足球運動中不同旋轉球的運動軌跡及力學分析

牛曼蘭

(安徽新華學院 通識教育部, 合肥 230088)

足球運動中的旋轉球指的是足球運動員運用不同的腳法，踢出球并使球在空中向前作弧線運行的過程[1]。根據腳法的不同，可以將足球旋轉分為內旋球與外旋球。對不同旋轉球進行力學分析，能夠為日常的足球訓練提供科學的訓練數據，幫助足球運動員提高自身技術[2]。分析不同旋轉球的運動軌跡，能夠科學規劃足球運動過程中旋轉球的方向，幫助足球運動員取得好成績，為此研究足球運動過程中不同旋轉球的運動軌跡及力學分析是很有必要的。

國外研究旋轉球的運動軌跡及力學分析起步較早，已經形成成熟的分析研究體系，并已成熟地運用于足球運動員的日常訓練中[3]。國內針對該方面的研究起步較晚，各個專業研究機構對于足球運動中旋轉球的研究成果及文獻資料較少，仍需不斷改進學習。提出足球運動中不同旋轉球的運動軌跡并對其進行力學分析，建立旋轉球坐標系分析旋轉球運動過程，對不同旋轉球進行軌跡追蹤，通過非線性變換得到軌跡狀態向量，確定運動軌跡起始點，采集運動過程的軌跡狀態向量，得到旋轉球的運動軌跡。

1 足球運動中不同旋轉球的運動軌跡及力學分析

1.1 旋轉球受力分析

對旋轉球進行受力分析時，首先定義足球的旋轉軸，以足球停滯在實際軌跡中的某個狀態為研究目標，結合空氣在足球旋轉過程中的流速[4]，建立坐標系如圖1所示。以旋轉狀態的足球旋轉軸為坐標系的Z軸，得到力坐標系：

圖1 建立的旋轉球坐標系

由旋轉球坐標系可知，將旋轉球的流速方向作為x軸，旋轉球受到壓強的方向為y軸。根據坐標系的方向分析可得到足球旋轉球在空氣中主要受到重力Fg，空氣阻力Fa以及馬格努斯力Fm的作用。定義上圖1旋轉球的時刻t下，旋轉球的運動速度為：

v(t)=[vx(t),vy(t),vz(t)]T，

(1)

式(1)中，T表示旋轉球的飛行時間，vx(t),vy(t),vz(t)分別表示不同軸向的運動速度。進而計算得到旋轉球的旋轉角速度，計算公式為：

W=[ωx,ωy,ωz]T，

(2)

式(2)中，ωx,ωy,ωz分別表示旋轉球不同軸向的角速度。綜合上述角速度及旋轉速度的數值，計算得到該時刻旋轉球的重力、空氣阻力以及馬格努力的數值：

(3)

式(3)中，m為足球的重量，g表示重力加速度，Cd表示空氣阻力系數，Cm表示馬格努斯力系數，ρ表示標準氣壓下的空氣密度，A表示足球的橫截面積，r表示足球的半徑，其余參數含義不變。由上述計算公式可知，空氣阻力大小與旋轉球的飛行速度平方成正比。當足球一側運動速度和旋轉速度方向不平行時，旋轉球的一側在空氣的作用下，飛行速度與旋轉速度疊加變大，旋轉球的另外一側速度與空氣作用相抵消，此時旋轉球兩側存在壓力差，形成旋轉球[5]。根據流體力學原理，該部分壓力差為馬格努斯力，綜合上述計算公式(3)中的力，得到旋轉球的運動過程，表達式為：

(4)

式(4)中，CD表示足球表面的粗糙程度，V(t)表示足球的加速度。根據計算出的數值，采用高速攝影機對足球旋轉運動過程進行采樣[6]，設置采樣幀率為120 fps，在一個采樣周期內，保持足球的加速度和速度不變，在一個旋轉狀態內，旋轉球的離散運動就可表示為：

(5)

式(5)中，k表示迭代周期，kd與km分別表示旋轉球的不同受力的迭代系數。其余參數含義保持不變。軌跡跟蹤上述受力分析得到的旋轉球的運動過程，最終完成對不同旋轉球的運動軌跡及力學分析。

1.2 不同旋轉球的軌跡追蹤

在上述分析得到的旋轉球運動表達式下，定義旋轉球停止旋轉過程表示迭代過程結束，計算迭代過程產生的噪聲，計算公式為：

(6)

式(6)中，Cn表示升力系數，D表示足球的直徑，其余參數含義不變。在上述噪聲值的影響下，預測旋轉球的狀態向量，將上述計算得到的噪聲值作為先驗估計值，狀態向量就可表示為；

(7)

式(7)中，X(k|k-1)表示旋轉球狀態變量的先驗估計值，P(k|k-1)表示狀態變量協方差的先驗估計值，Ak表示運動過程函數F對狀態變量的偏導，Qk表示噪聲向量。根據上述狀態向量數值，劃分得到不同旋轉球的狀態數據數量，如表1所示。

