高職數學中導數計算常見錯題分析

黃惠玲

（福建船政交通職業學院通識教育學院 福建福州 350007）

導數是高職數學中很重要的部分，它具有承上啟下的作用，對后面積分的學習具有很大的影響.筆者根據自己的實踐教學經驗，總結了導數計算中的幾個易錯點并加以分析[1]。

一、自創公式，亂用導數的運算規則

例1 求y=x2sinx的導數.

錯解分析 該題解法錯在(x2sinx)'=(x2)'(sinx)'這一步，這等式是不成立的，

是學生把導數的乘法運算法則錯記為[u(x)·v(x)]'=u'(x)v'(x)，這是學生自創的公式.實際上，正確的公式是[u(x)·v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).

正確解法y'=(x2sinx)'=(x2)'sinx+x2(sinx)'=2xsinx+x2cosx.

二、基本求導公式掌握不扎實，從而導致出錯

基本求導公式表是基本初等函數的求導公式，是學好導數計算的基礎.萬丈高樓平地起，如果基本求導公式掌握得不扎實，就會像沒有打好地基的高樓一樣容易坍塌[3]。

1.函數類型分辨不清導致出錯

基本初等函數中的指數函數y=ax與冪函數y=xa的表達式較為相似，學生常常會混淆這兩類函數，從而導致錯誤套用它們的求導公式。

例2 求y=3x的導數.

錯解 由公式(ax)'=xax-1可得：y'=(3x)'=x·3x-1.

錯解分析 此解法錯誤的原因是混淆指數函數與冪函數這兩類函數，導致用錯基本求導公式.此題是指數函數，但是卻套用冪函數y=xa的求導公式.指數函數與冪函數的區別就是自變量的位置，如果自變量在指數的位置，那就是指數函數，如果自變量在底數的位置，那就是冪函數。

正確解法 由公式(ax)'=axlna可知，y'=(3x)'=3xln3.

學生會記錯求導基本公式，主要原因在于他們都是死記硬背，知其然而不知其所以然的記憶公式，而不是通過理解公式，再去記憶公式.教師在教學過程中可以對以上幾個學生常會出錯的求導公式進行推導，學生通過理解求導公式的推導過程，自然而然就會對公式牢記在心。

三、忽略復合函數的分解，隨心所欲自創復合函數求導公式

復合函數的求導是導數計算的重點和難點之一，它與基本初等函數及簡單函數的求導不同，須先把復合函數分解成幾個簡單函數，然后再根據鏈式法則進行求導.復合函數的求導，學生常犯的錯誤有以下兩種[4]。

1.簡單地以為復合函數的求導與基本初等函數求導一樣，從而導致把中間變量當成自變量進行求導，導致求導不完整。

例4 求y=(5x+4)4的導數.

錯解y'=4(5x+4)3.

錯解分析 此解法錯誤的原因是把復合函數當成基本初等函數進行求導，題目是要求yx'，而此解法是把中間變量u=5x+4當成自變量求導，變成求yu'，漏掉了5x+4對x求導這一層，顯然是錯誤的.

正確解法 函數可分解為y=u3，u=5x+4則

y'=yu'·ux'=4u3·(5x+4)'=4u3·5=20(5x+4)3

2.簡單地認為復合函數的導數是內外各層函數的導數的復合.在求復合函數的導數時，學生常常是把內外各層函數都換成各自的導數作為最后的結果。

例5 求y=sinx3的導數.

錯解y'=cos3x2

錯解分析 此解法錯誤的原因是自創復合函數求導方法，想當然的以為對各層函數進行求導就是所求的結果.

正確解法 函數可分解為y=sinu,u=x3，由鏈式法則可得

y'=yu'·ux'=cosu·(x3)'=cosu·3x2=3x2cosx3

復合函數求導中常犯的錯誤主要是以上兩種，教師在教學過程中重點強調要分解，重視復合函數的分解，并讓學生在練習過程中養成先分解的習慣.同時可把求導步驟歸納為：一分，二導，三連乘，以便于學生牢記心中，提高解題的正確率.

四、隱函數求導時沒把含y的函數當作復合函數進行求導

隱函數求導是導數計算中最難、最容易出錯的部分.在教學過程中我發覺學生大部分出錯的地方是沒有把關于y的函數當作是關于x的復合函數，即y是中間變量進行求導，從而導致出錯[5]。

例6 求由y=x2y3=ex所確定的隱函數導數y'.

錯解 方程兩邊對x求導得

y'+2xy3+3x2y2=ex

所以y'=ex-2xy3-3x2y2.

錯解分析 此解法錯誤的原因是沒有y3把當作是關于的復合函數進行求導，而是把它當作對y求導，不是對x求導，從而導致出錯.

正確解法 方程兩邊對x求導得

y'+2xy3+3x2y2y'=ex

在隱函數中，遇到對含有y的函數求導時，要把y的函數當作關于x的復合函數進行求導，即先按基本初等函數的求導公式求導，再乘以y'。

總結學生在計算導數時常常出現的錯誤，其實只要學生真正理解基本求導公式的推導，熟練掌握復合函數的分解及鏈式法則，這些錯誤就可以避免.在教學過程中，教師要注重讓學生參與求導公式的推導，只有讓學生體驗求導公式的推導，才能避免學生盲目接受和被動記憶這些公式，這樣就可以減少學生出錯的概率.另外，在課堂教學過程中，教師可以對學生容易出錯的知識點采用“故意出錯”的教學策略，來加深學生對知識點的理解，避免學生出現類似的錯誤。