借助錯題分析，落實數學核心素養

劉淑華

摘 要：當前，落實核心素養是中學數學教學的重要內容。為達到預期的落實效果，應做好數學核心素養學習與研究，充分滲透數學核心素養內涵，結合學生實際以及教學經驗采取針對性的落實策略。其中通過錯題分析既能澄清學生對所學知識的認識與理解，又能為核心素養的落實奠定堅實基礎。本文就如何借助錯題分析，落實“數學抽象”素養進行探討。

關鍵詞：數學;核心素養;落實;錯題;分析

數學抽象素養的表現包括獲得數學概念和規則、提出數學命題和模型、形成數學方法與思想、認識數據結構與體系。授課中應做好這些內容的分析，尋找其與數學知識之間的契合點，通過錯解過程展示、出錯原因分析、糾正解題過程等環節，充分挖掘獲取價值，確保核心素養的認真落實。

一、借助錯題，促進學生深入理解數學概念和規則

獲得數學概念和規則，是學習數學知識的重要基礎。課堂上為使學生掌握獲得數學概念和規則的相關技巧，保證解題的正確性。一方面，認真匯總與篩選學生出錯率較高的數學習題，在課堂上通過展示錯解過程，要求學生對照自身的解題過程，看是否犯下類似錯誤，使其能夠及時糾正誤區，把握數學概念與規則的本質。另一方面，通過錯題的分析，使學生掌握抽象出數學概念與規則的相關細節，以及運用數學概念和規則解題的注意事項，給以后更好的解答帶來良好啟發。

北京大興國際機場的顯著特點是各種彎曲空間的運用，刻畫空間的彎曲性是幾何研究的重要內容。用曲率刻畫空間彎曲性，規定：多面體頂點的曲率等于2π與多面體在該點的面角之和的差（多面體的面的內角叫做多面體的面角，角度用弧度制），多面體面上非頂點的曲率均為零，多面體的總曲率等于該多面體各頂點的曲率之和。例如：正四面體在每個頂點有3個面角，每個面角是，所以正四面體在各頂點的曲率為2π-3×=π，故其總曲率為4π。（1）求四棱錐的總曲率：（2）若多面體滿足：頂點數一棱數+面數=2，證明：這類多面體的總曲率是常數。

學生解答該題時因對題目中給出的規則理解不深入而出錯。針對（1）四棱錐有5個頂點，5個面，其中4個側面是三角形，一個底面是四邊形，根據題目中的規則可計算出其總曲率為5×2π-4π-2π=4π。對于（2）這多面體的頂點數為V、棱數E、面數為F，每個面分別記為ni（i∈[1，F]）邊形，則其所有面角和為=2π（E-F），則多面體的總曲率為2πV-2π（E-F）=4π，得證。

二、借助錯題，使學生學會提出數學命題和模型

提出數學問題和模型是一項重要的能力，是數學抽象素養的重要構成部分。授課中應注重運用錯誤資源，通過展示錯誤，引導學生糾正錯誤，使學生學會提出數學問題和模型，并運用所學進行相關問題的證明和模型的解答，一方面，為學生展示相關習題后，故意展示錯誤的解題過程，要求學生認真分析，思考解題過程是否錯誤，錯在哪里，激活數學課堂的同時，促使學生主動的思考，更好的加深其印象。另一方面，引導學生做好聽課的反思，把握提出數學命題和模型的思路，尤其啟發學生為保證解題的正確性，在分析問題時應考慮全面，注重分類討論思想的應用。

在△ABC中給出如下4個條件：①S△ABC=;②b2+ac=a2+c2;③=2或;④b=;以其中三個為條件剩下的一個為結論，請寫出一個正確的命題，并證明過程。

錯解過程：若①②③，則④。證明如下：

∵b2+ac=a2+c2，由余弦定理得到：cosB==，∴B=60°，又∵S△ABC=，則acsinB=，得到ac=2?！?2或，設=2，則a=2，c=1，由余弦定理得到b2=3，則b=，得證。

