算法多樣化，一個(gè)美麗的誤導(dǎo)

鄭大明

義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和與其配套的教材，為了突出問(wèn)題解決的策略性知識(shí)的學(xué)習(xí)與掌握——解決一個(gè)問(wèn)題不限于一種思路或者一種辦法，提出了“算法多樣化”。但在 “新課改”和“三課四學(xué)”的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，“算法多樣化”這個(gè)說(shuō)法給師生帶來(lái)了許多的誤會(huì)和糾結(jié)。特別是算法“多樣化”與“優(yōu)化”的爭(zhēng)論，算理與算法的混淆，使得一線教師十分苦惱。

一、問(wèn)題的提出

1.關(guān)于“算法多樣化”的研究

為了把研究學(xué)生學(xué)習(xí)計(jì)算的算理算法的狀況搞清楚，筆者先在中國(guó)知網(wǎng)上輸入“算法多樣化”這個(gè)短語(yǔ)，出現(xiàn)了333條結(jié)果（如表1）;再在百度上輸入“算法多樣化”這個(gè)短語(yǔ)，搜索到119 000條信息。看來(lái)，學(xué)術(shù)研究上明顯不足，一線教師的關(guān)注度更高。

最早一篇關(guān)于“算法多樣化”的文章是北京師范大學(xué)劉堅(jiān)和張春莉老師在1999年2月以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制小組名義發(fā)表在《教育研究與實(shí)驗(yàn)》上面的《關(guān)于我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)研制的初步設(shè)想》，該文提出了“重視心算，加強(qiáng)估算，淡化筆算，引進(jìn)計(jì)算器，算法多樣化”的主張。往后的文章就是專家和一線教師圍繞“算法多樣化”進(jìn)行的解讀或者實(shí)踐研究的經(jīng)驗(yàn)介紹，也有很多人提出了算法“多樣化”與“優(yōu)化”的討論。

2.課程標(biāo)準(zhǔn)關(guān)于“算法多樣化”的主張與刪減

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》關(guān)于“算法多樣化”的主張如表2所示。

此外，在教學(xué)方法多樣化、問(wèn)題解決策略多樣化、評(píng)價(jià)多樣化等方面，還給出了較多的提示和建議。

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》刪除了“算法多樣化”主張。教學(xué)實(shí)施建議第七條“教學(xué)中應(yīng)當(dāng)注意的幾個(gè)關(guān)系”中，關(guān)于“面向全體學(xué)生與關(guān)注學(xué)生的個(gè)體差異”的條文中提到：“在教學(xué)活動(dòng)中，要鼓勵(lì)與提倡解決問(wèn)題策略的多樣化，恰當(dāng)評(píng)價(jià)學(xué)生在解決問(wèn)題過(guò)程中所表現(xiàn)出的不同水平;問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程的展開、練習(xí)的安排等要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的策略，并引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)與他人的交流選擇合適的策略，豐富數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn)，提高思維水平。”這里沒(méi)有出現(xiàn)“算法多樣化”的字樣，只在“解決問(wèn)題”和“教學(xué)評(píng)價(jià)”中，適度使用了“多樣化”等詞語(yǔ)。

因此，在新修訂的數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中對(duì)“算法多樣化”的處理方式應(yīng)引起高度重視。

二、問(wèn)題的表現(xiàn)

課程標(biāo)準(zhǔn)中 “算法多樣化” 的刪減沒(méi)能引起教師的注意，但是“算法多樣化”給課堂教學(xué)帶來(lái)了深遠(yuǎn)的影響。以北師大版教材為例，不少教師存在混淆算法與算理的問(wèn)題。

