巧解不含參數的極值點偏移問題

姚永亮

（大理州實驗中學 云南大理 671000）

不含參數的極值點偏移問題是高考的重點和難點，此類問題在高考中新穎多變，是導數的綜合應用問題，其呈現的形式非常簡潔，能較好地考查學生的邏輯推理能力，數據處理能力，轉化與化歸思想，函數與方程思想，數形結合思想等。對于此類問題，學生往往望而生畏，止步不前。

其實，不含參數的極值點偏移問題，往往涉及函數的雙零點，是一個多元的數學問題，不管涉及多少變量，途徑都是把多元變量轉化為一元變量，構造一元函數，分析探究一元函數，此問題將迎刃而解。下面將介紹幾種常規策略，希望可以幫助更多的學子迎難而上。

案例：已知函數f(x)=xe-x，且f(x1)=f(x2)，證明：x1+x2＞2

1.1巧構函數

構造函數法是解決極值點偏移問題的常規方法。首先分析f(x1)的單調性與極值點x0，要探究其在極值點x0附近的偏移問題，構造函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)或G(x)=f(x)-f(2x0-x)x)(x0＞x)，分析F(x)或G(x)，判斷出F(x)或G(x)的正負，再結合f(x1)=f(x2)及f(x)的單調性即可解決此問題。

1.1.1構造函數F(x)=f(x0+x)-f(x0-x)(x＞0)

注：通過分析f(x)的極值點x0=1，且f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減從而知0＜x1＜1＜x2。進而巧構函數F(x)=f(1+x)-f(1-x)（x＞0），分析知F(x)單調遞增，故而知f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f(2-x2)，此問題即得證。

1.1.2構造函數G(x)=f(x0+x)-f(x0-x)（x＞0）

同上1.1.1知：

∵f(x)=xe-x∴f’(x)=(1-x）e-x∴x∈(-∞，1)時，f(x)＞0；x∈(1，+∞)時，f’(x)＜0

∴f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減；

f(0)=1，x＞0時，f(x)＞0；又∵x1＜x2且f(x1)=f(x2)；

∴0＜x1＜1＜x2

∴h(x)(1，+∞)上單調遞增；又h(1)=0；∴f(x)＞f(2-x)；

∴f(x1)=f(x2)＞f(2-x2)；又x1＜1且2-x2＜1

∴x1＞2-x2；即x1+x2.

注：通過分析f(x)的極值點x0=1，且f(x)在(-∞，1)上單調遞增，在(1，+∞)上單調遞減從而知0＜x1＜1＜x2。進而巧構函數F(x)=f(1+x)-f(1-x)（x＞0），分析知F(x)單調遞增，故而知f(x1)=f(x2)=f[1+(x2-1)]＞f(2-x2)，即得證此方法與1.1.1形不同，但本質一樣。

1.2巧引變量巧消元

通過對f(x1)=f(x2)分析變換得

1.2.2巧用作差“x2-x1”消元

據洛必達法則知：

以上幾種方法均是為了實現將兩個變量轉化為單變量的函數或不等式，通過構造一元函數和利用構造新的變元，均達到消元的目的，把問題轉化為一元函數，再利用綜合法、分析法、洛必達法則等將此問題簡單化。幾種方法各有優劣，考生若能靈活駕馭這幾種方法，便能在導數不含參的極值點偏移問題上發揮自如。

在極值點偏移問題的教學中，常常考查學生的邏輯推理能力，數據處理能力，轉化與化歸思想，函數與方程思想，數形結合思想等。培養學生的數學核心素養是我們教學的重中之重，我們應從不同角度教會學生發現問題，分析問題，解決問題。但過多過密的刷題，不僅會阻礙學生思維能力的發展，還會使學生疲勞、興趣降低，窒息學生的思維，只有“聞一知十”解題，才能激發學生濃厚的學習興趣，促進他們思維的發展。通過本文案例的分析，我們從多個維度教會學生從不同角度解決問題，開拓了學生的思維，真正培養了學生的能力。