同構法在2020年高考中的應用研究

李昌成 張珍

摘 要：同構法是一個重要的數學解題方法.2020年高考中有些難題可以使用這個方法突破.通過對具體例子的分析、解答、評析，拋磚引玉，以期引起大家注意，并在適當的時候使用這個方法，提高解題準確率和知識應用層次.

關鍵詞：同構法;高考;應用

中圖分類號：G632文獻標識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0061-02

一、同構法簡介

數學中很多式子的結構就反映了本質，具備了結構才具有其性質.同構法就是利用同構式解題的方法.同構式是結構相似，架構相同的式子.利用同構法解題的基本步驟有：（1）構造合理正確的同構式;（2）利用相關性質解題;（3）回歸題目，完成解答.

二、應用舉例

解答指數函數、對數函數、三角函數、平面向量、數列、導數以及不等式等模塊的試題時，經常會用到同構法.下面以2020年高考數學試題為例，談談同構法的應用.

例1 （全國Ⅱ卷理科第11題，文科第12題）若2x-2y<3-x-3-y，則（）.

A. ln（y-x+1）>0B. ln（y-x+1）<0

C. ln|x-y|>0 D. ln|x-y|<0

分析 以指數式的指數為研究對象，將原不等式變為2x-3-x<2y-3-y，構造函數ft=2t-3-t，易判斷ft在R上單調遞增.由單調性的定義知x<y，以此判斷各選項中真數與1的大小關系，進而得到結果.

解 由2x-2y<3-x-3-y移項得：2x-3-x<2y-3-y.

令ft=2t-3-t，則f（x）<f（y）.

因為y=2x為R上的增函數，y=3-x為R上的減函數，所以ft為R上的增函數，所以x<y，

所以y-x>0，所以y-x+1>1，所以lny-x+1>ln1=0，因此，A正確，B錯誤;而x-y與1的大小沒有信息能確定，故C，D無法確定.

綜上，選A.

評析 本題考查了指數函數的性質，對數式的大小的判斷，解題的關鍵是構造函數ft=2t-3-t，構造的依據是函數的概念，解析式的相同結構.利用該復合函數的單調性得到x，y的大小關系，解題過程滲透了轉化與化歸的數學思想.

例2 （全國Ⅰ卷理科第12題）若2a+log2a=4b+2logb4，則（）.

A. a>2b B. a<2b C. a>b2 D. a<b2

分析 從指數式、對數式的底數入手，結合指數式、對數式運算性質，構造函數f（x）=2x+log2x，利用放縮技巧，根據f（x）的單調性可得到正確答案.

解 設f（x）=2x+log2x，易知f（x）為增函數，因為2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b，而22b+log2b<22b+log22b，所以2a+log2a<22b+log22b.

即f（a）<f（2b），所以a<2b.

綜上，選B.

評析 本題以指數函數、對數函數以及指數、對數的運算為基礎，主要考查函數、方程、不等式的關系，突破口是同構法的應用.恰當放縮才能利用函數f（x）=2x+log2x的單調性比較大小，也是本題壓軸的原因所在.

例3 （全國Ⅲ卷文科第10題）設a=log32，b=log53，c=23，則（）.

A. a<c<b B. a<b<c C. b<c<a D. c<a<b

分析 已知的a，b都是對數式，c=23=2·13是一個分數，因此必須從形式上改進統一.考慮到c的分母，分別將a，b改寫為a=13log323，b=13log533.根據需要，結合對數恒等式n=logaan，c可以有不同的形式，但須與a，b有相同的結構，才可以利用對數函數的單調性解題.

解因為a=13log323<13log332=23=c，

b=13log533>13log552=23=c，所以a<c<b.

綜上，選A.

評析 本題在結構上進行了3次大的處理，一是給a，b統一配系數13;二是兩次2的構造是在左邊對數底數引導下進行的，才使得同樣結構的對數式準確出現.同構法用得十分巧妙.解題過程雖簡潔，但思維含金量高.

