一道解析幾何小題的多解與推廣

安徽省蕪湖市第一中學(xué) (241000) 劉海濤

廣東省信宜市信宜中學(xué) (525300) 何浩成

1 試題呈現(xiàn)與分析

(2021年全國(guó)“八省聯(lián)考”第7題)已知拋物線y2=2px上三點(diǎn)A(2,2)，B，C，直線AB,AC是⊙I：(x-2)2+y2=1的兩條切線，則直線BC的方程為( ).

A.x+2y+1=0 B.3x+6y+4=0

C.2x+6y+3=0 D.x+3y+2=0

分析：該題綜合性強(qiáng)、解法靈活，考查了拋物線與圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，方程的思想，直線與圓、拋物線的位置關(guān)系等知識(shí)，考查了學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，體現(xiàn)了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).試題看似簡(jiǎn)單、明了，但內(nèi)涵豐富，本文嘗試對(duì)該題從不同的角度予以思考，給出不同的解法，揭示出問(wèn)題的命題背景，探究出一般性結(jié)論，發(fā)揮該題的最大價(jià)值.

2 解法探究

圖1

評(píng)注：考慮到直線BC的方程受到直線AB,AC的制約，于是考慮將AB,AC兩條直線的方程同時(shí)和拋物線聯(lián)立，得到三個(gè)公共點(diǎn)A,B,C縱坐標(biāo)同時(shí)滿足的方程，通過(guò)提取公因式舍去點(diǎn)A，得到關(guān)于B,C的方程3y2+12y+8=0，結(jié)合y2=2x得到直線BC的方程.該法過(guò)程簡(jiǎn)潔，運(yùn)算量小，不失為一種巧妙解法.

3 變式推廣，深入探究

數(shù)學(xué)家波利亞曾說(shuō)：“解題就像采蘑菇一樣，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)一個(gè)蘑菇時(shí)，它的周圍可能有一個(gè)蘑菇圈.”解答完本題后，筆者有如下變式探究：

探究1 已知⊙I：(x-2p)2+y2=r2(r>0)與拋物線y2=2px無(wú)公共點(diǎn)，拋物線上三點(diǎn)A(2p,2p)，B，C，滿足直線AB,AC是⊙I的兩條切線，求證直線BC的斜率為定值.

既然圓的半徑可以一般化，條件可簡(jiǎn)化為kAB+kAC=0，由此，得到如下結(jié)論：

若點(diǎn)A為拋物線y2=2px任意一點(diǎn)(異于坐標(biāo)原點(diǎn)O)，結(jié)論變不變呢？

由此，得到如下結(jié)論：

說(shuō)明：特別地，結(jié)論2中的y0=2p，即為結(jié)論1.

橢圓、雙曲線和拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，三者之間有很多可類比的性質(zhì)，體現(xiàn)了圓錐曲線的內(nèi)在統(tǒng)一，于是筆者對(duì)橢圓與雙曲線進(jìn)行了探究.

由此，得到如下結(jié)論：

類比可得雙曲線中的如下結(jié)論：

由于橢圓經(jīng)過(guò)伸縮變換，可以得到以坐標(biāo)原點(diǎn)為圓心的圓，類比可得如下結(jié)論：

說(shuō)明：限于篇幅，結(jié)論4,5的證明可參照結(jié)論3的證明.

考慮平移變換，對(duì)于圓心不為坐標(biāo)原點(diǎn)的圓，容易得到如下結(jié)論：

基于上述討論，筆者猜想：若直線AB與AC無(wú)限靠近直至重合，則B,C兩點(diǎn)可以視做點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性，此時(shí)直線BC的斜率與曲線在點(diǎn)A處切線斜率互為相反數(shù).筆者利用幾何畫(huà)板分別在圓、橢圓、雙曲線、拋物線上探究，發(fā)現(xiàn)猜想正確，考慮將圓、橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一為二次曲線方程Ax2+Cy2+Dx+Ey+F=0，得到如下結(jié)論：

說(shuō)明：限于篇幅，結(jié)論7的證明留給讀者思考.

4 反思總結(jié)

4.1 一題多解，提高解題能力

數(shù)學(xué)離不開(kāi)解題，數(shù)學(xué)研究的過(guò)程就是解決問(wèn)題的過(guò)程，掌握數(shù)學(xué)的一個(gè)重要標(biāo)志就是善于解題[2].可見(jiàn)，解題是一名教者的必備技能，技能的形成并非一朝一夕，而在于日積月累.數(shù)學(xué)解題是鞏固基礎(chǔ)知識(shí)、落實(shí)基本技能、感悟思想方法、提升思維敏銳度的系統(tǒng)活動(dòng)，所以對(duì)一道典型問(wèn)題進(jìn)行多角度的分析與解答是非常必要的.筆者從三個(gè)角度分析“八省聯(lián)考”的解幾小題，得到三種不同解法，第一種解法屬于最常用解法，先設(shè)線再求點(diǎn)，計(jì)算量大，過(guò)程復(fù)雜，第二種方法根據(jù)題目特點(diǎn)，先設(shè)點(diǎn)再求線，優(yōu)化了解題過(guò)程，簡(jiǎn)化了計(jì)算，第三種解法抓住題目斜率和為定值的兩條相交弦的命題背景，采用雙直線法，巧妙自然，富有創(chuàng)意.

4.2 變式推廣，尋求多解歸一

“八省聯(lián)考”的數(shù)學(xué)試卷由教育部組織命制，每一道試題凝聚著命題人的心血與智慧，是命題者反復(fù)考量與打磨才成型的，對(duì)新高考的教學(xué)具有導(dǎo)向性與啟示性.對(duì)典型試題進(jìn)行逆向探究、引申探究、類比探究等，往往可以得到很多有價(jià)值的東西，筆者將試題一般化處理，得到結(jié)論1和2，運(yùn)用類比的思想方法，探究橢圓、雙曲線、圓，依次得到結(jié)論3、4、5和6，最后將四種曲線統(tǒng)一為二次曲線，得到結(jié)論7，體現(xiàn)了二次曲線內(nèi)在統(tǒng)一.教學(xué)中，教師若能合理運(yùn)用上述方式，定能教會(huì)學(xué)生處理同類問(wèn)題的通解通法，避免題海戰(zhàn)術(shù)，減輕學(xué)生負(fù)擔(dān)，提高學(xué)習(xí)效率，達(dá)到多解歸一的目的[3].