導數證明雙元不等式的方法

李福安

摘 要：構造函數并利用函數的性質是證明不等式一個常用的方法，同樣，對于雙元不等式證明，如果要用函數性質證明，主要著手點有兩個方向，直接利用函數的性質，比如單調性的定義證明雙元不等式，或者化雙變量不等式為單變量不等式，再用單變量的函數最值等性質證之。當然函數較復雜時，可用導數研究該函數性質。如何化雙元為單元不等式，是這個問題處理的起步，也是一個很關鍵的點。

關鍵詞：雙元不等式;函數的性質;導數法

導數法是證明不等式一個常用的方法，是高考的一個考查熱點，這幾年高考題導數壓軸題經常出現證明不等式。先對函數求導，找出函數的性質，再用該函數的性質：單調性，圖象，極值，最值等等，即可證明不等式。但雙元不等式式子中有雙變量，下面是轉化雙變量一些比較常見的方法：

一、利用雙元關系式，化雙元為單元

由題設先得到雙元的關系式，把目標不等式的雙元消掉一個變量，留單變量即可

剖析：利用已知條件得到雙元的關系方程（組）化掉x1，x2中一個，留另一個，就可看成函數問題，用導數研究該函數對應的性質就可證明目標不等式。

二、利用函數單調性的定義證明雙元不等式

函數單調性定義：當，，恒有，則f（x）在區間D上單調遞增，反之為遞減。把目標不等式構造出模型，將雙元處理到不等式左右兩邊，并使兩邊的結構相同，再用函數單調性的定義即可證之。

三、整體換元構造函數證明不等式

找出雙元關系式方程（組），目標不等式的雙元構造出x1±x2、x1x2、等再換成新變量即可將目標雙元不等式變成單變量函數目標，利用函數性質即可證之。

整體換元要認真觀察目標不等式的結構特征，尤其是對數或指數式子，想辦法把雙元構造成同式子，再整體換元成變量代替，就可變成單變量的函數型研究性質證明達到目標。

四、極值點偏移證雙元不等式

極值點可能左偏或右偏，極值點偏移還是化雙元為函數的單調性性質證之，要巧用消元消參構造函數。極值點有四個要點步驟：

結語

雙元不等式的證明因為雙變量都在變化，求最值難度較大，此類問題如果要用函數方法證明，我們可以往函數的單調性和消雙變量為單變量再利用函數最值等方向來證之，但用函數性質，如何消雙元量為單變量，這是問題的關鍵，再研究單變量函數的對應性質證明不等式即可。