從“得意忘形”到“由數思形”
——以“雞兔同籠”教學為例

◎陳金櫻 (福建省閩清教師進修學校，福建 福州 350800)

平時學習中多數學生缺乏圖形意識，當一個問題用算術或代數方法解決之后，更是“得意忘形”，不會思考問題是否蘊含圖形背景，能否用圖形另辟蹊徑.因此在解決問題之后，教師應提醒學生不要“得意忘形”，還要“由數思形”，能根據數式結構特征，類比聯想相關基本圖形，構建圖形再探解題思路.

一、教學案例

1.問題再現

籠子里有若干只雞和兔.從上面數，有35個頭，從下面數，有94只腳.雞和兔各有幾只？

2.問題探究

師：“雞兔同籠”問題我們已用算術方法解決過，能否用圖形的方法進行研究呢？

生：哪有圖形啊.

師：怎樣計算雞、兔的總腳數？

生：雞的只數×2+兔的只數×4.

師：請大家考慮能否用圖形表示“雞的只數×2+兔的只數×4”？

生：(一片茫然，把求助的目光投向教師).

師：“雞的只數×2”表示兩個數相乘，在熟悉的圖形中有沒有哪個與兩個數相乘有關？

生1：長方形面積等于長×寬.

師：真棒！通過類比，聯想到長方形，請大家畫出相關的長方形.

生：如圖1.

師：為了更好地理解題意，請同學們把相關量標注在圖形中.

生1：如圖2.

師：如何體現雞、兔共35只？

生2：把兩個長方形的長相加.

師：怎樣相加，圖形要怎樣放置？

生2：把兩個長方形拼接在一起，如圖3.

師：好漂亮的圖形！請同學們觀察圖形，看看能發現什么？為便于表述老師把長方形頂點標上字母，如圖4.

生3：發現DG=CG-CD=4-2=2.

師：還發現了什么？有沒有哪些圖形面積是可求的？

生4：BE=35，AB=2,以BE，AB為邊的長方形面積可求.

師：由此還可求什么圖形的面積？

生5：如圖5，長方形ABEH的面積為35×2=70，從而長方形DHFG面積=長方形ABCD面積+長方形CEFG面積-長方形ABEH面積=94-70=24.

師：求兔的只數就是求CE或GF.

生5：GF=長方形DHFG面積÷DG=24÷2=12,即CE=12,所以BC=23,雞、兔分別為23只和12只.

生：(掌聲雷動).

生6：如圖6，BE=35，EF=4，長方形BEFH的面積為35×4=140，從而長方形ADGH面積=長方形BEFH面積-(長方形ABCD的面積+長方形CEFG面積)=140-94=46，AD=長方形ADGH面積÷DG=46÷2=23，即BC=23，所以CE=12，雞、兔分別為23只和12只.

師：同學們太了不起了，通過畫圖“看”出結果來！數學家認為：“數學結論是看出來的，而不是算出來的”，今天你們都是數學家！

生：(激情綻放).

師：能否用面積表示雞、兔的只數？雞的只數=雞的只數×1，兔的只數=兔的只數×1.

生7：雞的只數=雞的只數×1，兔的只數=兔的只數×1，根據算式長方形的寬為1，如圖7，H、M分別為AB、CD中點，則長方形BCMH面積等于雞的只數，長方形CENM和長方形MNKD的面積都等于兔的只數.

師：能求出長方形BCMH和長方形MNKD的面積嗎？

生7(經過3分鐘考慮)：長方形BCMH面積為長方形BCDA面積的一半，長方形CEKD面積為長方形CEFG面積的一半，所以長方形BCMH的面積+長方形CEKD的面積=94÷2=47,從而長方形MNKD面積=47-長方形BENH面積=47-35×1=12，長方形BCMH面積=長方形BENH面積-長方形CENM面積=35-12=23,所以兔的只數為12，雞的只數為23.

師：生7你是這節課的首席數學家！

3.模型揭示

師：大家用算術方法解決“雞兔同籠”時是假設籠子里都是雞或都是兔，其幾何模型就是圖5、圖6.古人假設讓雞抬起一只腳，兔子抬起兩只腳的方法的幾何模型就是圖7.圖形讓抽象復雜的問題變得直觀明了.

