高中學生數學解題策略的培養

張玲

摘 要：數學是培養學生思維的一門學科，拿到一道題目后如何去思考，采用什么方法去處理和解決，是我們解答數學題的第一步。教師只有指導好學生的解題策略，才能提高學生分析、解決數學問題的能力，提高學生的數學學習興趣和效果。

關鍵詞：解題策略;思想方法;轉化與化歸;數形結合

問題是數學的心臟，數學是在不斷的提出問題，解決問題中得到發展和完善的。學習數學，離不開解題，解決數學問題既可以鞏固基礎知識、又加深了知識的理解，更是提高學生的數學素養、發展思維，培養創造性能力的手段。

一、研究的意義

求解論證數學問題是數學學習的重要組成部分。很多同學一提到學數學就頭痛畏難，拿到數學題目無從下手，其實究其本質，除了部分同學學習不認真、基礎知識掌握不扎實外，更多的同學是沒有掌握解決數學問題的解題策略和方法，存在解題能力的缺失。我們教師只有指導好了解題的策略和方法，學生在解數學題目過程中才有著陸點，才能讓學生可以動筆去做，去嘗試進行后面的運算、論證。所以教會他獨立思考處理數學問題的方法，培養學生的數學解題策略能力，是現在學生的迫切需求。著名數學家波利亞在《數學的發現》一書中指出，任何一門學問都由知識和技能兩部分組成，而且學會一種技能遠比掌握一個知識要重要的多。所以學生學會解題的策略和方法，對他數學學習興趣和效果的提升就顯得更加重要。

二、研究的方法

針對教學中發現的問題，制定了培養解題策略的方法。

（一）解題策略的奠基，扎實的基礎知識

在新授課的教學中，要重視知識的深入理解、全方面的認識，指導學生對章節的知識進行整理，樹狀圖或者思維導圖的方式比較形象直觀，幫助學生建立相應章節完整的知識體系。針對基礎薄弱的同學可以經常抽測，以基礎題目為載體進行檢查或以問題鏈的形式進行追問式當面反饋，幫助學生掌握和理解。為學生正確理解題目奠定基礎。

（二）解題策略的思想，轉化與化歸思想

解決數學問題其實就是把用圖形，文字，數學符號等表示形式敘述的問題進行轉化與化歸。

著名數學家波利亞說過“所謂解題就是將我們要解決的問題轉化為以往解決過的問題”。這其實就是一種轉化。轉化時既可以從陌生向熟悉轉化，抽象向具體轉化，也可以從函數與方程的轉化，數與形的轉化中去尋求問題解決的途徑和方法。列舉部分如下：

1.簡單化原則

有些經典問題根據學生的實際情況，可以幫助他總結出解決這類問題的簡單方法，對他的掌握更有效果。

例1.將函數圖像上的各點橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到函數g（x）的圖像，若，其中x1，，則的最大值是（ ）

解析：由解得，又有f（x）的最小正周期T=2π，A=1>0，所以可以利用五點作圖法得到函數的圖像如下：

再把圖像上個點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標保持不變就可以得到函數g（x）的圖像如下：

圖像上點，，所以g（x）的最小正周期為π。由此可得，。分析，可以得到g（x1）和g（x2）的值應該一個為1，另一個為-1。觀察圖像找到內最左側和最右側的最值點，然后數一下二者之間有，答案為C。

通過近幾年的教學發現圖像的方法對學生來講更直觀，正確率更高一些，所以在解決解析式為的問題中，指導學生掌握五點作圖法得到函數的圖形來直觀理解題目，求解就會相對容易。有些經典的題目需要我們幫助學生建立相應的優化解題策略，讓學生少走彎路，提高解題效率和準確度。

