：A→2420-1-10-1-10-1-1α1α2-12α1α3-α1α4-32α1

→2420-1-1000000α1α2-12α1α3-α1-（α2-12α1）α4-32α1-（α2-12α1）

由最后的階梯形矩陣可知，α1，α2為一個極大無關組，通過對每一步的計算紀錄得到：

α3-α1-（α2-12α1）=0，

α4-32α1-（α2-12α1）=0，

所以α3=12α1+α2α4=α1+α2.

事實上，本題是一道典型的關于線性相關性的例題，即是對線性相關性概念學習的一個小結，也是這一章節學習的主要目標.

四、問題和展望

現在很多學生也包括相當一部分教師流行數學學習的“無用論”，但從以上的理解和解題中，我們分明看到了智慧的光芒.實際上，數學以嚴謹的邏輯思維為手段的學習方式能夠充分發揮人的心智功能，從而使數學具備了除了應用價值以外的理性價值.

近一兩百年間，全世界的專業學院在各自的領域內做出的最大貢獻，可能不在于培養多少實用型的工程師、律師或醫生，而在于開展了大量看似無用的科學活動.某種程度上，數學活動就是這樣的一種科學活動.從這些無用的科學活動中，我們獲得許多發現，它們對人類思想和人類精神意義之重大，遠遠勝過這些學院建立之初力圖達成的實用成就.

數學教與學原則從來都是讓學生了解數學知識“從何而來，到何處去”.如果我們遵循這一原則，那么，我們就會站得更高，看得更遠，想得更透.

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[責任編輯：李 璟]