表1 不同旋轉狀態的數據矢量

追蹤表1三種旋轉球的旋轉屬性時，利用非線性變換處理上述三種旋轉屬性的輸出數據矢量，非線性變換過程如圖2所示。

圖2 非線性變化過程

由圖2所示的非線性變化過程可知，設定輸出數據矢量的采樣點，計算非線性變換后輸出數據采樣點的方差及權重，根據方差值的分布距離，確定變換過程中的比例系數，完成對不同旋轉球的狀態追蹤，追蹤完畢后，形成旋轉球的運動軌跡。

1.3 運動軌跡獲取

根據上述非線性變換過的軌跡狀態向量確定運動軌跡起始點，為了簡化軌跡跟蹤過程中的計算過程，將分布距離看作常數，不同旋轉球的坐標采樣點就可表示為：

(8)

式(8)中，κ(k)表示連續采樣運動過程中第k類的層級參數。根據上述采集點的追蹤結果，得到采樣點旋轉球的坐標，匯總采集點的坐標數值，如表2所示。

表2 軌跡采集點坐標

將表2所示的旋轉球在三項坐標作為軌跡數據集，采用非線性濾波處理表2中坐標數值，對旋轉球運動軌跡不斷更新，更新表達式如下：

(9)

式(9)中，Kn表示軌跡更新過程，n表示旋轉球的采集點，Qx，Qy，Qz分別表示三個軸向的數值，α表示旋轉球實際運動軌跡與三個軸的夾角，Fn表示旋轉球的合力數值。根據上述整合形成的采樣點計算公式，在一個三維坐標下模擬得到旋轉球的運動軌跡，如圖3所示。

圖3 旋轉球飛行軌跡

由圖3所示的旋轉球飛行軌跡，最終在力學分析前提下，完成對足球運動中不同旋轉球運動軌跡的研究。

2 仿真實驗

2.1 實驗準備

采用一個塑料顆粒模擬足球運動中的旋轉球，控制該塑料顆粒直徑為0.4 cm，密度為1 g/cm3，質量為0.1 g。選用高速攝像機、秒表、水平尺作為實驗儀器。采用的高速攝像機和鏡頭的硬件參數如表3所示。

表3 實驗儀器硬件參數

采用如表3所示的各項參數控制下的實驗器材，選用三個形狀不同的內筒作為塑料球的運動軌道，模擬不同旋轉球的軌跡情況。設定固體顆粒在內筒內的速度，如表4所示。

表4 設定的固體顆粒速度值

在表4所設定的速度值下進行實驗，不同的轉速與角速度對應著不同旋轉球的狀態，分析小球在設定的內筒內的軌跡及受力情況。

2.2 實驗結果及分析

基于上述實驗準備，采用高速攝像機得到顆粒小球在不同轉速下的運動軌跡，如圖4所示。

圖4 不同轉速下小球的運行軌跡

由圖4所示的運行軌跡可知，在30 r/min轉速下，小球受到的離心力與差異性旋轉慣性力的作用方向相反，旋轉慣性力的數值大于其離心力的數值，小球做向心運動。在35 r/min轉速下，小球主要受到離心力與差異旋轉慣性力的作用，且該兩種力的方向相同，小球做離心運動。

保持上述實驗環境不變，以轉速為30 r/min的小球作為實驗對象。在實驗準備的內筒中灌入水，控制水流的速度為勻速，來模擬足球在旋轉運動過程中受到的空氣壓力，采用文中研究的力學分析方法進行實驗。以水平尺顯示的刻度作為劃分對象，平均地將內筒長度劃分為七個刻度，標定內筒七個測點，七個測點小球的基本參數如表5所示。

表5 小球經過測點速度基本參數

在表5所示的參數控制下，考慮到小球在內管中徑向受力數值的不同，分析得到該轉速的小球的受力情況如圖5所示。

圖5 小球的受力情況

由圖5所示的小球受力情況可知，在模擬過程中小球共受到4個作用力的影響，由不同作用力的數值可知，小球在內筒中受到幾乎為零數值的離心力。隨著時間不斷增加，質量力分量不斷增大且為正方向，質量力分量隨著時間不斷增加，平均值保持在-0.2 N左右。而阻力分量表現不穩定，在0.6 s到0.8 s之間與2.4 s時受到力的負方向1.7 N的力，表明在模擬的旋轉球環境中，在不同的軌跡點中，存在著多種阻力分量。

綜合上述實驗準備及分析，完成對文中設計的運動軌跡及力學分析方法的驗證。實驗結果表明，在30 r/min轉速下，模擬旋轉球做向心運動，在35 r/min轉速下，小球做離心運動。小球受離心力、旋轉慣性力、質量力分量及阻力分量4個力的共同作用，形成旋轉球。

3 結語

足球運動一直是體育運動研究領域的重點，基于旋轉球的運動軌跡較為復雜，國內對其運動及受力研究較少，因此，提出不同旋轉球的運動軌跡及力學分析，并采用塑料顆粒模擬足球運動中的旋轉球，通過實際操作驗證了研究方法的有效性。

研究足球運動中不同旋轉球的運動軌跡及力學分析，能夠更加科學地掌握足球的旋轉過程及運動軌跡，為我國足球運動提供更加科學的訓練方案，幫助我國足球運動不斷發展。