理解運(yùn)算本質(zhì)，破解不對(duì)稱式

江蘇省張家港市外國(guó)語學(xué)校 (215600) 何 威

一、問題提出

解析幾何中的定點(diǎn)定值問題是常考的一類題型，韋達(dá)定理法是一種常見的方法，其過程一般為：將直線與圓錐曲線聯(lián)立，由韋達(dá)定理得到關(guān)于x1,x2或y1,y2的一組對(duì)稱的等式，再將題中所給的關(guān)鍵條件，轉(zhuǎn)化韋達(dá)定理上，即可設(shè)而不求.但在實(shí)際計(jì)算中并不是總能如此順利，如當(dāng)目標(biāo)式不對(duì)稱式時(shí)，韋達(dá)定理使用遇阻，導(dǎo)致很多學(xué)生運(yùn)算止步不前.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是新課標(biāo)關(guān)注的核心能力，教學(xué)中特別要關(guān)注對(duì)運(yùn)算本質(zhì)的理解和對(duì)運(yùn)算方向的預(yù)判.運(yùn)算是一種演繹推理，包含著程序化思想.理解運(yùn)算的問題，明確運(yùn)算的方向，進(jìn)而構(gòu)造運(yùn)算的程序，才能有效進(jìn)行運(yùn)算.以下以近期高三調(diào)研測(cè)試為例，談一談筆者的體會(huì).

二、試題呈現(xiàn)

圖1

三、消元法探析

韋達(dá)定理的本質(zhì)是：通過設(shè)而不求，消減多變量，得到結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、少元的形式，從而整體運(yùn)算得到定值.在韋達(dá)定理中，出現(xiàn)了三個(gè)元y1,y2,m，只有兩個(gè)方程，本質(zhì)上是方程的思想，消元才是核心，至于是否是消去y1,y2，則應(yīng)視目標(biāo)式情況而定.因此破除思維定勢(shì)，關(guān)鍵在于確定留下哪些元，消去哪些元，請(qǐng)看如下不同視角的消元處理.

視角一：直接通過求根公式消元

評(píng)注：該解法直接借助求根公式消元，得到關(guān)于m的一元結(jié)構(gòu)式，雖然看起來根式略顯復(fù)雜，學(xué)生往往不敢算下去，其實(shí)代入后就柳暗花明.

視角二：利用韋達(dá)定理消m

視角三：借助韋達(dá)定理消去y1

評(píng)注：視角三與視角二處理方法類似，實(shí)現(xiàn)整體消除.

視角四：利用橢圓方程消元

評(píng)注：前三種做法運(yùn)用了實(shí)際上是借助直線方程x=my-1消去了x1,x2，而視角四先借助橢圓的方程，轉(zhuǎn)化為對(duì)稱式的結(jié)構(gòu)，從而直接使用韋達(dá)定理消元.韋達(dá)定理式是直線與橢圓的方程聯(lián)立得到的，學(xué)生在運(yùn)算時(shí)常常知道利用直線的方程消參，卻忽略了借助橢圓方程也可以消參，調(diào)整目標(biāo)式的結(jié)構(gòu).

視角五：抓住橢圓中的斜率性質(zhì)，轉(zhuǎn)換目標(biāo)式

四、總結(jié)反思

綜合以上解法，對(duì)于這類問題三元兩等式的問題，處理目標(biāo)式有三種策略：一是直接使用韋達(dá)定理，消去x1,x2(或y1,y2)，設(shè)而不求；二是轉(zhuǎn)而消去其他的參數(shù)，留下一元或二元式，實(shí)現(xiàn)整體運(yùn)算得到定值；三是運(yùn)用已知條件或橢圓的性質(zhì)，轉(zhuǎn)化目標(biāo)式，使目標(biāo)式對(duì)稱.這三種策略本質(zhì)上都是抓住韋達(dá)定理中的變量關(guān)系，減少參數(shù)，使得目標(biāo)式在消元后更加簡(jiǎn)潔、對(duì)稱，從而更好地保持整體性，實(shí)現(xiàn)設(shè)而不求.

數(shù)學(xué)運(yùn)算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段，反映了數(shù)學(xué)學(xué)科的基本特征，要求學(xué)生在“明晰運(yùn)算對(duì)象的基礎(chǔ)上，依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題”.在本題中，學(xué)生算不對(duì)、算不下去，主要原因在于學(xué)生不能理解運(yùn)算的意義和作用，未能形成合適的運(yùn)算思路，遠(yuǎn)遠(yuǎn)不是加減乘除的問題.例如視角二中消m，首先需要學(xué)生能“看”出韋達(dá)定理式如何用y1,y2表示m；視角四借助橢圓方程處理目標(biāo)式，需要理解運(yùn)算的起點(diǎn)，未知量的來源；視角五需要熟悉“識(shí)”圖合理聯(lián)想，運(yùn)用斜率結(jié)論簡(jiǎn)化運(yùn)算，這些技巧中都蘊(yùn)含了對(duì)運(yùn)算對(duì)象的觀察，對(duì)運(yùn)算目標(biāo)的轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了運(yùn)算是一種典型的邏輯推理，充滿了辯證與選擇.面對(duì)學(xué)生出現(xiàn)的運(yùn)算錯(cuò)誤，要作深入的分析，了解學(xué)生的想法，不能簡(jiǎn)單的歸結(jié)為粗心，片面的追求運(yùn)算速度.只有在深入理解運(yùn)算對(duì)象和法則的基礎(chǔ)上，形成好的思維品質(zhì)，才能真正提高運(yùn)算的質(zhì)量與速度.