數學實驗：基于“具身認知”的數學學習視角

成伶秀

[摘 要]具身認知的方式是多元的，既可以借助眼看，也可以借助手做，還可以借助心想。基于具身認知視野下的數學實驗，能有效提升學生的數學學習力，發展學生的數學核心素養。小學數學實驗要充分解放學生的多種感官，引導學生動手、動眼、動腦、動心、動神，從而讓學生的動覺思維、視覺思維、心學思維融為一體。具身性認知讓教師“示以思維”“授以思考”，讓學生從“學以致用”轉向“學以致創”。

[關鍵詞]小學數學;數學實驗;具身認知;思維

數學實驗是學生探究數學知識的重要方式。在小學數學教學中，教師要充分運用數學實驗，激活學生的數學思維。基于“具身認知”的數學學習視角，數學實驗強調學生身體的主動參與，強調學生的身體感覺、運動系統對認知的型塑作用。具身認知的方式是多元的，既可以用眼看，也可以動手做，還可以用心想。在具身認知中，學生能獲得對知識的切身感受。在具身認知過程中，教師要“示以思維”“授以思考”，從“教理解”轉向“教智慧”，讓學生從“學以致用”轉向“學以致創”。

一、動覺思維：培養學生的動覺性學習力

具身認知認為，學生的數學學習要充分解放學生的多種感官，尤其是要解放學生的雙手，讓學生在數學學習中動手做。動覺思維可以看成是學生“動手做數學”“動手做實驗”的一個等效替代性的概念。手學思維開辟了“用手思考”的道路。“用手思考”也可以看成是“用大腦做”。動覺思維有助于提升學生的動覺學習力。

1.在動覺思維中思考

學生的動手操作往往是一種模仿或者嘗試，相較而言，模仿可能更為準確，而嘗試更能發展學生的創造力。在動手做的數學實驗中，學生的心理會產生很多變化，他們可能從認知平衡轉向認知不平衡，又從認知不平衡轉向認知平衡。在動覺思維中，學生的手腦并用、做思共生。

比如，教學“角的度量”時，教師就不要直接給學生提供量角器，而要引導學生動手做量角器，這樣學生就能對量角器的測量原理認識更深刻。首先引導學生比較角的大小，催生學生建立一個標準的度量單位1°的需求;其次，通過用1°測量角的大小，引導學生將一個個單位角連起來，建立量角器的雛形;最后為了方便讀角，給量角器的雛形標注刻度，從而引導學生做出量角器。這樣的過程能激發學生在動覺思維中思考，從而掌握數學知識的本質。

2.在動覺思維中創生

在小學數學教學中，動覺思維不是讓學生成為機械的操作工，而是成為一個數學意義上的創客。在動覺思維中創生，就是要學生在數學實驗中展開獨立思考。

比如，教學“間隔排列”時，筆者讓學生在課桌上一一間隔地擺物體，引導學生認識“兩端物體”和“中間物體”。在操作中，學生會發出這樣的思考：兩端物體與中間物體究竟有怎樣的關系？通過多次對不同的物體的間隔排列，學生發現，當兩端物體相同時，兩端物體的數量比中間物體的多1個;當兩端物體不同時，兩種物體的數量相等。在操作過程中，學生展開動覺思維：將一一間隔排列的物體排成封閉圖形，比如圓形，這時兩端物體的數量和中間物體的數量之間又有怎樣的關系呢？學生通過多次不同的數學實驗，把握了物體間隔排列的規律，認識了物體間隔排列的本質。這種通過數學實驗獲得的感受是一種具身性的感受。

3.在動覺思維中展示

由于動覺思維是一種可視化、外顯化的思維，因而可以引導學生積極展示。在動覺思維中展示，一方面可以鞏固學習成果，另一方面有助于互相對比。

比如，教學“梯形的面積”時，教師可以引導學生進行梯形面積公式的推導實驗。由于有了平行四邊形面積公式、三角形面積公式的推導經驗，因而對梯形面積的推導實驗，學生的自主性大大增強。在實驗過程中，學生以小組為單位進行展示。有學生將梯形轉化成平行四邊形，有學生將梯形轉化成三角形，還有學生將梯形轉化成長方形，等等。通過動覺思維展示性學習，學生從被動的學習接受者轉向主動的學習探究者。在動覺思維展示中，學生與教師、同伴、自我、材料等積極互動，從而促進自我數學素養的發展。

二、視覺思維：培養學生的視覺性學習力

視覺思維是觀察、注意及其背后動機、直覺等的綜合思維。在演示實驗之中，教師要引導學生去看。這里的看，不是機械地看，更不是隨意地將學生投入演示過程之中，而是要引導學生一邊看，一邊思考，這樣的思維，是視覺思維。在視覺思維中，視覺是基礎，思維是核心。通過視覺思維，學生不是機械地、盲目地接受信息，而是對感知質疑、反思和批判，從而讓自身的觀察更為理性、客觀。

