應(yīng)用逆向思維提高數(shù)學(xué)認(rèn)知和分析力

【摘 要】逆向思維是思維能力的重要組成部分，培養(yǎng)思維能力要重視逆向思維的應(yīng)用與發(fā)展。通過(guò)逆向思維在教學(xué)中的應(yīng)用可以很好地提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解認(rèn)知，通過(guò)逆向思維在推理、證明中的應(yīng)用實(shí)現(xiàn)對(duì)數(shù)學(xué)思路的拓寬、分析能力的提升。有效地運(yùn)用逆向思維，不僅有助于學(xué)生快速扎實(shí)的掌握數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則，同時(shí)也能夠幫助學(xué)生提高解題效率，化解初中數(shù)學(xué)的幾何問(wèn)題。

【關(guān)鍵詞】逆向思維;思維能力;分析能力;初中數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，逆向思維是思維能力的重要組成部分，培養(yǎng)思維能力要重視逆向思維的應(yīng)用與發(fā)展。應(yīng)用逆向思維就是改變?cè)械乃季S模式，在解題時(shí)一旦順向思維受阻，則大膽嘗試以問(wèn)題的反方面作為切入點(diǎn)，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題進(jìn)行反方向的嚴(yán)密分析和解釋，從而實(shí)現(xiàn)思考、分析方式的逆向。掌握逆向的思考、分析方式，是提高思維能力的重要途徑，通過(guò)逆向思維的應(yīng)用可以很好地提高學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解認(rèn)知，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思路的拓寬、分析能力的提升，從而在解題缺乏靈感時(shí)有助于突破瓶頸，找到解題的辦法。

一、逆向思維在教學(xué)中的應(yīng)用

初中數(shù)學(xué)中的很多知識(shí)都具有可逆性，例如數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則等命題都存在逆命題，分析逆命題往往能挖掘題中的隱含條件，使一些問(wèn)題迎刃而解。

（一）作為公理的數(shù)學(xué)命題，學(xué)生可以根據(jù)事物性質(zhì)運(yùn)用公理判定是否成立;而逆向思考則根據(jù)公理推出事物具有哪些性質(zhì)。比如平行線的判定公理“同位角相等，兩直線平行”，根據(jù)平行線定義，當(dāng)這兩條直線被第三條直線所截，形成的同位角相等是兩直線平行的充分條件;其逆命題“兩直線平行，同位角相等”則是平行線的性質(zhì)公理，是根據(jù)兩直線平行的條件推導(dǎo)出來(lái)的數(shù)量關(guān)系，在解題時(shí)要教會(huì)學(xué)生根據(jù)題設(shè)和結(jié)論作出正確地選擇。

（二）對(duì)于定理而言，并非所有定理的逆命題都是正確的。比如“對(duì)頂角相等”成立，但“相等的角是對(duì)頂角”不成立;勾股定理成立，而其逆定理也成立。所以，引導(dǎo)學(xué)生判斷定理逆命題的真假性，把題設(shè)和結(jié)論在一定條件下進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣有助于更好地理解定理各量的內(nèi)在關(guān)系。

（三）逆用公式可培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性、變通性，可有效地突破思維定勢(shì)，順利地解決問(wèn)題。七年級(jí)學(xué)習(xí)的平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積等于這兩個(gè)數(shù)的平方差（a+b）（a-b）=a2-b2，反過(guò)來(lái)得到的就是多項(xiàng)式的因式分解。從而在“已知n是整數(shù)，證明：（2n+1）2-1能被8整除?！蹦嬗闷椒讲罟竭M(jìn)行因式分解，最終化簡(jiǎn)得到4n（n+1），再利用整數(shù)性質(zhì)n和n+1必有一個(gè)數(shù)是偶數(shù)，得證這個(gè)整式能被8整除。

