圓錐曲線中一類定點定值問題的探究

廣東省中山紀念中學 (528454) 鄧啟龍

在圓錐曲線的定點定值問題中,有一個熟知的結論,即過圓錐曲線E上的定點P,作兩條直線分別與E交于點A,B,若直線PA與直線PB的斜率的和(或積)為定值,則直線AB過定點或有定向.若定點P不在圓錐曲線E上,過P作兩條直線分別與E交于點A,B和點C,D,若直線AB與直線CD的斜率的和(或積)為定值,有沒有類似的結論？筆者經過深入探究,發現若弦AB與弦CD的中點分別為M,N,則直線MN過定點或有定向.對于橢圓，有以下結論：

圖1

在證明定理1之前，給出以下引理.

圖2

(2)政府激勵政策有效，購買者接受引導選擇購買被動房，此時享受的樹立形象等的效用S3，購房者購買普通房時所享受的效益S4，購房者購買被動房時從政府手中獲得的獎勵S5。

引理2是橢圓中的一個熟知的結論，證明見參考文獻[1].

定理1中的定點P可以在橢圓上，也可以在橢圓內或橢圓外.若定點P在橢圓上,過P作兩條直線分別與橢圓交于點A,B,弦PA與弦PB的中點分別為M,N,若直線PA與直線PB的斜率的和(或積)為定值,由定理1可得直線MN過定點或有定向.由于MN是△PAB的中位線，于是直線AB也過定點或有定向.所以定理1是引理2的推廣.對于雙曲線和拋物線,也有類似的結論:

定理3 已知拋物線E:y2=2px(p>0),定點P(x0,y0)與原點不重合.過P作兩條直線分別與C交于點A,B和點C,D,弦AB與弦CD的中點分別為M,N.