把握運用符號契機 培養(yǎng)學生符號意識

文|尹 力

符號意識指主動使用符號的心理傾向。形成符號意識是逐步積累的過程，教師在教學中要廣泛引導學生用符號表示數(shù)學內(nèi)容、分析與解決數(shù)學問題，在這一過程積累運用符號的數(shù)學活動經(jīng)驗，更好地感悟符號所蘊涵的數(shù)學思想本質(zhì)。筆者總結(jié)了教學中運用符號的幾個契機，啟發(fā)教師抓住機會，培養(yǎng)學生的符號意識。

一、學習概念時

心理學研究表明，學生在回憶概念時，頭腦中浮現(xiàn)的并非抽象的文字表達，而是豐富的例證表象。而例證一般由數(shù)字、圖形、字母等數(shù)學符號組成，所以向?qū)W生呈現(xiàn)合理的概念例證的符號表征是學習概念的重要環(huán)節(jié)。教學時，教師要在深刻理解概念的基礎上選擇或創(chuàng)設符合學生認知水平的概念例證，用學生熟悉的數(shù)學符號表征例證，并注意文字概念與符號化例證的溝通與聯(lián)系，用符號形象直觀的特點化解文字概念的抽象性。

如學習“質(zhì)數(shù)與合數(shù)”的概念，教材中指出：2、3、5 這幾個數(shù)只有1 和它本身兩個因數(shù)，像這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)。6、8、9 這幾個數(shù)除了1 和它本身還有別的因數(shù)，像這樣的數(shù)叫做合數(shù)。這樣的表述看似簡單，但學生多是機械識記，沒有與認知結(jié)構(gòu)建立聯(lián)系，容易遺忘。對此，筆者創(chuàng)設用面積為1 的正方形拼長方形的活動，長方形面積為5 時能拼出幾種方法？面積為6 呢？再試驗幾個質(zhì)數(shù)與合數(shù)，引導學生發(fā)現(xiàn)，面積為質(zhì)數(shù)時只能拼出一種，面積為合數(shù)能拼出兩種及以上。并通過獨立思考與合作交流促進學生理解，質(zhì)數(shù)只有兩個因數(shù)，一個因數(shù)作長，另一個因數(shù)（1）作寬，只拼出邊長為1 的長方形；合數(shù)有多個因數(shù)，除了拼出邊長為1 的長方形，還可以用其他因數(shù)作長方形的長與寬，能拼出兩種或以上。這樣，學生將質(zhì)數(shù)與合數(shù)的諸多例證轉(zhuǎn)化成了圖形符號，并且建構(gòu)了概念與符號的聯(lián)系，抽象的概念被賦予了形象直觀的符號意義。學生再回憶質(zhì)數(shù)與合數(shù)概念時，建構(gòu)的圖形表象將首先出現(xiàn)在腦海里，輔助學生自主回憶、思考質(zhì)數(shù)與合數(shù)的概念及其由來，是一種有意義的學習方式。

二、表征規(guī)律時

數(shù)學規(guī)律概括了一類問題中普遍存在的數(shù)或形的變化特點。掌握和運用數(shù)學規(guī)律，能減輕思維負擔，提高解決問題的效率。數(shù)學規(guī)律具有概括性和普適性，需要借助符號表達才能清晰體現(xiàn)出這一特點。教學時，學生先要在問題情境中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，能用自然語言表達規(guī)律，最后才是用數(shù)學符號簡潔地表示規(guī)律。

教材中的運算律、商不變的規(guī)律、積的變化規(guī)律等均屬于數(shù)學規(guī)律，教師一般會引導學生用符號表示，這是培養(yǎng)學生符號意識的好機會。

如教學“乘法分配律”，教師先要引導學生發(fā)現(xiàn)并用自然語言表達規(guī)律。即學生列式解決問題，將兩種方法列成等式（6＋4）×24＝6×24＋4×24。比一比，尋找等號兩邊算式的聯(lián)系。寫幾組這樣的算式，再算一算是否相等。觀察這幾組算式，你有什么發(fā)現(xiàn)？然后教師激發(fā)學生簡潔表達的內(nèi)需，驅(qū)動學生借助符號簡化自然語言。即教師啟發(fā)學生思考：符合這一規(guī)律的算式多嗎？能寫得完嗎？能不能用一道簡潔的算式將符合規(guī)律的所有算式都包括進去。教學時發(fā)現(xiàn)，學生能想出用含有文字、圖形、字母等符號的算式來表達規(guī)律，如（甲＋乙）×丙＝甲×丙＋乙×丙。最后教師需要在個體多樣化表達的基礎上激發(fā)統(tǒng)一表達的內(nèi)需，再引出規(guī)范的符號表達，幫助學生理解意義。即引發(fā)學生思考：大家想出的方法看起來不一樣，但其實都是表示乘法分配律。為了交流更加方便，我們將規(guī)律統(tǒng)一表示為：（a＋b）×c＝a×c＋b×c。

