學科育人視角下數學探究型課堂設計的思考

梁舒尹

[摘? ?要]統計是數學的重要組成部分，常與生活中的問題密切相關，因此學生要具備基本的數據分析能力。教學設計以制定水費標準實例為背景，通過設置問題串，層層遞進，引導學生探究性地學習頻率分布直方圖，學會利用樣本分布估計總體分布，理解其作為重要統計圖表的合理性與必要性，體會統計思想，實現思維育人、學科育人。

[關鍵詞]問題導學;頻率分布直方圖;探究型課堂;數學建模

[中圖分類號]? ?G633.6? ? ? ? [文獻標識碼]? ?A? ? ? ? [文章編號]? ?1674-6058（2021）24-0043-03

數學探究課，就是在教師引導下學生參與包括探索、發現在內的獲得知識全過程的課型。探究課中如何體現學科教學的育人功能，需要教師的精心設計。本文以《用樣本的頻率分布估計總體分布》教學設計為例，談談筆者的思考。

本課內容是在學生系統學習基本抽樣方法之后，掌握如何整理、分析數據，從而利用樣本分布估計總體分布。即將學習的用樣本的數字特征估計總體的數字特征以本課內容為基礎，故本課具有承上啟下的關鍵作用。本節課筆者以生活實例為背景，引導學生從發現問題——水資源缺乏，到提出問題——如何制定合理的用水標準，倡導節約用水，再到解決問題——利用頻率分布直方圖，合理地制定標準，運用統計相關知識解決問題。筆者著重從培養興趣、指導方法、鼓勵質疑、鼓勵創新四個方面，挖掘學科育人的內容，培養學生的數學素養，強化思維育人，落實立德樹人目標。以下是五個具體的教學環節。

一、新課引入

【引例】某市政府為了節約生活用水，計劃在本市試行居民生活用水定額管理，即確定一個居民月用水量標準[a]，用水量不超過[a]的部分按平價收費，超出[a]的部分按議價收費。如果希望大部分居民的日常生活不受影響，那么標準[a]定為多少比較合理呢？

【問題1】你認為，為了較合理地定出這個標準，需要做哪些工作？

【設計意圖】通過播放熱點事件——印度水危機的相關視頻引入課堂，引導學生感受水資源的珍貴，增加其作為地球人的責任感，讓學生關注視頻中出現的各種統計圖表。統計圖表的直觀性是單純的大量具體數據不具備的，故其在大數據時代傳遞信息中心扮演著重要角色。統計問題常常與生活息息相關，所以學生對頻率分布表及頻率分布圖的學習是必要的。接著，筆者自然地拋出課本的引例，并提出問題1。這樣的設計能迅速抓住學生的注意力，激發其求知欲，培養其數學建模核心素養，讓其感受到學習本課內容的重要性、實用性及趣味性。

二、概念形成

【問題2】如何根據表1的樣本數據了解居民用水分布情況？

【設計意圖】組織學生對問題2進行討論，以小組討論的形式，讓學生發散思維，主動分享自己的觀點，激發其學習的主動性。培養學生看問題時注重本質、去粗存精、去偽存真、觸類旁通，提高抽象概括的能力。同時，讓學生了解推理的基本程序，按規則辦事。注重學科育人就是注重理性精神的培育，引領學生追求真理、實事求是、不斷創新，這是數學教師義不容辭的責任。學生從已有的知識儲備，容易想到頻數分布直方圖。

【問題3】如何根據數據，畫頻數分布直方圖？畫頻數分布直方圖的步驟。

1.計算最大值和最小值的差。

2.決定組距和組數。

3.列頻數分布表。

4.畫頻數分布直方圖。

追問：如何分組？應該考慮哪些因素？

【設計意圖】根據問題3復習頻數分布直方圖，為后面類比學習頻率分布直方圖奠定基礎。特別針對第2步分組進行追問，引導學生注意在分組時考慮數據的范圍和個數，組數太多或太少都不能較好地呈現數據的分布規律，組距的選擇力求“取整”，組數=[極差組距]。根據統計學經驗，當樣本容量不超過100時，按照數據的多少，常分為5到12組，如表2所示。在分組的過程中體會統計思維與確定性思維的差異，突破第一個教學難點。

【問題4】根據圖1，你能估計50%居民的用水量不超過多少嗎？

【問題5】用小矩形的高度表示頻率不夠直觀，用什么“幾何量”表示頻率更直觀？

【設計意圖】通過對問題4的思考，學生發現要估計50%居民的用水量不超過多少需要轉化為人數的多少再去尋找對應的用水量，因此頻數分布直方圖雖然可以估計總體分布，但不夠直觀，違背統計圖本身的意義所在。因此，進一步引導學生思考如何改進會讓該圖更直觀？學生自然會想到要用縱軸直接表示頻率。結合改進后的統計圖，引導學生繼續觀察，發現用小矩形的高度表示頻率，相比頻數分布直方圖確實直觀些，但是從圖中我們仍不能直觀看出各組頻率累積后的大小情況，因此會進一步思考問題5。學生聯想之前所學的知識，發現在餅圖中，面積表示占比大小，而面積的累積顯然比高度的累積更直觀，從而凸顯頻率分布直方圖的優越性。筆者不停地激發學生思考，使其不斷地發現問題、解決問題，感受到數學是一門精益求精的學科，也能培養其追求卓越的品質。