例4 （江蘇卷第11題）設{an}是公差為d的等差數列，{bn}是公比為q的等比數列.已知數列{an+bn}的前n項和Sn=n2-n+2n-1（n∈N+），則d+q的值是.

分析 等差數列和等比數列前n項和公式都有獨特的形式，已知的前n項和Sn可分成等差數列的前n項和與等差數列的前n項和，依據形式特征分別求得an，bn的公差和公比，最后求得d+q的值.

解 設等差數列an的首項為a1，公差為d;等比數列bn的首項為b1，公比為q，依據題意知q≠1.

an的前n項和公式為

An=na1+nn-12d=d2n2+a1-d2n，

bn的前n項和公式為Bn=b11-qn1-q=-b11-qqn+b11-q，

依題意Sn=An+Bn，即n2-n+2n-1=d2n2+a1-d2n-b11-qqn+b11-q，

依據結構，比較系數得d2=1a1-d2=-1q=2b11-q=-1，解得d=2a1=0q=2b1=1.所以d+q=4.

評析 本題依據已知Sn=n2-n+2n-1=（n2-n）+（2n-1）的特點，恰當地利用了等差數列和等比數列前n和的公式結構，利用同構法準確建立出四元方程組，思路簡潔，預算量小，充分展示了同構法的優越性.

例5 （全國Ⅰ卷文科第16題）數列{an}滿足an+2+（-1）nan=3n-1，前16項和為540，則a1=.

分析 已知中存在（-1）n，所以必須對n為奇偶數分類討論，進而得出奇數項、偶數項各自的遞推關系.根據奇數項遞推關系將各奇數項用a1表示出來，根據偶數項遞推關系將相鄰偶數項和用數值表示出來，從而建立關于a1方程，即可解出a1.

解 an+2+（-1）nan=3n-1，

當n=2k-1，k∈N*時，an+2=an+3n-1①

當n=2k，k∈N*時，an+an+2=3n-1②

設數列an的前n項和為Sn，依據①②的結構特征得

S16=a1+a2+a3+a4+…+a16

=（a1+a3+a5…+a15）+[（a2+a4）+…（a14+a16）]

=[a1+（a1+2）+（a1+10）+（a1+24）+（a1+44）+（a1+70）+（a1+102）+（a1+140）]+（5+17+29+41）

=8a1+484=540.

解得a1=7.

評析 本題表象上考查數列的遞推公式，實際上巧妙地考查了同構法，對①②兩式的結構必須深刻理解，否則難以應用，這屬于信息題的范疇.對于①還有等差數列的印跡，通過遞推能實現各項向a1的轉化.對于②學生不曾接觸，是一個新鮮模式，必須理解到：相鄰偶數項和是與a1無關的一個實數，否則無法推進解答.整個解題過程都離不開遞推關系的結構引領.

三、練習鏈接

1.已知函數fxx∈R滿足f-x=2-fx，若函數y=x+1x與y=fx圖象的交點為x1，y1，x2，y2，xm，ym，則∑mi=1xi+yi=（）.

A.0B.mC.2mD.4m

參考答案：B.（提示：利用中心對稱的結構特征解答.）

2.設函數f ′（x）是奇函數f（x）（x∈R）的導函數，f（-1）=0，當x>0時，xf ′（x）-f（x）<0，則使得f（x）>0成立的x的取值范圍是.

參考答案：x<-1或0<x<1.（提示：利用商函數的導數式結構解答.）

有些式子的結構很明顯，可以直接使用同構法解題，如例1、例4;有的式子結構不明顯，需要重構，重構的關鍵在于對問題本質的把握，湊足條件，如例2、例3;有的式子的含義是臨時賦予的，需要在當時的情景中比對應用，如例5.同構法解題相對靈活，既需要扎實的基本功，又有相當的靈活性.它往往是突破難題的有力武器.

參考文獻：

[1]任志鴻.十年高考[M].北京：知識出版社，2016.

[責任編輯：李 璟]