總之，教師面對具體問題時要有抽象規(guī)律的意識，善于引導學生從具體問題中發(fā)現(xiàn)普適性的規(guī)律，并用恰當?shù)姆柋硎緮?shù)學規(guī)律。

三、解決問題時

解決問題與符號表示密切相關，教師要引導學生借助符號建立數(shù)學模型，形成解決一類問題的一般方法。教學時，教師要遵循學生從特殊到一般的認識發(fā)展過程，先引導學生在具體問題中思考解決問題的方法，理解數(shù)量關系，列出算式。然后將具體問題推廣為一般問題，再思考解決問題的方法。這時，學生就需要用數(shù)學符號表示任意的數(shù)，借助符號建立起解決問題的一般模型。

如例題“搭1 個正方形需要4根小棒，搭2 個正方形需要幾根小棒？搭3 個正方形呢？搭100 個這樣的正方形呢？一直搭下去呢？”搭2 個、3 個正方形時，學生可以畫一畫、數(shù)一數(shù)表示圖中關系，再列式計算。但搭100 個時，學生就需要探索正方形個數(shù)與小棒根數(shù)之間的關系，根據(jù)關系解決問題。顯然，我們可以像這樣一直搭下去，類似的問題無窮無盡，所以教師要啟發(fā)學生想辦法簡潔地表示所有正方形的個數(shù)與小棒的根數(shù)，即用字母或者其他符號表示。如用字母a 表示正方形的個數(shù)，根據(jù)正方形個數(shù)與小棒的關系，小棒根數(shù)等于1+3a。不難發(fā)現(xiàn)，在用符號建立數(shù)學模型的過程中，從具體問題發(fā)展到一般問題尤為重要，只有在一般問題中，學生才能產(chǎn)生用符號表示具體數(shù)的內(nèi)需。由此啟發(fā)我們，教學中要注意透過問題情境、把握問題本質(zhì)，將多個具體問題概括成一類，讓學生在解決一類問題中產(chǎn)生用符號的內(nèi)需，這樣學生才能體會符號的價值，產(chǎn)生符號意識。

四、整理復習時

數(shù)學心理學研究表明，人頭腦中的知識是以結(jié)構(gòu)化的方式存在。整理復習時，教師要引導學生將已學知識連線、結(jié)網(wǎng)、組塊，從而有效地納入學生認知結(jié)構(gòu)。而利用數(shù)學符號建立的知識結(jié)構(gòu)是學生認知結(jié)構(gòu)的可視化表達，也是外部知識向內(nèi)部認知結(jié)構(gòu)發(fā)展的過渡環(huán)節(jié)。教學時，教師先要引導學生理解與掌握數(shù)學知識的含義，通過分析、綜合、比較發(fā)現(xiàn)新舊知識的聯(lián)系，再借助符號創(chuàng)設合理的方式將以上聯(lián)系展現(xiàn)出來，最后引導學生建構(gòu)符號意義，形成符號表象，建立認知結(jié)構(gòu)。

如“四邊形”的整理復習，在此之前學生已經(jīng)學習了四邊形、長方形、正方形、平行四邊形和梯形，各個圖形都有一定聯(lián)系，但文字語言不容易概括這種聯(lián)系，不利于學生感受。利用數(shù)學符號表示，圖形關系就很容易體現(xiàn)出來。教學時先研究兩種圖形（如長方形與正方形），讓學生將兩種圖形的特征進行比較，感受圖形特征的相同點與不同點。用圓圈表示一種圖形的范圍，引導學生根據(jù)特征判斷另一圖形的范圍。這樣，兩種圖形的包含關系就獲得了可視表達，學生能直觀地體會圖形之間的關系。在完成長方形與正方形探究活動的基礎上創(chuàng)設自主探究活動，引導學生將五種圖形兩兩關聯(lián)，用韋恩圖表示其他任意兩種圖形的包含關系。最后，當學生初步理清圖形關系后，用整合的韋恩圖表示五種圖形之間的關系。借助數(shù)學符號建立的知識結(jié)構(gòu)，相比于自然語言，更加簡潔直觀。學生也會以此為基礎建立自己的認知結(jié)構(gòu)，內(nèi)化圖形之間的關系。

總而言之，在學習中遇到需要簡潔表示數(shù)學或一般化概括數(shù)學時，教師都可以啟發(fā)學生運用符號。讓學生結(jié)合當下具體情境，理解用符號的緣由和符號含義，促使學生在今后類似情況中自覺運用符號，逐步形成符號意識。