【案例1】北師大版教材一年級(jí)上冊(cè)“有幾瓶牛奶·9加幾”（如圖1）

很多教師都認(rèn)為，學(xué)生要通過(guò)教材這個(gè)例題掌握以下幾種算法。

1.擺小棒法：（1）一根一根地?cái)[，擺出14;（2）9根加1根，合成10根，再與4根合并為14根;（3）5根與5根合成10根，再與余下的4根合成14根。

2.圈圖法：9根與1根圈在一起得到10根，再與4根合成14根;5根與5根圈在一起，先得到10根，再與4根合成14根。

3.數(shù)數(shù)法：從9后面接著數(shù)，10，11，12，13，14，連續(xù)數(shù)5個(gè)數(shù)。

4.湊十法：把5分成1和4，1和9湊成10，10加4得14。

5.計(jì)數(shù)器法：個(gè)位上先撥9個(gè)珠子，再撥1個(gè)，變成10個(gè);滿十向十位進(jìn)一;再在個(gè)位上撥余下的4個(gè)珠子，得14。或者看教材上畫的圈珠子圖片，個(gè)位上14顆珠子，圈出10個(gè)向十位進(jìn)一，余下4個(gè)珠子，得14（與計(jì)數(shù)器上不一樣，學(xué)生無(wú)法操作）。

6.講述法：把5分成4和1，9和1湊成10，10加4是14。

對(duì)于教材中編排的“智慧老人問(wèn)：‘還有別的方法嗎？”，教師和學(xué)生都毫無(wú)頭緒。

【案例2】北師大版教材二年級(jí)上冊(cè)“回收廢電池·兩三位數(shù)加法”（如圖2）

很多教師都認(rèn)為，學(xué)生要通過(guò)教材這個(gè)例題至少掌握四種算法。

1.口算法：先加整十?dāng)?shù)，122加70;再加個(gè)位數(shù)，192加7，得199。

2.數(shù)線圖法：先畫出122加70，再畫出192加7，得199。

3.計(jì)數(shù)器法：先撥122，再撥77，得199。

4.豎式法：先寫122，相同數(shù)位對(duì)齊，寫上149，然后依次從個(gè)位加起;個(gè)位滿十的要向十位進(jìn)一，得271。

【案例3】北師大版教材三年級(jí)下冊(cè)“隊(duì)列表演·筆算兩位數(shù)乘法”（如圖3-1、圖3-2）

三年級(jí)的兩位數(shù)乘法是非常重要的知識(shí)，但是教師認(rèn)為這樣教給學(xué)生的算法太復(fù)雜，學(xué)生很難把握，所以普遍教學(xué)以下算法。

1.數(shù)點(diǎn)子法：按排數(shù)，12排;再按列數(shù)，14列。即每排14個(gè)，一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)，得出12個(gè)14的總數(shù)是168。

2.分點(diǎn)子數(shù)法：（1）將其中一個(gè)數(shù)分成兩個(gè)一位數(shù)，用原有的方法算出答案。如把12排分成2個(gè)6排，數(shù)出6個(gè)14是84，2個(gè)84就是168。（2）把14列分成2個(gè)7列來(lái)數(shù)，7個(gè)12是84，2個(gè)84是168。（3）把12排分成10排和2排來(lái)數(shù)，得到一個(gè)整十?dāng)?shù)140與2個(gè)14，和是168。（4）把14列分成10列和4列來(lái)數(shù)，得到整十?dāng)?shù)120與4個(gè)12，和是168。（5）橫豎先各取10個(gè)點(diǎn)子，分成4個(gè)點(diǎn)陣來(lái)數(shù)。第一個(gè)點(diǎn)陣，10個(gè)10是100;第二個(gè)點(diǎn)陣，2個(gè)10是20;第三個(gè)點(diǎn)陣，4個(gè)10是40;第四個(gè)點(diǎn)陣，2個(gè)4是8;四個(gè)點(diǎn)陣的數(shù)合計(jì)168。

3.拆數(shù)法1：把兩位數(shù)拆成兩個(gè)一位數(shù)的積。（1）14×12，把12看成6和2的積，14乘6得84，84再乘2得168。（2）14×12，把14看成7和2的積，12乘7得84，84再乘2得168。