【問題6】如果小矩形面積表示頻率，縱坐標應表示什么？

【設計意圖】有了之前累積的學習經驗，要使每組矩形的面積表示頻率，用縱軸表示[頻率組距]。至此，學生對于頻率分布直方圖有了初步的認識。縱軸從表示頻數到頻率，再到[頻率組距]，根據圖1、圖2、圖3三個統計圖的對比，學生基本可以理解在頻率分布直方圖中縱軸表示[頻率組距]的合理性，這突破了教學中的第二個難點。在此過程中培養學生的探究精神、邏輯推理核心素養，滲透數形結合的思想。

三、概念深化

【問題7】整個頻率分布直方圖中小矩形的面積和是多少？

【設計意圖】明確頻率分布直方圖中矩形的面積和為1，落實知識點。

【問題8】根據頻率分布直方圖，你能獲取哪些信息？

【設計意圖】組織學生對問題8進行討論，引導學生“讀”圖，聯系實際，結合頻率分布直方圖，運用數學統計語言直觀展示居民用水量分布情況。圖形的角度呈“山峰”狀，且是“單峰”的，還具有一定的對稱性，說明大部分居民的月均用水量集中在一個中間值附近，只有少數居民月均用水量很多或很少。學生可進一步體會頻率分布直方圖通過樣本分布估計總體分布也存在局限性，因為原始數據不能在圖中體現。這落實了本課的教學重點，培養了學生的分析能力。

【問題9】如果市政府希望[85%]左右的居民月均用水量不超過標準，根據上述頻數分布直方圖，你對制定居民月均用水量標準（即[a]的取值），有什么建議？

追問：你認為這個標準一定能保證85%以上的居民用水不超標嗎？如果不一定，那么哪些環節會導致結論的差別？

【設計意圖】回歸引例中的問題，提出問題9，引導學生對“面積”進行累積，自主發現有88%的居民用水量不超過3t，那[a]的取值能否定位為3t？3t滿足政府的要求。結合實際，將標準定位為3t是個整數，便于水費的繳納。因此，將標準定位為3t是合理的，可以考慮。為了培養學生形成對數據處理過程進行初步評估的意識，提出追問的問題，引導學生正確理解統計推斷的結論，頻率分布表和頻率分布直方圖存在隨機性，因此得到的統計結論只是對總體的估計值。

四、應用探索

【問題10】類比畫頻數分布直方圖的步驟，畫頻率分布直方圖的步驟有哪些？

1.計算最大值和最小值的差（即極差）。

2.決定組距和組數。

3.列頻率分布表。

4.畫頻率分布直方圖（縱軸表示[頻率組距] ）。

【設計意圖】類比頻數分布直方圖，歸納總結頻率分布直方圖的作圖步驟，為后續組織學生動手實操打下基礎。

【實驗】如果以0.2和1 為組距重新作圖，頻率分布直方圖有什么變化？

【設計意圖】通過實驗，一方面，讓學生自己動手操作畫頻率分布直方表和頻率分布直方圖，掌握此技能。另一方面，讓學生發現當分組不一樣時，同樣的數據得到的頻率分布直方圖結構會發生變化。因此，依照樣本數據去推斷總體情況會存在偏差，下統計結論是需要進行評估的。

五、總結提高

對本節課內容進行簡單的小結。

1.思想：總體抽樣得到樣本數據，依據樣本估計總體。

2.知識與技能：繪制頻率分布直方圖、頻率分布表，會利用樣本分布估計總體分布。

3.課后思考1：如果改變樣本數據，不改變原有組距，頻率分布直方圖有什么變化？

課后思考2：如果增加樣本數據，不改變原有組距，頻率分布直方圖有什么變化？

通過課后思考題，引導學生探究頻率分布直方圖的規律性和隨機性，進一步深入理解頻率分布直方圖。統計知識的學習較為瑣碎繁雜，但應用廣泛，與我們的生活息息相關。相對于枯燥的概念及公式的講授，如何在教學過程中讓學生感受到統計知識的趣味性與應用性？正如古人所云，“授人以魚，不如授之以漁”。以問題為依托，環環相扣的探究型課堂教學模式，教師注重引導學生發掘知識的內涵與外延，尊重學生的主體地位，加大學生思維的廣度與深度，能夠在日常教學中較好地實現思維育人、學科育人！

（責任編輯? ?黃諾依）