經歷中感悟，練習中延伸
——數學思想在教學中的實踐與思考

■廈門市海滄區霞陽小學 周雪娜

數學思想是數學的靈魂，是對數學知識的本質認識。抽象思想、推理思想、模型思想是數學三大基本思想，并演變、發展出分類思想、方程思想、函數思想、歸納思想等較低層次的數學思想。2011版課標中“四基”的提出強調了數學思想的重要性。許多數學教師應及時跟進，引導學生投入猜想驗證、合作探究、推理表達等參與知識創造的過程，在收獲知識技能的同時，掌握數學思想方法，拓展思維。數學思想的滲透和影響，不僅要在教學目標中體現、在新授課過程中重視，更要在練習中有意識延伸，從而日積月累、潛移默化地提高學生的數學素養。

一、數形結合模型引路

數學是研究現實世界的數量關系和空間形式的科學，數與形既對立又統一。數形結合思想既包含使抽象的數學問題直觀化的“以形助數”，也包含了使幾何圖形的規律和特點數據化的“以數解形”。在人教版五年級下冊“長方體與正方體”這一單元中，數形結合的思想無處不在。例如，例1，結合長方體的實物進行觀察、操作、記錄，探究長方體這個基礎立體圖形的特征，同時歸納出可以從面、棱、頂點三個角度進行研究，形成研究立體圖形的基本思路，遷移到后面進一步研究其他立體圖形的學習中。又如，表面積、體積、容積的認識和公式模型的探索都緊扣立體圖形表象及其特征，“形”為工具幫助學生理解和掌握知識，而非死記公式。

練習中的數學思想同樣無處不在，挖掘練習中的數學思想需要教師提高自身素養，勤于思考，達到“潤物無聲”的境界。如下圖練習題中的紙巾盒一題可以進行變式，提升“數形結合”的實效，培養學生的想象力。

原題：

（1）這個紙型盒的正面是什么形狀？長和寬各是多少？和它相同的面是哪個？

（2）它的右面是什么形狀？長和寬各是多少？和它相同的面是哪個？

（3）哪幾個面的長是24cm，寬是12cm？

改編后：

將紙巾盒抽象成只有3條棱，想象：

這是什么圖形？24厘米、12厘米、9厘米、分別是這個圖形的哪條棱？這個圖形哪個面長24厘米，寬9厘米？每個面的面積是多少？

改編后的圖形其抽象程度提高了，目的在于讓學生經歷“由體想面”，培養空間觀念，也為長方體表面積的學習打好基礎。實踐證明，同樣的教學內容對數學思想、智力因素挖掘的程度不同，學生的思維發展會大相徑庭。王永春教授在《小學數學與數學思想方法》中就提出了“高水平教學，標準化考試”的理念，教師在理解掌握基本的數學模型基礎上應深入挖掘每一道練習中的數學思想和數學思維，幫助學生學會“數學地思考”。

二、善于轉化，溝通聯系

小學數學的編排體系遵循循序漸進、螺旋上升的特點。學生第一學段學習了平面圖形的特征及面積和面積單位，為“長方體和正方體”這一單元的學習奠定了基礎。如何求長方體的表面積呢？面對新的數學問題時，學生能自主把陌生知識轉化為熟悉的知識，從而解決新問題就是轉化思想的魅力之一。學生將立體圖形的新知識轉化成三年級平面圖形的面積知識，再求出6個面的面積之和。善于轉化不僅自主解決了問題，而且引出長方體表面積的概念。教師進一步拓寬表面積的概念，任何幾何體外表面的面積之和就是它的表面積，建立表面積的一般意義。轉化思想除了化未知為已知，還可以化繁為簡、化一般為特殊、化抽象為具體等等。又如，在學習不規則物體的體積時，轉化思想發揮了巨大作用：將橡皮泥這樣不規則物體通過體積變形轉化成規則物體來計算體積，形狀雖變，但是體積不變，滲透了“變中有不變”的思想；像梨這樣不可變形的不規則物體可以利用排水法，將不規則物體的體積轉化為水的體積；排沙法、測質量法等均運用了轉化思想測量物體的體積。

練習六有這樣一道題：一個長方體餅干盒，長10cm，寬6cm，高12cm，如果圍著它貼一圈商標紙（上下面不貼），這張商標紙的面積至少是多少㎡？學生不難發現商標紙的面積就是長方體4個側面的面積之和，教師進一步引導學生想象并將商標展開，學生發現“立”起來的商標竟可以轉化成長方形，長方體的側面積也可以用底面周長×高，同時也為六年級學習圓柱側面積計算方法做準備。又如，練習八第四題：題中小正方體的棱長數據剛好擺滿心愿墻，可以用“總體積÷每個積木體積”求出這面心愿墻用了多少塊積木。教師進一步修改數據將學生的思維引向深入：如果心愿墻與積木一樣厚，則可以“化體為面”，再次體會轉化思想的妙用，達到“讓數學思想根植于兒童的數學學習”的目標。

三、運用推理，發展思維

推理是數學的基本思維方式，也是人們生活中經常使用的思維方式。曹培英老師用三棱錐圖表示九大核心詞及其關系，推理能力處在三角形底部的中心位置，可見其重要性。推理一般包括合情推理和演繹推理：合情推理用于探索思路、發現結論，常見的形式有歸納推理和類比推理；演繹推理用于證明結論。兩種推理功能不同，在數學學習中都很重要，不能厚此薄彼。例如，在學習體積單位時先回顧舊知：測量長度用什么單位？測量面積用什么單位？進一步進行猜想：計量體積用什么單位？利用已有經驗進行類比推理，認識到體積的測量也需要統一的標準，形成概念體系。在長方體的體積公式的探究過程中，學生通過動手操作、列表記錄，數形結合思考，用不完全歸納法發現“每行的個數×行數×層數”與長方體長、寬、高之間的聯系，理解體積公式的由來，并繼續加以驗證得到長方體的體積V=abh，這些都是合情推理的運用。正方體的體積公式推導則采用演繹推理：因為正方體是特殊的長方體，所以正方體的體積也可以用V=abh，又因為正方體的長=寬=高，所以V=a3。緊接著，學習容積時與體積進行類比推理，發現二者的相同點，都是指物體的體積，再用表格進行對比，梳理兩者的異同點，加深對二者本質上的認識，在解決問題中能靈活進行應用。