4.拆數(shù)法2：把兩位數(shù)拆成整十?dāng)?shù)和一位數(shù)的和。（1）14×12，把14看成10與4的和，10乘12得120，4乘12得48，120加48得168。（2）把12看成10與2的和，14乘10得140，14乘2得28，140加28得168。

5.拆數(shù)法3：把整十?dāng)?shù)拆分出來(lái)先算。14×12，把14看成10與4的和，把12看成10與2的和。10乘10得100，2乘10得20，4乘10得40，2乘4得8。100加20，再加40，再加8，得168。

6.口算法：14×12，14×10=140，14×2=28，140+28=168

7.表格法：

100+40+20+8=168

8.豎式法：

從以上三個(gè)教學(xué)案例可以看出，教師的準(zhǔn)備和教學(xué)十分認(rèn)真，但是給學(xué)生講完這些算法后，學(xué)生的感覺(jué)完全可以想象。

三、問(wèn)題的解決

因?yàn)椤八惴ǘ鄻踊钡恼`導(dǎo)，計(jì)算教學(xué)產(chǎn)生了“后遺癥”：教師怕沒(méi)有落實(shí)“新課標(biāo)”的要求而造成了什么損失，于是就糊里糊涂地教，學(xué)生就糊里糊涂地學(xué)。下面給出一些對(duì)策，也提出一些思考。

1.糊涂的算法“優(yōu)化”，解決了不需要全部掌握的問(wèn)題

有些教師想出了一條妙計(jì)就將其歸為“算法優(yōu)化”。課堂上就常常聽到 “這么多算法，你喜歡哪一個(gè)？”，學(xué)生總會(huì)找一個(gè)自己喜歡的、最簡(jiǎn)單的算法。于是，教師就說(shuō)：“你們真聰明！那就選一個(gè)最喜歡的方法來(lái)計(jì)算吧！”這樣，教師就如釋重負(fù)：因?yàn)樗麄兗嚷鋵?shí)了“新課標(biāo)”提倡的“算法多樣化”精神，也了卻了自己的心愿——尊重學(xué)生的選擇。但是這樣的教學(xué)效果非常差，中下水平的學(xué)生基本上是暈乎乎的，只是按自己喜歡的“豎式”“口算”去解題，那一大堆的小棒以及數(shù)線圖、點(diǎn)子圖就成了學(xué)生最不喜歡的“算法”。更有一些教師只在公開課擺擺小棒、撥撥計(jì)數(shù)器、畫畫圖，平時(shí)就直接教學(xué)生“口算題”和“豎式題”。家長(zhǎng)和教師都認(rèn)為：算對(duì)就好，簡(jiǎn)單就好，別把孩子搞得“雞飛狗跳”的。

2.創(chuàng)新的“拓展”設(shè)計(jì)，解決了計(jì)算教學(xué)講不清算理的問(wèn)題

為了計(jì)算教學(xué)既生動(dòng)活潑，又能把算理說(shuō)明白，有些教師創(chuàng)造性地設(shè)計(jì)了許多分清計(jì)算中的“理”與“法”的辦法：巧妙地使用現(xiàn)實(shí)情境，先講“理”再講“法”;學(xué)生先自己看書討論，等有“法”了再來(lái)講 “理”……效果都不錯(cuò)。

（1）文字法講算理：如214+35。214是由2個(gè)百、1個(gè)十和4個(gè)一組成的，35是由3個(gè)十和5個(gè)一組成的， 所以先把4個(gè)一與5個(gè)一相加得9個(gè)一， 再把1個(gè)十與3個(gè)十相加得4個(gè)十，最后把2個(gè)百、4個(gè)十和9個(gè)一合并得249。

（2）圖形法講算理：選一個(gè)典型的算式，引導(dǎo)學(xué)生畫數(shù)線、圓圈、點(diǎn)子圖……

（3）工具法講算理：與學(xué)生一起擺小棒、撥計(jì)數(shù)器、打算盤……

（4）情境法講算理：設(shè)計(jì)現(xiàn)場(chǎng)、運(yùn)用實(shí)物、講故事、畫繪本、演課本劇……

好的教師都是說(shuō)：“你們真聰明，用了這么多辦法說(shuō)明為什么要這樣算的道理。”而不是 “看，這么多計(jì)算方法，選一個(gè)自己喜歡的方法做題吧！”相較之下，學(xué)生的感受高下立見。

