基于核心素養下的高中生數學運算能力的培養策略探究

柯志堅

摘 要：數學運算是高中數學核心素養的基礎素養，是解決數學問題的基本途徑。基于如何引導學生在解題過程中提高解題效率和準確率，文章力求從數學運算的內涵出發，嘗試提出六個解決問題的策略：轉化語言明確運算對象;追本溯源理解運算對象;提煉過關掌握運算法則;確定差異尋找聯系探究運算思路;以逸待勞求得運算結果;檢驗運算結果確保準確率。

關鍵詞：數學運算;核心素養;內涵;策略

數學運算是《普通高中數學課程標準（2017年版）》明確提出的六大數學核心素養之一。數學運算作為最基礎的素養之一，主要指能“在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的素養。主要包括理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果等。”熟練掌握數學運算能讓學生解決基本的數學問題，并養成數學學習的基本能力。

數學學科具有一定抽象性、邏輯性、難度大，再加上課堂容量大，授課速度快等，本就超負荷運轉的高中生是否具備較高的運算效率及準確率等扎實的運算功底就顯得尤為重要。在課堂學習中，大部分學生在運算過程中存在運算出錯或者有思路不敢運算的現象，從而導致數學學習困難。學生為什么總會在運算上出問題呢？總結原因就是運算的環節沒有落實到位。為了能使學生的運算能力得到有效提升，謹以三道題的運算為例，從數學運算的內涵提出以下六個策略。

題目1：普通高中教科書人教A版（2019）必修第一冊P87第13題

（1）求函數f（x）=x3-3x2圖像的對稱中心。

解：函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成中心對稱圖形的函數y=f（x+a）-b為奇函數。

又y=f（x+a）-b為奇函數x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b

設函數f（x）=x3-3x2圖像的對稱中心為（a，b）x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b

由f（-x+a）+f（x+a）=2b得：（-x+a）3-3（-x+a）2-[（x+a）3-3（x+a）2]=2b

化簡得到：x∈R，（6a-6）x2+（2a3-6a2）=2b

∴6a-6=02a3-6a2=2b解得：a=1b=-2，∴函數f（x）圖像的對稱中心為（1，-2）

題目2：判斷函數f（x）=log3（9x+1）-x是奇偶性。

依題意知f（x）的定義域為R

解法1：f（-x）=log3（9-x+1）+x=log39x+19x+x=log3（9x+1）-log332x+x=f（x）

解法2：f（-x）=log3（9-x+1）+x=log319x+1+2x-x=log39x+19x+log332x-x=log39x+19x+log332x-x=log39x+19x·9x-x=log3（9x+1）-x=f（x）

解法3：f（x）-f（-x）=log3（9x+1）-log39x+19x-2x=log3（9x+1）·9x9x+1-2x=log332x-2x=2x-2x=0

題目3：已知α、β為銳角，sinα=513，cos（α-β）=35，求cosβ。

解法1：“消元法”：因為α、β為銳角，sinα=513，∴cosα=1-sin2α=1213

又cos（α-β）=35由兩角差的余弦公式得：cosαcosβ+sinαsinβ=35，

即1213cosβ+513sinβ=35，將sinβ=3×1325-125cosβ代入cos2β+sin2β=1中，

1352cos2β-2×3×12×1325×5cosβ+（3×13）2-252252=0即1352cos2β-2×3×12×1325×5cosβ-64×14252=0

135cosβ-1625135cosβ-5625=0，解得：cosβ=1613或cosβ=5613

解法2：“構角法”：由cosβ=cos[α-（α-β）]=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=35cosα+513sin（α-β）

因為α、β為銳角，sinα=513，∴cosα=1-sin2α=1213

∴α-β∈-π2，π2，sin（α-β）=±1-sin2（α-β）=±45

當α-β∈-π2，0時，sin（α-β）=-45，cosβ=35×1213+513×-45=-1665

當α-β∈0，π2時，sin（α-β）=45，cosβ=35×1213+513×45=5665

基于上面三個例題，提出以下六個提高運算能力的策略。

一、 轉化語言明確運算對象

明確運算對象就是指要看清、看準運算對象，如果對象看不清楚，后續的運算都是徒勞。為了解決這個問題，應注重引導學生審題時除了標記重要的內容或數據外，爭取充分利用三種不同的語言（文字、符號、圖形）表達形式對同一個數學問題進行互譯轉化，并對它們之間的關系所表達的含義進行認真分析、反復思考、仔細推敲，以求更深入地理解題意、揭示聯系，發現問題的本質并找到解決問題的最佳途徑，從而使問題變得簡單、易于理解，這就為接下來的數學運算做好了預備工作。

如題目1，我們知道，函數y=f（x）的圖像關于坐標原點成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x）為奇函數，有同學發現可以將其推廣為：

分析：這道題絕大多數學生沒有不理解題意，主要是對題目中的文字語言所表達的奇函數的定義和對稱中心的內涵沒理解。這樣一來就談不上數學運算了，事實上是學生可以根據題目中奇函數的定義和對稱中心為P（a，b），分別用圖形語言表示，即用草圖1和草圖2表示y=f（x）

“函數y=f（x）的圖像關于點（a，b）成中心對稱圖形的充要條件是函數y=f（x+a）-b為奇函數。”通過對比y=f（x）與y=f（x+a）-b形式，學生易發現，將y=f（x）的圖像向左平移a（a>0）個單位或向右平移|a|（a<0）個單位，再向下平移|b|（b<0）單位得到y=f（x+a）-b的圖像。即可以發現圖2就是y=f（x）的圖像，圖1就是y=f（x+a）-b的圖像。因此學生就可以順暢理解題目中學生的推廣。這就完成了數學運算的預備工作了。但要求函數f（x）=x3-3x2圖像的對稱中心學生還是無從著手。其實由y=f（x+a）-b為奇函數，用符號語言表示得到：x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b，整理得：x∈R，都有f（-x+a）+f（x+a）=2b，這就完成了數學運算的預備工作了。