數形結合思想方法在高中數學教學與解題中的應用

何宗建

摘要：高中階段的學生已經有了一定的解題思維和解題方法，掌握了一定的技巧。眾多的解題方法中，數形結合在數學學習的過程中，始終貫穿幾何圖形到數學函數的教學，在解題中應用十分廣泛。因此，本文主要結合例題分析，從數形結合思想在高中數學教學與解題中的應用出發進行初步探討，以求拋磚引玉。

關鍵詞：數形結合;高中數學解題;應用策略

數學在高中階段屬于重點科目，通過數學知識可以解決生活中的很多實際問題。隨著教育、科技的發展，傳統的數學教學方式已經越來越難以滿足當代學生要求簡便、易懂、易掌握的需求。根據多年的教學實踐，我認為數字與形狀相結合的思維方法更容易在高中數學教學中實施。它是一種高效、簡單的解題方法，更容易讓學生理解和掌握。

一、以數解形，以形論數

因為“數”和“形”是一種對應，有些數量更抽象，我們很難把握，但是由于“形狀”形象和直覺的優勢，可以表達更具體的思考，在解決數學問題中起著決定性作用，因此我們可以找到相應的“定量”——“圖形”，用幾何圖形來解決代數的問題。圖形分析是將數量問題轉化為圖形問題，最后通過對圖的分析和推理來解決數學問題的簡便方法。

因此，對于“數”化為“形”這類問題，解決的基本思路是：根據條件中給出明確的目標要求，從已知結論的問題或條件入手，觀察分析其是否為相似研究的基本公式或圖表的表達式，或采用合適的圖形，最后使用或構造圖形屬性、幾何意義等已知條件，解決題目問題所需要解決的目標。

例題分析：已經F1是雙曲線x2-y2/4=1的左焦點，A（1，2），P點是雙曲線右支上的一個動點，那么|PF1|+|PA|的最小值是。

分析：常規的解題思路是采用解析法。將|PF1|+|PA|表示為P的坐標函數求最小值，但是這種方法的運算量較大，容易出錯。因此，我們可以采用“數”轉化為“形”的方法，設雙曲線的右焦點為F2，利用雙曲線的定義|PF1|=2a+|PF2|=2+|PF2|，所以|PF2|+|PA|最小時，|PF1|+|PA|最小，根據雙曲線圖形可以知道，A、P、F2三點共線時，可求出最小值。

二、以形助數，以數論形

對于比較復雜的“圖形”，不僅要對數字圖形進行修正，還要觀察圖形的特征，發現主題中隱含的條件，最大程度地利用圖形或幾何的意義，將自然界的“形”說成“數”的形式，加以分析計算。因此，對于“形”變成“數”這類問題，解題的基本思路是：明確給定題目中對象的條件和愿望，分析給定條件和要求對象的特征和性質，了解圖形中條件或對象的幾何意義，然后根據條件和結論，運用相應的公式或定理等。

例題分析：已知函數f（x）的定義域為（a，b），其導函數在其定義域內的圖像如下所示，那么函數f（x）在（a，b）內有? ? ?個極小值點。

分析：找極小值點就是要找到函數由遞減函數變為遞增函數的點，也就是找到其導函數的值由負數到正數的點，由圖可知，只有1個。

三、數形結合，互相轉化

數形結合通常包括以下幾部分內容：1.實數與數軸上動點的對應關系;2.定量與圖形的對應關系;3.曲線與方程對應關系;4.基于幾何要素和已知條件的概念，如復數運算、三角函數運算及證明等;5.所給出的方程或代數公式的結構具有明顯的幾何意義。

解決這類問題往往需要同時從已知和結論出發，仔細分析并找出內在的“形”與“數”的相互關系。例題分析：若0<a<π/2，求證sina<a<tana。

分析：這類證明題的一般方法是從證明不等式的傳統解題方法入手，但是用這種傳統的解題方法需要運用大量的公式和公式的變形。不僅計算量大，而且學生也容易出錯。因此，我們利用三角函數的定義，構造出一個單位圓和一個直角三角形來組合圖形。認真觀察和分析構造出來的圖形，可以將代數的問題幾何化。

四、結語

為了提高學生數字與形狀相結合的思維能力，教師需要耐心、細心地引導學生學習如何將數字與形狀相結合，用思維理解數字與形狀，用思維運用數字與形狀，用數形結合的思維掌握定量與圖形。數形結合的思想方法有利于學生深刻地理解題目含義，了解題目內在要求，教師應幫助學生形成完整的數學概念，增加學生解決問題的方法，鍛煉學生的邏輯思維以及提高解題能力。

參考文獻：

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