動量守恒之凹槽模型探析

摘要 ：運用動量守恒定律解決凹槽模型一直是高中物理教學的難點，關鍵在于學生對小球相對地面與相對凹槽的運動軌跡理解困難，筆者以教學實踐分享為基礎;以嚴謹的數學推導證明為支撐;以例題多角度說明凹槽模型常見考題問法為拓展，幫助學生走出題海，理解相對運動，動量守恒的本質。

關鍵詞 ：動量守恒定律;凹槽模型;物理教學

中圖分類號：G633.3? 文獻標識碼：A 文章編號：1992-7711（2021）16-063

動量守恒定律是力學三大定律之一，是力時空性質的客觀反映，學生從實驗探究、物理學史發展，牛頓運動定律的推導，逐漸理解了一維直線的動量守恒定律，但對其動量守恒定律的矢量性，相對性的還是模糊的，筆者通過教學實踐找到了科學有效的方法讓學生能更加深層次理解動量守恒定律的內涵。

一、動量守恒定律之凹槽模型教學實踐

一方面是學生抽象性思維還在發育階段，學生難以理解設計相對運動，二維平面的動量守恒定律的應用。另一方面，在教輔資料中的參考答案圖片都是靜態，運動描述都是以文字形式描述，這只能讓學生看到基本方程都是學過的，但自己動筆在思維層面還是受阻，感覺寸步難行。因此，筆者從以下三個方面著手解決學生在學習凹槽模型中學的痛點。

1.可視化教具——感知相對運動

筆者運用氣墊導軌和易形變的窗簾導軌自制光滑平面上凹槽模型，運用手機凝視拍攝功能讓小球相對凹槽的運動盡可能慢下來，讓學生感知運動。在探究合作學習中，明確物體受力與運動的關系;讓學生盡可能準確描述出來，培養學生力與運動觀念，提升物理思維。

2.拆解例題設問——強化過程分析，理解動量守恒

根據受力分析，學生明確了系統所受外力的矢量和為零，進一步升華到運用動量和能量解決此類問題。在問題情境的設計中，將問題步步拆解開，符合學生最近發展區，循序漸進，讓學生感悟能量、動量守恒的應用，在類似的情景中對比，逐步形成能量、動量的觀念，漸漸地能夠運用科學知識分析問題，解決問題。

3.嚴謹數學推導——培養學生的數理思維

為了讓學生進行深度學習，在課堂上拋磚引玉，通過幾何畫板動態演示了小球相對于地面的運動軌跡是橢圓，并向學生發放嚴謹的數學證明例題供學生自主學習，對尖子生來說有助于提升數理思維，能把數學和物理更好的有機結合在一起，感知數學知識在物理中的運用。