（四）有些問(wèn)題需要正用法則求解，有些問(wèn)題卻需要逆用法則才能解決。例如冪的乘方法則：底數(shù)不變，指數(shù)相乘積，代數(shù)表達(dá)式為：（am）n=amn（m、n為正整數(shù)）;積的乘方法則：把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘，代數(shù)表達(dá)式為：（ab）n=anbn（n為正整數(shù)）。在解決問(wèn)題“若a2n=25，b2n=16，則（ab）n=? ? ? ? ? ”，既需要逆用積的乘方法則，又需要逆用冪的乘方法則。

二、逆向思維在推理中的應(yīng)用

解決數(shù)學(xué)問(wèn)題，常規(guī)的思考方法是從已知出發(fā)，由已知得結(jié)論，但有些數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決，靠常規(guī)方法很困難，用逆向思路讓人恍然大悟。有這樣一道題：“有四個(gè)相同的瓶子，怎樣擺放才能使其中任意兩個(gè)瓶口的距離都相等呢？”按照常規(guī)思維可能琢磨很久還找不到答案，那應(yīng)該怎么辦？原來(lái)，如果把4個(gè)瓶口當(dāng)作4個(gè)點(diǎn)，反過(guò)來(lái)想要使4點(diǎn)之間兩兩距離相等怎么辦，很容易想到這是正三棱錐的四個(gè)頂點(diǎn)?；氐筋}目即要把三個(gè)瓶子放在正三角形的頂點(diǎn)，將第四個(gè)瓶子倒過(guò)來(lái)放在三角形的中心位置，答案就出來(lái)了。把第四個(gè)瓶子“倒過(guò)來(lái)”，多么形象的逆向思維。

另外有些題目，如果按照常規(guī)思路來(lái)解答，順著條件一步一步地列出算式求解，過(guò)程比較繁瑣，甚至理不清楚頭緒。這時(shí)候不妨逆向思考，從所敘述應(yīng)用題或文字題的結(jié)果出發(fā)，利用已知條件一步一步倒著分析、推理，直到解決問(wèn)題。如解答問(wèn)題：“為了從500個(gè)外形相同的雞蛋中找到唯一一個(gè)雙黃蛋，檢查員將這些雞蛋按1-500編號(hào)排成一排，第一次先從中取出序號(hào)為單數(shù)的蛋，發(fā)現(xiàn)其中沒有雙黃蛋，他將剩下的蛋又按1-250編號(hào)（即原來(lái)的2號(hào)變?yōu)?號(hào)，原來(lái)的4號(hào)變成2號(hào)……原來(lái)的500號(hào)變成250號(hào)）。又從中取出新序號(hào)為單數(shù)的蛋進(jìn)行檢查，仍沒有發(fā)現(xiàn)雙黃蛋，如此下去……檢查到最后一個(gè)發(fā)現(xiàn)是雙黃蛋，問(wèn)這只雙黃蛋最初的序號(hào)是多少？”這道題如果直接正面計(jì)算雙黃蛋的序號(hào)，序號(hào)繁多且容易出錯(cuò)，但如果從剩下的蛋出發(fā)就可以輕松算出。第一次取出單號(hào)蛋，剩下的蛋的序號(hào)是2的倍數(shù)，因?yàn)樵?00個(gè)蛋，所以還剩250個(gè);第二次取出后，剩下的蛋的序號(hào)是4的倍數(shù)，且還剩125個(gè);第三次取出后，剩下的蛋的序號(hào)是8的倍數(shù)，且還剩62個(gè)……由此計(jì)算得出，第八次取出后，剩下的蛋的序號(hào)是256的倍數(shù)，且只剩1個(gè)。所以這個(gè)雙黃蛋的序號(hào)就是256號(hào)。

三、逆向思維在證明中的應(yīng)用

逆向證明就是從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā)，由果導(dǎo)因，得出原命題成立。這主要是要求學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用分析法、反證法去解決和證明一些從正面難以推出結(jié)論的綜合性比較強(qiáng)的問(wèn)題。

1.加強(qiáng)分析法教學(xué)