錯因分析：雖然根據題設正確的提出了命題，但在證明的過程不夠嚴謹。只是考慮了=2這一種情況，遺漏了=時，是否能夠推出b=，因此，解題時需要考慮每一種可能。

正解過程：∵b2+ac=a2+c2，由余弦定理得到：cosB==，∴B=60°，又∵S△ABC=，則acsinB=，得到ac=2。（1）當=2時，則a=2，c=1，由余弦定理得到b2=3，則b=;（2）當=時，則a=1，b=2，由余弦定理可推出b2=3，則b=;綜上可知提出的命題是正確的。

三、借助錯題，啟發學生形成數學方法與思想

形成數學方法與思想，可指引學生更好的解題，有效的避免其在解題中走彎路，提高解題正確率。教學中應注重運用錯題，使學生認識到形成數學方法與思想的重要性，在學習中養成注重總結的良好習慣。一方面，對學生做錯的題題進行歸類，而后圍繞具體例題，為學生展示、分析錯誤的解題過程，要求學生積極聯系所學，分析避免出錯的解題方法和思想。另一方面，要求學生做好錯誤習題的摘抄，建立專門的錯題本，總結出錯習題考查的知識點，詳細的寫出正確的解題過程，提醒其以后更好的解題，避免其犯下類似錯誤的同時，方便以后復習。

已知{an}為等差數列，其首項為21，公差為-4，求Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…|an|。

錯解過程：根據題意an=25-4n，則當an≥0時，n≤，則數列的前6項大于0，從第7項開始，以后各項均小于0。

Sn=|a1|+|a2|+|a3|+…|an|=（a1+a2+a3+…+a6）-（a7+a8+…+ak）

=2（a1+a2+a3+…+a6）-（a1+a2+a3+…+a6+a7+a8+…+ak）=2S6-Sn=2n2-23n+132

錯因分析：該計算過程僅考慮了n≥7時，數列各項各項絕對值的和，漏掉了n≤6的情況。遇到該類問題應注意分類討論。針對該題應注意如下策略的應用：

當n≤m時，Sn=a1+a2+…+an=;當n≥m，則Sn=a1+a2+…+am-（am+1+…+an）=2Sm-Sn。

正解過程：根據題意an=25-4n，則當an≥0時，n≤，則數列的前6項大于0，從第7項開始，以后各項均小于0。

當n≤6時，Sn=a1+a2+…+an=-2n2+23n;當n≥7時，Sn=2S6-Sn=2n2-23n+132，綜上可知：Sn=。

四、借助錯題，引導學生認識數學結構與體系

引導學生認識數學結構與體系，有助于其構建系統的知識網絡，更好的掌握數學知識點之間的內在聯系，在解題中靈活、正確運用數學符號進行準確的表達。教學中應注重借助錯題給學生帶來學習上的引導，使其更加深刻的把握數據結構與體系。一方面，與學生一起總結較為相近的數學知識，使其更好的把握數學知識之間的區別，使其準確記憶，深入理解。另一方面，課堂上通過講解習題的錯誤解答過程，使學生認識到錯在何處，給其留下深刻印象，在以后的解題中能夠正確的應用。

以下五種關系：①0N;②{0};③0;④{}{0};⑤{0}。其中正確的關系有______。

錯解過程：0不是自然數，因此，0N錯誤，①錯;“”表示的是集合元素和集合的關系，和{0}是兩個集合，②錯誤;空集中不含有任何元素，因此，0，③錯誤;空集是任何非空集合的真子集，因此，④{}{0}、⑤{0}均正確，即正確的關系有④⑤。

錯因分析：題目考查了集合元素與集合、集合與集合之間的關系。學生之所出錯原因在于對集合中包含的元素認識不清晰，將符號“”和“”、“”和“{}”搞混淆等，在使用數學符號進行表達張冠李戴。

正解過程：0是最小的自然數，因此，0N①正確;表示空集，不能使用“”表示集合之間的關系，{0}是不正確的;空集中不含有元素，0不對;{}、{0}表示兩個集合，{}中只含有一個元素，{0}只含有一個元素0，因此，{}{0}是錯誤的;空集是任何非空集合的真子集，{0}正確。綜上正確的關系有：①⑤。

結束語

培養學生數學核心素養的方法多種多樣，應結合學生實際，制定系統、詳細的落實計劃，尤其應借助錯題落實“數學抽象”素養培養工作。教學中通過該素養內容的解讀以及錯題資源的整合，進一步澄清學生認識，深化學生理解，使其牢固掌握數學知識的同時，數學抽象素養得以顯著提升。

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