生：圖形真神奇！

4.變式鞏固

王老師購買5本相同的文藝書和3本相同的科技書，已知購買文藝書比科技書多花了32元，文藝書的單價比科技書貴4元.文藝書和科技書的單價各是多少元？

教師引導學生探究如下：

書的費用=書的本數×書的單價，由此聯想長方形.如圖8，長方形ABCD，AB=5,AB表示文藝書的本數，AD表示文藝書的單價.由于文藝書費用高于科技書，因此在長方形ABCD內作長方形EBFH，使EB=3，EB表示科技書的本數，BF表示科技書的單價.可知FC=4，AE=2，可求長方形HFCG面積為3×4=12.所以長方形AEGD面積=(長方形ABCD面積-長方形EBFH面積)-長方形HFCG面積=32-3×4=20，AD=長方形AEGD面積÷AE=20÷2=10,所以文藝書單價為10元，科技書單價為6元.

5.歸納總結

師生共同回顧本課學習過程.

(在掌聲、笑聲和下課鈴聲中師生互道“再見”.這種“再見”不僅是禮儀用詞更是學生心語，是孩子對數學學習的殷切期盼.)

二、教學感悟

教學中要求學生解決問題后不要“得意忘形”，還要“由數思形”，不斷提高圖形意識，能由數式聯想相關的基本圖形，掌握圖形建構的基本經驗和路徑.

1.提高圖形意識

平時學習時多數學生缺乏圖形意識.有些學生遇到問題無從下手，苦咬筆頭，思路茫然，就是不會嘗試畫圖思考，有些學生是當教師要求畫圖時才畫圖.教師要利用教材，挖掘典型的幾何直觀運用的素材，通過不同解決方法的對比，使學生真切體會到運用圖形對理解概念、尋求解題思路所具有的優越性，讓學生從小養成心中有圖、識圖用圖、畫圖構圖的好習慣.平時教學中要求學生要注意思考：能否利用圖形理解數學本質？能否利用圖形描述和分析問題？能否利用圖形記憶所得結果？能否利用圖形梳理知識結構？能否利用圖形進行歸納總結？特別是當問題解決之后，教師提醒學生不要“得意忘形”，要思考能否“由數思形”，構建圖形尋求解題思路.總之，圖形思想要貫徹于整個學習過程，不斷提高識圖、用圖、畫圖、構圖的意識.

2.聯想基本圖形

圖形建構具有較大的挑戰性，它是建立在基本圖形的基礎上.“由數思形”即根據數式結構特征，類比聯想相關基本圖形，它是圖形建構的關鍵.在用圖形解決“雞兔同籠”問題后，為避免“只見樹木不見森林”，要進一步概括“由數思形”的問題情境.一般情況下，在小學階段涉及面積的問題，可聯想平面幾何圖形，如平行四邊形(特別是長方形和正方形)、三角形(特別是直角三角形、等腰三角形、等邊三角形、等腰直角三角形)、梯形、圓等基本平面幾何圖形；涉及體積的問題，可聯想立體幾何圖形，如長方體(含正方體)、圓柱、圓錐、球等基本立體幾何圖形；涉及數的運算或數量關系的問題，可聯想線段圖、方格圖、點子圖、數軸等圖形；涉及二組及以上的數量，尋找數量間關系的問題，可聯想表格；涉及描述數據分布或變化情況的問題，可聯想統計圖，如條形圖、扇形圖、折線圖等基本統計圖；涉及兩組變量成正相關或負相關的問題，可聯想正比例或反比例關系圖像；涉及內容編排或內容結構的問題，可聯想流程圖或結構圖；涉及逐級展開的問題，可聯想樹狀圖；涉及二元一次方程的問題，可聯想用□，△，○等符號表示未知量.

3.總結構圖經驗

數學教育家、新課標主編史寧中教授認為：“經歷過程之后，要讓學生感悟數學的本質，積累思維的經驗和做事的經驗.僅僅經歷過程是不行的，還要讓學生理解數學本質，感悟數學思想”.在用“由數思形”解決“雞兔同籠”問題后，教師要引導學生總結其思維歷程：①根據題意列出雞、兔總的腳數“雞的只數×2+兔的只數×4”.②根據式子“雞的只數×2”“兔的只數×4”“雞的只數=雞的只數×1”“兔的只數=兔的只數×1”結構特征，類比聯想到長方形，即“由數思形”.③為體現“雞、兔共35只”把兩個長方形拼在一起，構建出圖形.④在構建的圖形中發現相關長方形的面積和邊長，進而求出雞、兔的只數，即“以形助數”.從中讓學生感悟“數形結合”的數學思想，體會數學家希爾伯特的名言“算術符號是文字化的圖形，而幾何圖形則是圖像化的公式，沒有一個數學家能缺少這些圖像化的公式”.由“雞兔同籠”教學案例，總結出一般數量問題“由數思形”構建圖形解決的經驗路徑：