在數(shù)學(xué)證明中，按邏輯推理順序和要求來(lái)說(shuō)，應(yīng)從題設(shè)條件出發(fā)，根據(jù)已知的定理和事實(shí)逐步推得要證明的結(jié)論。但在實(shí)際操作中，由已知的概念、定理和法則出發(fā)，可以推出的結(jié)論往往很多，要從中找到我們所需要的結(jié)論，往往很難，而且還容易誤入歧路。若從要證明的結(jié)論出發(fā)，往回追溯題設(shè)條件，一般情況下，都比較容易找到通往題設(shè)條件的途徑，再依此途徑反過(guò)來(lái)便可完成一個(gè)由條件到結(jié)論的證明。這種逆向思維方法就是分析法，該方法分析問(wèn)題時(shí)要求學(xué)生養(yǎng)成“要證什么，需先證什么”的思維模式。

例如，在?ABC中，過(guò)C作∠BAC的平分線AD的垂線，垂足為D，DE∥AB交AC于E，求證AE=CE。

要證AE=CE，常規(guī)思路直接證明E是中點(diǎn)或者通過(guò)三角形全等使AE、CE作為對(duì)應(yīng)邊相等，但觀察圖形后發(fā)現(xiàn)缺少證明條件;要證得結(jié)論，可以嘗試讓AE、CE都等于第三邊，再利用等量代換判斷。通過(guò)∠BAC的平分線性質(zhì)和平行線DE、AB被第三線所截形成的內(nèi)錯(cuò)角相等，可以判斷AE=DE，使得問(wèn)題轉(zhuǎn)變成如何判斷DE=CE?？紤]到CD、AD互相垂直，分別延長(zhǎng)AB、CD交于F點(diǎn)，通過(guò)三角形全等得到∠F、∠ACD對(duì)應(yīng)相等，再利用平行線的性質(zhì)，同位角∠F、∠CDE相等，由等角對(duì)等邊可得DE=CE。

2.加強(qiáng)反證法教學(xué)

反證法是一種假設(shè)結(jié)論的反面成立，在已知條件和“否定結(jié)論”這個(gè)新條件下，通過(guò)推理得出與題設(shè)、公理、定理矛盾的結(jié)論，從而斷定假設(shè)不成立，原命題的結(jié)論一定正確的證明方法。很多直接證明很困難的題目，用反證法可以得到很好的解決。適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用反證法，既能提高解題的靈活性，又能培養(yǎng)思維的活躍性，促進(jìn)思維的發(fā)展。

例如，在?ABC中，∠BAD=60°，∠B=2∠C，BD=CD，求證：∠BAC=90°。

由于大家對(duì)直角三角形特性極其熟悉，看到題目中的描述和已知條件，直覺認(rèn)為所證結(jié)論是理所當(dāng)然的，面對(duì)這種憑直覺都覺得結(jié)論應(yīng)該成立的問(wèn)題，反證法是最好方法。利用已知條件BD=CD，以BC為直徑作圓D，在圓上取一點(diǎn)A'（假設(shè)不與A點(diǎn)重合），并使∠A'BC = 60°，通過(guò)證明A與A'重合，從而說(shuō)明∠BAC=90°。

逆向思維在初中數(shù)學(xué)階段教學(xué)的重要性非同一般。有效地運(yùn)用逆向思維，不僅有助于學(xué)生快速扎實(shí)地掌握數(shù)學(xué)公理、定理、公式、法則，同時(shí)也能夠幫助學(xué)生提高解題效率，化解初中數(shù)學(xué)的幾何問(wèn)題。

【參考文獻(xiàn)】

[1]王宗煜.關(guān)于數(shù)學(xué)中逆向思維的運(yùn)用[J].亞太教育，2016（35）.

[2]陳婉妹.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中逆向思維訓(xùn)練的實(shí)踐與探索[J].數(shù)理化解題研究（初中版），2010（8）：8-11.

[3]劉勤.策略不是教出來(lái)的“解決問(wèn)題的策略——倒推法”教學(xué)思考[J].江蘇教育，2008（8）：39-40.

（責(zé)任編輯：周瑋凌）

深圳市龍華區(qū)行知中學(xué) 黃瑞金