3.真正的“專業(yè)”化理解，解決了計(jì)算教學(xué)的困境問(wèn)題

為什么要“專業(yè)”化理解呢？就是要從數(shù)學(xué)教學(xué)的理論與實(shí)踐的角度來(lái)研究算理與算法的本質(zhì)，把握好計(jì)算教學(xué)的尺度，既要學(xué)會(huì)計(jì)算本身，也要掌握解決問(wèn)題的策略。

首先從知識(shí)分類學(xué)來(lái)研究，搞清楚計(jì)算教學(xué)中三個(gè)關(guān)鍵問(wèn)題：

（1）什么是算理？

算理，就是計(jì)算的道理。按照知識(shí)分類學(xué)理論，算理屬于陳述性知識(shí)，是用來(lái)回答“為什么”的。與其相聯(lián)系的還有一個(gè)回答“是什么”的陳述性知識(shí)，即常說(shuō)的算式的“意義”。回答“為什么”之前，往往先回答“是什么”或者“怎么樣”。比如：

教師問(wèn)：“3只貓加上4只貓，是幾只貓？”

學(xué)生答：“用加法算，把它們合起來(lái)數(shù)，結(jié)果是7只貓。”

教師問(wèn)：“那3只貓加上4只狗，是多少呀？”

學(xué)生甲說(shuō)：“不知道。”

學(xué)生乙說(shuō)：“還是用加法算，把它們合起來(lái)數(shù)，就是7只動(dòng)物。”

教師表示很奇怪：“怎么有人說(shuō)不知道，有人又算出是7只動(dòng)物了呢？”

學(xué)生甲說(shuō)：“我不知道加起來(lái)是貓還是狗呀。”

學(xué)生乙說(shuō)：“我也不知道是貓是狗，但是老師沒(méi)有問(wèn)是什么，我覺(jué)得它們都是動(dòng)物，就把它們合起來(lái)數(shù)，得到7只動(dòng)物了。”

教師很高興：“大家覺(jué)得他們說(shuō)得對(duì)嗎？該不該鼓掌？”全班掌聲雷動(dòng)。

教師說(shuō)：“看來(lái)無(wú)論算得出還是算不出都有道理。只要大家開動(dòng)腦筋，就不會(huì)做錯(cuò)題了。”

那么，專業(yè)上提到的算理是什么意思呢？算理，就是用來(lái)解釋為什么可以這樣計(jì)算的一種事實(shí)、規(guī)則或者規(guī)律。

案例1中，在解釋為什么“9+5=14”時(shí)，教材所用的方法有“數(shù)小棒”。第一種數(shù)法是從9接著數(shù)5個(gè)數(shù)，正好得14;第二種數(shù)法是先從5里面數(shù)出1根，和9根湊成10根，還余下4根，再合起來(lái)就得14根。算完了，算對(duì)了，這就是用擺事實(shí)的方法說(shuō)清楚了為什么“9加5得14”。

計(jì)數(shù)器主要是解釋為什么“滿十要進(jìn)一”。計(jì)數(shù)器每個(gè)數(shù)位上都有10個(gè)珠子，個(gè)位上的1個(gè)珠子表示1個(gè)“一”，十位上的1個(gè)珠子表示1個(gè)“十”。當(dāng)這個(gè)計(jì)數(shù)規(guī)則確定后，就能說(shuō)明“9+5=14”的道理了。個(gè)位上有9個(gè)珠子，再數(shù)1個(gè)珠子，個(gè)位就放滿10個(gè)了，還有4個(gè)珠子沒(méi)地方放。于是就規(guī)定用十位上的1個(gè)珠子來(lái)代替?zhèn)€位上的10個(gè)珠子，另外的4個(gè)珠子就可以放到個(gè)位上去了（注：新修訂的一年級(jí)數(shù)學(xué)教材的處理方式破壞了這樣的規(guī)則）。這樣一來(lái)，無(wú)論是“9+7”還是“8+6”，都可以解釋“滿十進(jìn)一”的做法了。因此，算理是可以“以此類推”的，沒(méi)必要每道題都講一遍。