1.在視覺思維中觀察

觀察是有目的地看，也是主動地看。比如，教學“三角形的分類”時，一位教師做了這樣一個實驗：露出一個鈍角，引導學生感知、猜想;露出一個直角，引導學生感知、猜想;露出一個銳角，引導學生感知、猜想。通過這樣的演示性實驗，讓學生深刻認識到“為什么三個角都是銳角的三角形才是銳角三角形”。觀察性數學實驗有助于學生迅速厘清數學知識的本質。

2.在視覺思維中質疑

視覺思維有助于培育學生的數學直覺力、觀察力和概括能力。在教學中，教師不僅要引導學生在視覺思維中思考，而且要引導學生在視覺思維中質疑。比如，教學“認識毫升”時，筆者用一個量筒盛滿水，引導學生讀數。有學生平視水面的凹液面，因而能準確讀數;有學生俯視凹液面，導致讀數偏高;還有學生仰視凹液面，導致讀數偏低，等等。為什么會出現這樣的偏差呢？學生在視覺中思維、質疑、探究，把握了讀數的基本方法及其背后的原理。

3.在視覺思維中批判

在小學數學實驗教學中，教師要引導學生在視覺思維中批判。通過批判，學生的視覺思維能得到有效的提升。比如，教學“角的度量”時，筆者在學生用量角器量角的過程中發現，有一些學生測量得比較精準，而有些角學生測量得比較粗略。因此，筆者提供了一些角（預設的結構性素材），引導學生測量角。通過視覺思維批判，學生認識到，如果角的一條邊和量角器零刻度線重合，另一條邊位于量角器的1°小角之內，就有可能發生讀數偏差，這種誤差是不可避免的。學生認為，用量角器量角應當允許1°以內誤差，從而對量角器量角有了更深的認識。

三、心學思維：培養學生的抽象性思維力

具身認知學習觀認為，學生的數學學習過程是一個做思共生的過程。如果說動覺思維著眼于學生具身認知中的直觀動作，視覺思維著眼于學生具身認知中的具體形象，那么心學思維就著眼于學生具身認知中的抽象邏輯。數學實驗不僅僅包括外顯的操作性實驗，也包括內隱的推理性實驗、思維性實驗、思想性實驗。這樣的實驗通常是在想象中完成的。

1.在思想性實驗中抽象

心學思維實驗往往是抽象性的數學實驗。在數學實驗中，學生需要展開猜想，并且在大腦中進行驗證，進而展開深度的數學思考。比如，教學“三角形的內角和”時，過去都是由學生展開物質性的實驗，即讓學生借助小棒圍成三角形，認識到三角形任意兩條邊的和必須大于第三條邊。在實物實驗中，由于受到了實物本身的限制，有時學生認為當兩根小棒的長度之和等于第三根小棒的長度時也能夠圍成三角形（由于小棒自身的寬度、厚度等影響）。為了引導學生深刻認識三角形的三邊關系，筆者引導學生展開思想性實驗：三根小棒就是三條線段，當兩條線段的長度之和大于第三條線段的長度時，這兩條線段怎樣“拱”起來？當兩條線段的長度之和等于第三條線段的長度時，這兩條線段能不能“拱”起來？兩點之間什么最短？通過這樣的表象性、概念性的思想性實驗，讓學生深刻認識到三角形的三邊關系。

2.在思想性實驗中推理

思想性實驗還可以借助操作、計算和推理展開。思想性實驗猶如在人的大腦中“下盲棋”，它基于具體的操作，又超越具體的操作。通過思想性實驗，學生會超越實際操作的局限性、不完整性，走向一種完整性。比如，教學“用字母表示數”時，筆者就引導學生進行思想性實驗：圍1個三角形需要3根小棒，圍2個三角形需要5根小棒，圍3個三角形需要7根小棒，等等。照這樣計算，圍10個三角形需要幾根小棒？圍n個三角形需要幾根小棒？100根小棒能圍成幾個三角形？n根小棒能圍成多少個三角形？一開始，學生動手進行操作，繼而在頭腦中進行表象操作，進而發現三角形個數與小棒根數之間的關系。通過推理，學生能夠用字母表征三角形個數與小棒根數的關系。

3.在思想性實驗中建模

學生學習數學的目的就是建立模型，從某種意義上說，一切的數學概念都是一個數學模型。數學建模既可以借助動覺性的數學實驗，也可以借助視覺性的數學實驗，還可以借助思想性的數學實驗。比如，教學“長方體的體積”時，筆者引導學生做了一個思想性建模實驗：每行可以擺多少個單位體積的小正方體？一共可以擺幾行？一共可以擺幾層？一共需要多少個？通過這樣的思想性實驗，引導學生先計算每層有多少個小正方體，再計算一共有多少個小正方體，從而建構長方體的體積計算模型。

基于具身認知視野下的數學實驗是提升學生數學學習力、發展學生數學核心素養的有效方式。小學數學實驗要充分解放學生的多種感官，引導學生動手、動眼、動腦、動心、動神，從而讓學生的動覺思維、視覺思維、心學思維融為一體。

（責編 黃 露）