在解題過程中讓學生逐步理解轉化與化歸思想的運用，這樣即使是遇到新信息問題，學生也可以根據自己的數學直覺嘗試去轉化或化歸。

2.解題策略的方式，數量解題與圖形解題

波利亞曾說過，圖形不僅是幾何題目的對象，而且對任何一開始跟幾何沒有關系的題目，圖形也是一個重要的幫手。在數學中，數和形是兩個最主要的研究對象，他們之間有著十分密切地聯系，幾何圖形里都蘊藏著一定的數量關系，數量關系又常常可以通過幾何圖形做出直觀的反映和描述。其實在解決數學問題時，都是在數和形中選擇一種方法作為切入點進行分析、尋求解題策略。所以在平時的解題教學中，我們需要經常不斷地去引導學生往這兩個方面考慮，幫助學生形成思維模式。我跟學生形象的把這兩者比喻為我們的左腳和右腳，你要想走路肯定要抬起一只腳先邁出第一步。而且在教學中結合高考實際，針對不同的題目類型，幫助學生總結解題策略，還可以提高解題速度和效率。下面通過幾個問題我們共同來體會一下解題策略的方式。

1.數量解題

例2.已知直線和橢圓C：，試判斷直線與橢圓的位置關系？

針對初次接觸它的學生來講，這就是考察他解題策略的一道題目。在教學中從學生的回答中我發現有想通過畫圖來判斷的，畫圖可能會產生的錯誤是一種不知道怎么辦，還有一種從圖形著手發現直線與兩坐標軸的交點都在橢圓外面，錯誤的判定直線與橢圓相離;當然也有從代數的角度去考慮的，聯立方程組看解的情況。這其實剛好體現了我們思考的兩個方向數與形。針對這道題目顯然圖形有劣勢，因為直線與坐標軸的交點都在橢圓的外面，會給學生以誤導，所以需要我們去引導學生考慮橢圓的圖形特點它在第四象限是一段凹曲線，所以簡單的從圖形來判斷好像理論依據不夠充分，此時再追問還可以怎么辦？一定會有人回答通過代數的聯立方程組去看交點的個數，所以就引出了位置關系的代數判斷方法，而且這種方法更嚴謹。這里剛好介紹解析幾何的基本思想，借助代數方法解決幾何問題，順理成章。而且在解析幾何解答題的求解中核心思想其實都是代數中的方程不等式思想。講解完此題后可以再追加一個變式練習：直線方程改為又可以怎么判斷呢？此時直線與x軸的交點顯然在橢圓的內部，所以借助圖形就可以快速的判斷出二者的位置關系。最后進行適當總結，在解題中要因題而宜，具體題目選擇具體的方法，適時的在數與形之間進行轉換。

2.圖形解題

例3.已知F1、F2為橢圓的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點.若，則|AB|=? ? 。

對于高二剛剛接觸橢圓的學生來講，還沒有形成這類問題的求解方向和思路，拿到題目后就會產生一種無從解決的狀況，不知道該怎么辦。所以借助該題目剛剛好可以體現數形結合的思想在解題中的運用，啟發學生不妨畫下圖形再觀察看看，借助直觀的圖形再結合橢圓的定義，這道題目不用動筆計算可以直接寫出結果，這里既體現了圖形的直觀性又強調了定義的運用。還給學生解題指明了一個方向，分析圖形找思路，結合代數列式求解。具體解答如下：

先畫出已知的兩個圓，再結合圖形觀察得到符合題意的公切線只有如圖二所示的一條直線DE，然后利用直線與圓相切的條件得到，進一步得到點F（2，0），，然后就可以利用直線的點斜式寫出直線方程，解出。

對比兩種方法，各有優劣，進行總結比較。讓學生體會解決解析幾何小題目的解題策略，往往可以考慮圖形優先。在平時練習中注意解題策略的應用和總結，既鍛煉了數學思維，又提高了學生的解題效率，還增加了數學學習興趣和信心。

結語

解題是一種實踐性的技能，我們是通過模仿和實踐來學會任何一種實踐性技能的。所以在學習解題時，你必須觀察和模仿別人在解題時的做法，最后你通過解題學會解題。在高中數學教學中，要求教師注重對學生解題策略能力的培養，就需要教師精選例題及課后習題，幫助學生逐步形成符合認知發展規律的解題策略，讓每位同學真的能學有所得，學有所用。提高學生的數學學習興趣。從而為社會培養能夠具有獨立提出問題、分析問題、解決問題能力的人才，使高中數學教學符合社會發展以及新課程改革的需求。

參考文獻

[1]波利亞<<怎樣解題-數學思維的新方法>>上海科技教育出版社，2012.7