二、小球在半圓槽中相對地面運動軌跡證明

例1? 如圖所示，質量為M，半徑為R的光滑半圓形凹槽B，靜止放置在光滑水平面上，質量為m的小球A（可視為質點），從凹槽的左端最高處靜止釋放。

（1）試證小球A的運動軌跡為橢圓？

（2）小球在最低點所受到的支持力？

情景分析

解：（1）以系統質心所在豎直線為y軸，槽水平直徑所在線為x軸建立直角坐標系，下面證明在此坐標系下小球的運動軌跡為橢圓。

初始時小球所在位置坐標（- MR M+m ，0），圓形凹槽方程為（x- mR M+m ）2+y2=R2

∵A、B在水平方向上外力的矢量和為0

∴A、B組成的系統在水平方向上動量守恒，取向右為正

mv1-Mv2=0 得： v1 v2 = M m

對任意位置，由上式知，A向右移動△xA，B必向左移動△xB，且△xB= m M △xA

此時小球的橫坐標為：x=- MR M+m +△xA……①

此時半圓方程為：（x+ m△x M - mR M+m ）2+y2=R2……②

將①代入②可以求出此時小球縱坐標滿足：

（ M+m M △xA-R）2+y2=R2……③

聯立①③消去參數△xA，可得小球的軌跡方程：

[ M+m M （x+ MR M+m ）-R]2+y2=R2

整理可得軌跡方程： x2 （ MR M+m ）2 + y2 R2 =1

【解法一】小球相對地面軌跡不是圓但相對B軌跡是圓，在最低點時，以B為參考系（此時B相對地面沒有加速度，為慣性參考系），A相對B的速度為：

v=v1+v2

由能量守恒與水平方向動量守恒可得：

mv1-Mv2=0

mgR= 1 2 mv21+ 1 2 Mv22

解得：v1=? 2MgR M+m

v2=? 2m2gR M（M+m）

由牛頓第二定律：N-mg=m v2 R 可得：N= 2mg（M+m） M +mg

【解法二】小球相對地面運動軌跡為橢圓，長軸a=R，短軸b= MR M+m

小球在最低點時軌跡的曲率半徑為ρ= b2 a = M2R （M+m）2

由牛頓第二定律：N-mg=m v2 R 可得：N= 2mg（M+m） N +mg

【評析】本題從物理運動規律出發，通過數學嚴格的推導證明讓學生理解物體運動的相對性，明確物相對于地面的軌跡為橢圓，相對于凹槽的運動是圓。

若學生不理解相對運動，筆者認為可以這樣解釋——以凹槽為參考系，即固定在凹槽上的攝像機將拍攝到小球沿凹槽邊緣切線飛出，凹槽是理想的半圓即小球豎直上拋。在地面系看來就是小球和凹槽水平方向速度相等。小球脫離凹槽后，凹槽勻速運動速度與小球水平速度始終相等，所以小球仍然會落回凹槽內。

三、經典例題問法分享

例2 如圖所示，帶有1/4光滑圓弧軌道、質量為M=4kg的滑車靜止置于光滑水平，一質量為m=2kg的小球從A點以水平速度v0=6m/s沖上滑車，求：

（1）若水平軌道光滑，小球恰好到達圓弧的最高點B，求圓弧的半徑R？

（2）若水平軌道光滑，當小球再次運動A點時，小球和小車的速度分別為？

（3）若水平軌道光滑，當小球再次運動A點時，小球對小車做得功？

（4）若水平軌道光滑，圓弧半徑為R=1m，小球相對于小車上升的最大高度又為？

（5）若粗糙的水平軌道長度L=2m，發現小球再次回到A點時做自由落體運動，求摩擦因素μ？

情景分析

解：（1）由水平方向動量守恒，與系統能量守恒得：

1 2 mv20= 1 2 （m+M）v2+mgR

mv0=（m+M）v

解得：R=1.2m

（2）mv0=mv1+Mv2

1 2 mv20= 1 2 mv21+ 1 2 mv22

解得：v1=-2m/s，v2=4m/s

（3）由動能定理得：W= 1 2 Mv22=32J

（4）【解法一】由相對運動，當物體恰好要離開凹槽時，物體的水平速度與凹槽的速度相等（記為v3），即飛離凹槽后，小球在水平方向上相對凹槽靜止，當上升到最大高度時小球豎直方向的速度為零。

1 2 mv20= 1 2 （m+M）v23+mgh

mv0=（m+M）v3

解得：h=1.2m

相對凹槽上升最大高度為：h1=h-R=0.2m

【解法二】從初始時刻到小球剛要離開凹槽時列能量守恒，水平方向動量守恒方程，小球離開凹槽后做斜拋運動，記小球豎直向上的速度為v4結合于運動學方程可得：

1 2 mv20= 1 2 mv23+ 1 2 mv24+ 1 2 Mv23+mgR

mv0=（m+M）v3

解得：v4=2m/sv24=2gh1

解得：h1=0.2m

（5）小球做自由落體運動，說明小球相對于地面的速度為零。而動量守恒的參考系的統一。從初始時刻到小球再次回到A點列動量守恒，能量守恒。

mv0=Mv

1 2 mv20= 1 2 Mv2+μmgL

解得：μ= 9 20

【評析】

此問題經過精心設計，學生只有對兩物體之間的相互作用，以及運動分析有清晰的認識，才能運用守恒觀念進行解題。

綜上所述，新高考后，對學生分析問題和解決問題的能力提出了更高的要求，在題量的限制下，物理大題的綜合性會有所加強，解決此類動量守恒問題，必然會涉及兩個以上的物體作為研究對象，研究對象多，學生的思維就會產生混亂，就把物理基本的受力分析，運動分析丟到一邊，而凹槽模型作為一個學生理解的難點，在教學需教師先應用多媒體手段讓學生先觀察凹槽與小球之間的相對運動，這樣符合人認知自然的客觀規律，更能讓學生理解物理的魅力所在。

【本文系云南省曲靖市教育科學研究課題《核心素養視角下高中物理領域學習指導》的階段性成果，項目編號QJQSKT2019YB07。】

作者簡介：趙學齊（1994.11-），男，云南昆明人，漢族，碩士研究生，二級教師，研究方向：高中物理教學。

（作者單位：曲靖市第一中學，云南 曲靖 655000）