案例2和案例3的數(shù)線圖、點(diǎn)子圖、表格等主要都是用來(lái)說(shuō)明計(jì)算“122+77=199”“122+149=271”“14×12=168”等算式的計(jì)算道理的，但不是每道計(jì)算題都必須使用這些方法才可以算出得數(shù)。

低年級(jí)常用的這些講算理的方式和思維方法，專業(yè)上叫作“實(shí)物直觀”“幾何直觀”“情境直觀”等。高年級(jí)的計(jì)算中用來(lái)說(shuō)明計(jì)算道理的除了這些“直觀”方式，還有“五大定律”“商不變的規(guī)律”“等式性質(zhì)”等。

（2）什么是算法？

算法，就是計(jì)算得出結(jié)果的做法。按照知識(shí)分類學(xué)理論，算法屬于程序性知識(shí)，是用來(lái)回答“怎么做”的。計(jì)算是一種行為過(guò)程，它既包含思考過(guò)程也包含觀察過(guò)程和操作過(guò)程，需要在現(xiàn)實(shí)計(jì)算活動(dòng)中總結(jié)出怎么做的程序、步驟與方法，即先做什么和怎么做，后做什么和怎么做，然后按照這個(gè)程序、步驟、方法就可以完成所有類似的計(jì)算。比如案例1的算法就是“接著數(shù)”和“先數(shù)1個(gè)湊成10，再把余下的數(shù)相加”兩種算法。算法都可以在圖和計(jì)數(shù)器上表示出來(lái)，也可以用小棒擺出來(lái)，從而說(shuō)明道理。

案例2的算法就是“相同數(shù)位對(duì)齊，從個(gè)位加起，滿十進(jìn)一”，可以用畫數(shù)線圖、撥計(jì)數(shù)器等方式說(shuō)明這種算法正確的道理。

案例3的算法有兩層意思：第一層是先用兩位數(shù)乘兩位數(shù)的其中一個(gè)數(shù)，用拆分為“兩數(shù)的和”或者“兩數(shù)的積”的方法，轉(zhuǎn)化為“兩位數(shù)乘一位數(shù)”和“兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)”的連乘或者乘加混合的算式，然后用學(xué)過(guò)的方法計(jì)算;第二層是采用“豎式法”記錄前面部分算法的計(jì)算過(guò)程，這樣更容易看清楚計(jì)算的過(guò)程，從而提高計(jì)算正確率。因此，教材主要使用點(diǎn)子圖、表格等介紹與展示這些不同算法的合理性。

（3）算法真的多樣嗎？

算法是可以多樣的，但不是教師理解的那么多。算法的多樣，源于解決問(wèn)題的思維起點(diǎn)的多樣化。比如案例1中的“接著數(shù)”和“先數(shù)1個(gè)再湊10”就是不同的思維起點(diǎn)，雖然都是數(shù)數(shù)，但是數(shù)數(shù)的方式有差異，也就是說(shuō)兩種算法有所不同。

如果教師把用來(lái)講算理的方法全部當(dāng)成了用來(lái)計(jì)算得數(shù)的方法，那很多學(xué)生就不愿意去擺一擺、畫一畫、演一演，這樣，學(xué)生的思維能力、積累活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)?zāi)芰Α?shí)踐能力和創(chuàng)新能力等就得不到相應(yīng)的培養(yǎng)。

因此，教師需要認(rèn)真研究教材中的算理與算法，正確地把握計(jì)算教學(xué)的本質(zhì)，教給學(xué)生解決問(wèn)題的策略性知識(shí)，從而提高數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量。

（責(zé)編 金 鈴）