從一道中考模擬題的評講談如何分層教學

江蘇省南京市梅山第二中學 丁金華

本文從一道中考模擬題的講解教學入手，以三問、變式為關鍵詞，重點探討如何開展初中數學分層教學。初中教師在指導復習階段，尤其是在臨近中考的復習過程中，要格外注重分層教學策略的應用，要通過這樣一種方式去吸引不同類型、不同層次學生的注意力。

【例題】如圖，在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點P是BC的中點，動點Q從點P出發，沿射線PC方向以每秒2 個單位的速度運動，以點P為圓心，PQ長為半徑作圓，設運動的時間為x（秒）。

（1）當x=1.2 時，判斷直線AB與圓P的位置關系；

（2）當△APQ為等腰三角形時，求x；

（3）已知圓O為△ABC的外接圓，若圓P與圓O相切時，求x。

一、分層思路設置

這是一道典型的幾何和代數相融合的題目，要求學生在解題時同時具有“數”“形”思維。而在針對這道題開啟分層教學的過程中，要巧妙地設計各種解題變式，讓不同的學生在解決變式的過程中都能夠有所收獲、有所進步。

二、分層教學實踐

1.三問的具體求解過程

（1）問題（1）的解決

該問的題眼在于“判斷直線AB與圓P的位置關系”，即判斷直線和圓的位置關系，方法是求解圓心到直線的距離并同圓的半徑來進行比較。因為P點是固定的，所以P點作為圓心和直線AB之間的距離是固定的，唯一的變動因素就在于點Q移動的過程中，會導致PQ距離的變化，也就是圓的半徑大小存在變動因素。

當x=1.2 時，PQ的長度為2.4，也就是圓的半徑，此時只需要比較2.4 與P點作為圓心的圓和直線AB之間的距離這兩者的大小，即可求解第一問。

（2）問題（2）的解決

當△APQ為等腰三角形時，存在兩種可能性：一是AP作為等腰三角形的底邊，AQ=PQ；二是PQ是等腰三角形的底邊，AP=AQ。需要分別針對這兩種情況來進行討論。

情況二：假設PQ是等腰三角形的底邊，那么這道題根據等腰三角形原理，可以直接分析得出結論QC=PC=4，此時x的值也可以輕松求出。

（3）問題（3）的解決

關于這一問的求解，其實可以轉換為當兩個圓相切時，求另一個圓的半徑。因為△ABC為直角三角形，所以根據定理可知，該三角形的斜邊正好就是外接圓的直徑，由此可以直接得出外接圓的半徑為AB邊的一半（根據勾股定理可知斜邊長度為10，半徑為5）。

通過圖像不難發現，當圓O和圓P相切時，基于P點作BC的垂線，分別與圓O相較于兩點，并形成了長、短兩條線段，其中的短線段也就是相切時圓P的半徑，如此就可以分析此時x的運動情況。

2.變式分層實踐

為了讓不同學生對類似的題目都能有所鍛煉、有所提升，筆者在這道題目的基礎上，另外引申出兩道變式題目，拓展學生的學習層次：

變式一：在Rt △ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，點P是BC上的動點，以點P為圓心，PC長為半徑作圓，設PC為x，圓P截邊AB截得的弦長為y。

（1）當圓P與直線AB相切時，求x；

（2）求y關于x的函數關系式并求定義域；

變式二：如下圖，等腰三角形ABC中，AB=AC=10，BC=16，點P是BC上的動點，以點P為圓心，PB長為半徑作圓，設PB為x，圓P截邊AC截得的弦長為y。

（1）當圓P與直線AC相切時，求x；

（2）求y關于x的函數關系式并求定義域；

（3）當圓P經過點A時，求以AC為直徑的圓O與圓P相交時兩圓的公共弦長。

變式一的第一問和變式二的第一問可謂異曲同工，解題思路保持一致。

然后整理等式即可得出關于y關于x的函數關系式，并且根據y≥0 的客觀要求，求解出定義域。

比較變式二和變式三，會發現兩題的解題思路基本一致，只不過等腰三角形的解題條件要比直角三角形更為苛刻一些，這也是從難度上對兩道題目提出分層的直接體現。

總而言之，圍繞一道題目所開啟的分層教學，歸根結底是要考慮不同學生針對此類題目所能解決的不同程度、不同地步，在不同的位置獲得分點。對于教師而言，更要培養學生不放棄題目，敢于從有限的題目中爭取得分的意識。